初三培优易错试卷一元二次方程组辅导专题训练及答案解析.doc

初三培优易错试卷一元二次方程组辅导专题训练及答案解析

一、一元二次方程
1．阅读下列材料
计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）（+），令+＝t，则：
原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣+t2＝
在上面问题中，用一种字母代表式子中某一部分，能达到简化计算目，这种思想措施叫做“换元法”，请用“换元法”处理下列问题：
（1）计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）×（+）
（2）因式分解：（a2﹣5a+3）（a2﹣5a+7）+4
（3）解方程：（x2+4x+1）（x2+4x+3）＝3
【答案】（1）；（2）（a2﹣5a+5）2；（3）x1＝0，x2＝﹣4，x3＝x4＝﹣2
【解析】
【分析】
（1）仿照材料内容，令+＝t代入原式计算．
（2）观测式子找相似部分进行换元，令a2﹣5a＝t代入原式进行因式分解，最终要记得把t换为a．
（3）观测式子找相似部分进行换元，令x2+4x＝t代入原方程，即得到有关t一元二次方程，得到t两个解后要代回去求出4个x解．
【详解】
（1）令+＝t，则：
原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣﹣t+t2+＝
（2）令a2﹣5a＝t，则：
原式＝（t+3）（t+7）+4＝t2+7t+3t+21+4＝t2+10t+25＝（t+5）2＝（a2﹣5a+5）2
（3）令x2+4x＝t，则原方程转化为：
（t+1）（t+3）＝3
t2+4t+3＝3
t（t+4）＝0
∴t1＝0，t2＝﹣4
当x2+4x＝0时，
x（x+4）＝0
解得：x1＝0，x2＝﹣4
当x2+4x＝﹣4时，
x2+4x+4＝0
（x+2）2＝0
解得：x3＝x4＝﹣2
【点睛】
本题考察用换元法进行整式运算，因式分解，解一元二次方程．运用换元法一般可达到降次效果，从而简便运算．

2．已知有关x方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0．
（1）若方程有两个不相等实数根，求k取值范围；
（2）若方程两根恰好是一种矩形两邻边长，且k＝2，求该矩形对角线L长．
【答案】（1）k＞；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据有关x方程x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等实数根，得出△＞0，再解不等式即可；
（2）当k=2时，原方程x2-5x+5=0，设方程两根是m、n，则矩形两邻边长是m、n，运用根与系数关系得出m+n=5，mn=5，则矩形对角线长为，运用完全平方公式进行变形即可求得答案.
【详解】
（1）∵方程x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等实数根，
∴Δ＝[－(2k＋1)]2－4×1×(k2＋1)＝4k－3＞0，
∴k＞；
(2)当k＝2时，原方程为x2－5x＋5＝0，
设方程两个根为m，n，
∴m＋n＝5，mn＝5，
∴矩形对角线长为：.
【点睛】
本题考察了根鉴别式、根与系数关系、矩形性质等，一元二次方程根状况与鉴别式△关系：（1）△＞0时，方程有两个不相等实数根；（2）△=0时，方程有两个相等实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．

3．已知：有关x方程x2－4mx＋4m2－1＝0.
(1)不解方程，判断方程根状况；
(2)若△ABC为等腰三角形，BC＝5，此外两条边是方程根，求此三角形周长．2
【答案】(1) 有两个不相等实数根（2）周长为13或17
【解析】
试题分析：（1）根据方程系数结合根鉴别式，可得出△=4＞0，由此可得出：无论m为何值，该方程总有两个不相等实数根；
（2）根据等腰三角形性质及△＞0，可得出5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0根，将x=5代入原方程可求出m值，通过解方程可得出方程解，在运用三角形周长公式即可求出结论．
试题解析：解：（1）∵△=（﹣4m）2﹣4（4m2﹣1）=4＞0，∴无论m为何值，该方程总有两个不相等实数根．
（2）∵△＞0，△ABC为等腰三角形，此外两条边是方程根，∴5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0根．
将x=5代入原方程，得：25﹣20m+4m2﹣1=0，解得：m1=2，m2=3．
当m=2时，原方程为x2﹣8x+15=0，解得：x1=3，x2=5．∵3、5、5可以构成三角形，∴该三角形周长为3+5+5=13；
当m=3时，原方程为x2﹣12x+35=0，解得：x1=5，x2=7．∵5、5、7可以构成三角形，∴该三角形周长为5+5+7=17．
综上所述：此三角形周长为13或17．
点睛：本题考察了根鉴别式、等腰三角形性质、三角形三边关系以及解一元二次方程，解题关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等实数根”；（2）代入x=5求出m值．

