资源描述
一、八年级数学全等三角形填空题（难）
1．如图，△ABE，△BCD均为等边三角形，点A，B，C在同一条直线上，连接AD，EC，AD与EB相交于点M，BD与EC相交于点N，下列说法对有：___________
①AD=EC；②BM=BN；③MN∥AC；④EM=MB．
【答案】①②③
【解析】
∵△ABE，△BCD均为等边三角形，
∴AB=BE，BC=BD，∠ABE=∠CBD=60°，
∴∠ABD=∠EBC，
在△ABD和△EBC中
∴△ABD≌△EBC(SAS)，
∴AD=EC，故①对；
∴∠DAB=∠BEC，
又由上可知∠ABE=∠CBD=60°，
∴∠EBD=60°，
在△ABM和△EBN中
∴△ABM≌△EBN(ASA)，
∴BM=BN，故②对；
∴△BMN为等边三角形，
∴∠NMB=∠ABM=60°，
∴MN∥AC，故③对；
若EM=MB，则AM平分∠EAB，
则∠DAB=30°，而由条件无法得出这一条件，
故④不对；
综上可知对有①②③，
故答案为①②③.
点睛：本题重要考察全等三角形判定和性质，掌握全等三角形判定措施（即SSS、SAS、AAS、ASA和HL）和性质（即全等三角形对应边相等，对应角相等）.
2．在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝70°，若点O到三边距离相等，则∠BOC＝_____°．
【答案】115或65或22.5
【解析】
【分析】
先画出符合图形，再根据角平分线性质和三角形内角和定理逐一求出即可．
【详解】
解：①如图，
∵点O到三边距离相等，
∴点O是△ABC三角平分线交点，
∵∠ABC＝60°，∠ACB＝70°，
∴∠OBC＝∠ABC＝30°，∠ACB＝35°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝115°；
②如图，
∵∠ABC＝60°，∠ACB＝70°，
∴∠EBC＝180°﹣∠ABC＝120°，∠FCB＝180°﹣∠ACB＝110°，
∵点O到三边距离相等，
∴O是∠EBC和∠FCB角平分线交点，
∴∠OBC＝∠EBC＝60°，∠FCB＝55°，
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝65°；
③如图，
∵∠ABC＝60°，∠ACB＝75°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝45°，
∵点O到三边距离相等，
∴O是∠EBA和∠ACB角平分线交点，
∴∠OBA＝∠EBA＝×（180°﹣60°）＝60°，∠ACB＝37.5°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBA+∠ABC+∠OCB）＝180°﹣（60°﹣60°﹣37.5°）＝22.5°；
如图，
此时∠BOC＝22.5°，
故答案为：115或65或22.5．
【点睛】
此题重要考察三角形内角和，解题关键是根据题意分状况讨论.
3．在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，∠C＜90°，若∠B满足条件：______________，则△ABC≌△DEF．
【答案】∠B≥∠A．
【解析】
【分析】
虽然题目中∠B为锐角,不过需要对∠B进行分类探究会理解更深入：可按“∠B是直角、钝角、锐角”三种状况进行，最终得出∠B、∠E都是锐角时两三角形全等条件．
【详解】
解：需分三种状况讨论：
第一种状况：当∠B是直角时：
如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，可知：△ABC与△DEF一定全等，根据判定措施是HL；
第二种状况：当∠B是钝角时：如图②，过点C作CG⊥AB交AB延长线于G，过点F作DH⊥DE交DE延长线于H．
∵∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角．
∴180°-∠B=180°-∠E，
即∠CBG=∠FEH．
在△CBG和△FEH中，
∴△CBG≌△FEH（AAS），
∴CG=FH，
在Rt△ACG和Rt△DFH中，
∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），
∴∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
第三种状况：当∠B是锐角时：
在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，小明在△ABC中（如图③）以点C为圆心，以AC长为半径画弧交AB于点D，假设E与B重叠，F与C重叠，得到△DEF与△ABC符号已知条件，不过△AEF与△ABC一定不全等，
因此有两边和其中一边对角对应相等两个三角形不一定全等；
由图③可知，∠A=∠CDA=∠B+∠BCD，
∴∠A＞∠B，
∴当∠B≥∠A时，△ABC就唯一确定了，
则△ABC≌△DEF．
故答案为：∠B≥∠A．
【点睛】
本题是三角形综合题，考察全等三角形判定与性质，应用与设计作图，纯熟掌握三角形全等判定措施是解题关键．
4．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠DCB=90°，CB=CD，AC=6，则四边形ABCD面积是_________.
【答案】18．
【解析】
【分析】
根据已知线段关系，将△ACD绕点C逆时针旋转90°，CD与CB重叠，得到△CBE，证明A、B、E三点共线，则△ACE是等腰直角三角形，四边形面积转化为△ACE面积．
【详解】
∵CD=CB，且∠DCB=90°，∴将△ACD绕点C逆时针旋转90°，CD与CB重叠，得到△CBE，∴∠CBE=∠D，AC=EC，∠DCA=∠BCE．
根据四边形内角和360°，可得∠D+∠ABC=180°，∴∠CBE+∠ABC=180°，∴A、B、E三点共线，∴△ACE是等腰直角三角形，∴四边形ABCD面积=△ACE面积= AC2=18．
故答案为：18．
【点睛】
本题考察了旋转性质以及转化思想，处理此类问题要结合已知线段间数量关系和位置关系进行旋转，使不规则图形转化为规则图形．
5．已知：四边形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=90°，三角形ABC面积为1，则线段AC长度是___________.
【答案】2
【解析】
【分析】
过B作BE⊥AC于E, 过D作DF⊥AC于F,构造 得出BE=AF
运用等腰三角形三线合一性质得出：AF=可得BE=AF=，运用三角形