4．从图象来看，该函数是一种分段函数，当0≤x≤m时，是正比例函数，当x＞m时是一次函数．
【小题1】只需把x代入函数体现式，计算出y值，若与表格中水费相等，则知收取方案．

5．已知两条线段长分别是一元二次方程两根，
（1）解方程求两条线段长。
（2）若把较长线段剪成两段，使其与另一段围成等腰三角形，求等腰三角形面积。
（3）若把较长线段剪成两段，使其与另一段围成直角三角形，求直角三角形面积。
【答案】（1）2和6；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）求解该一元二次方程即可;
（2）先确定等腰三角形边，然后求面积即可；
（3）设分为两段分别是和，然后用勾股定理求出x，最终求面积即可.
【详解】
解：（1）由题意得，
即：或，
∴两条线段长为2和6；
（2）由题意，可知分两段为分别为3、3，则等腰三角形三边长为2，3，3，
由勾股定理得：该等腰三角形底边上高为：
∴此等腰三角形面积为=．
（3）设分为及两段

∴，
∴，
∴面积为.
【点睛】
本题考察了一元二次方程、等腰三角形、直角三角形等知识，考察知识点较多，灵活应用所学知识是解答本题关键.

6．已知有关x一元二次方程x2－（2k＋1）x＋k2＋2k＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k取值范围；
（2）与否存在实数k，使得x1·x2－x12－x22≥0成立？若存在，祈求出k值；若不存在，请阐明理由．
【答案】(1)当k≤时，原方程有两个实数根(2)不存在实数k，使得x1·x2－x12－x22≥0成立
【解析】
试题分析：（1）根据一元二次方程根鉴别式列出不等式，解之即可；（2）本题运用韦达定理处理.
试题解析：
（1） ，解得
（2）由 ，
由根与系数关系可得：
代入得：，
化简得：，
得.
由于取值范围为，
故不存在k使．

7．已知有关x一元二次方程．
若此方程有两个实数根，求m最小整数值；
若此方程两个实数根为，，且满足，求m值．
【答案】（1）最小整数值为；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据方程有两个实数根得,列式即可求解,（2）运用韦达定理即可解题.
【详解】
（1）解：

方程有两个实数根
，即

最小整数值为
（2）由根与系数关系得：，
由得：
，

【点睛】
本题考察了根鉴别式和韦达定理,中等难度,熟悉韦达定理是解题关键.

8．阅读下面例题，
范例：解方程x2﹣|x|﹣2=0，
解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2=0，解得：x1=2，x2=﹣1（不合题意，舍去）．
（2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=1（不合题意，舍去）．
∴原方程根是x1=2，x2=﹣2
请参照例题解方程x2﹣|x﹣10|﹣10=0．
【答案】x1=4，x2=﹣5．
【解析】
【分析】
分为两种状况：当x≥10时，原方程化为x2﹣x=0，当x＜10时，原方程化为x2+x﹣20=0，分别求出方程解即可．
【详解】
当x≥10时，原方程化为x2﹣x+10﹣10=0，解得x1=0（不合题意，舍去），x2=1（不合题意，舍去）；
当x＜10时，原方程化为x2+x﹣20=0，解得x3=4，x4=﹣5，
故原方程根是x1=4，x2=﹣5．
【点睛】
本题考察理解一元二次方程——因式分解法，解此题关键是能对去掉绝对值符号．

9．已知有关x方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等实数根．
(1)求m取值范围；
(2)假如m为正整数，且该方程根都是整数，求m值．
【答案】(1)m＜3；(2)m＝2．
【解析】
【分析】
（1）根据题意得出△＞0，代入求出即可；
（2）求出m=1或2，代入后求出方程解，即可得出答案．
【详解】
（1）∵方程有两个不相等实数根．
∴△＝4﹣4(m﹣2)＞0．
∴m＜3；
（2）∵m＜3 且 m为正整数，
∴m＝1或2．
当 m＝1时，原方程为 x2﹣2x﹣1＝0．它根不是整数，不符合题意，舍去；
当 m＝2时，原方程为 x2﹣2x＝0．
∴x(x﹣2)＝0．
∴x1＝0，x2＝2．符合题意．
综上所述，m＝2．
【点睛】
本题考察了根鉴别式和解一元二次方程，能根据题意求出m值和m范围是解此题关键．

10．工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm矩形铁皮制作一种无盖长方体容器，需要将四角各裁掉一种正方形．（厚度不计）求长方体底面面积为12dm2时，裁掉正方形边长多大？

【答案】裁掉正方形边长为2dm，底面积为12dm2.
【解析】
试题分析：设裁掉正方形边长为xdm，则制作无盖长方体容器长为（10-2x）dm，宽为（6-2x）dm，根据长方体底面面积为12dm2列出方程，解方程即可求得裁掉正方形边长.
试题解析：
设裁掉正方形边长为xdm，
由题意可得(10-2x)(6-2x)=12，
即x2-8x+12=0，解得x=2或x=6(舍去)，
答：裁掉正方形边长为2dm，底面积为12dm2.

11．重庆市旅游文化商店自制了一款文化衫，每件成本价为20元，每天销售150件：
（1）若要每天利润不低于2250元，则销售单价至少为多少元？
（2）为了回馈广大游客，同步也为了提高这种文化衫认知度，商店决定在“五一”节当日开展促销活动，若销售单价在（1）中最低销售价基础上再减少m%，则日销售量可以在150件基础上增长m件，成果当日销售额达到5670元；要使销售量尽量大，求出m值．
【答案】（1）销售单价至少为35元；（2）m=16．
【解析】
试题分析：（1）根据利润公式列出方程，再求解即可；
（2）销售价为原销售价×（1﹣m%），销售量为（150+m），列出方程求解即可．
试题解析：（1）设销售单价至少为x元，根据题意列方程得，
150（x﹣20）=2250，
解得x=35，
答：销售单价至少为35元；
（2）由题意得：35×（1﹣m%）（150+m）=5670，
150+m﹣150×m%﹣m%×m=162，
m﹣m2=12，
60m﹣3m2=192，
m2﹣20m+64=0，
m1=4，m2=16，
∵要使销售量尽量大，
∴m=16．
【考点】一元二次方程应用；一元一次不等式应用．

12．已知有关x方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC一边长a＝3，另两边b、c恰好是这个方程两个根，求k值多少？
【答案】（1）详见解析；（2）k＝或2．
【解析】
【分析】
（1）计算鉴别式值，运用完全平方公式得到△＝（2k﹣3）2≥0，然后根据鉴别式意义得到结论；
（2）运用求根公式解方程得到x1＝2k﹣1，x2＝2，再根据等腰三角形性质得到2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，然后分别解有关k方程即可．
【详解】
（1）∵△＝（2k+1）2﹣4×4（k﹣）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2≥0，
∴该方程总有实数根；
（2）
∴x1＝2k﹣1，x2＝2，
∵a、b、c为等腰三角形三边，
∴2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，
∴k＝或2．
【点睛】
本题考察了根鉴别式以及等腰三角形性质，分a是等腰三角形底和腰两种状况是解题关键.

13．若两个一次函数图象与x轴交于同一点，则称这两个函数为一对“x牵手函数”，这个交点为“x牵手点”．
（1）一次函数y＝x﹣1与x轴交点坐标为　 ；一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，则a＝　 ；
（2）已知一对“x牵手函数”：y＝ax+1与y＝bx﹣1，其中a，b为一元二次方程x2﹣kx+k﹣4＝0两根，求它们“x牵手点”．
【答案】（1）（1，0），a＝﹣2；（2）“x牵手点”为（，0）或（，0）.
【解析】
【分析】
（1）根据x轴上点坐标特征可求一次函数y=x-1与x轴交点坐标；把一次函数y=x-1与x轴交点坐标代入一次函数y=ax+2可求a值；
（2）根据“x牵手函数”定义得到a+b=0，根据根与系数关系求得k=0，可得方程x2-4=0，解得x1=2，x2=-2，再分两种状况：①若a=2，b=-2，②若a=-2，b=2，进行讨论可求它们“x牵手点”．
【详解】
解：（1）当y＝0时，即x﹣1＝0，
因此x＝1，即一次函数y＝x﹣1与x轴交点坐标为（1，0），
由于一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，
因此0＝a+2，
解得a＝﹣2；
（2）∵y＝ax+1与y＝bx﹣1为一对“x牵手函数”
∴，
∴a+b＝0．
∵a，b为x2﹣kx+k﹣4＝0两根
∴a+b＝k＝0，
∴x2﹣4＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣2．
①若a＝2，b＝﹣2则y＝2x+1与y＝﹣2x﹣1“x牵手点”为；
②若a＝﹣2，b＝2则y＝﹣2x+1与y＝2x﹣1“x牵手点”为（，0 ）
∴综上所述，“x牵手点”为或（，0）
【点睛】
本题考察了根与系数关系、一次函数性质和一次函数图象上点坐标特征运用．

14．将进货单价为40元商品按50元售出，能售出500件，假如该商品涨价1元，其销售量就要减少10件，为了赚取8000元利润，售价应定为多少元？这时应进货多少件？
【答案】要赚取8000元利润，售价应定为60元或80元．售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件．
【解析】
【分析】
设每件商品涨价元，能赚得8000元利润；销售单价为元，销售量为件；每件利润为根据为（50+x-40）元，根据总利润=销售量×每个利润，可列方程求解
【详解】
解：设每件商品涨价元，则销售单价为元，销售量为件．
根据题意，得．
解得，．
经检查，，都符合题意．
当时，，；
当时，，．
因此，要赚取8000元利润，售价应定为60元或80元．售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件．
【点睛】
本题考察一元二次方程应用，关键看到售价和销售量关系，然后以利润做为等量关系列方程求解

15．利民商店经销甲、乙两种商品既有如下信息
信息1：甲乙两种商品进货单价和为11；
信息2：甲商品零售单价比其进货单价多2元，乙商品零售单价比其进货单价2倍少4元：
信息3：按零售单价购置甲商品3件和乙商品2件共付37元．
甲、乙两种商品进货单价各是多少？
据记录该商店平均每天卖出甲商品500件，经调查发现，甲商品零售单价每降元，这样甲商品每天可多销售100件，为了使每天获取更大利润，商店决定把甲种商品零售单价下降a元，在不考虑其他原因条件下，当a定为多少时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元？
【答案】（1）甲种商品进货单价是5元件，乙种商品进货单价是6元件（2）当a定为或1时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元
【解析】
【分析】
设甲种商品进货单价是x元件，乙种商品进货单价是y元件，根据给定三个信息，可得出有关x，y二元一次方程组，解之即可得出结论；
当零售单价下降a元件时，每天可售出件，根据总利润单件利润销售数量，即可得出有关a一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】
设甲种商品进货单价是x元件，乙种商品进货单价是y元件，
根据题意得：，
解得：．
答：甲种商品进货单价是5元件，乙种商品进货单价是6元件．
当零售单价下降a元件时，每天可售出件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：当a定为或1时，才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元．
【点睛】
本题考察了二元一次方程组应用以及一元二次方程应用，解题关键是：找准等量关系，对列出二元一次方程组；找准等量关系，对列出一元二次方程．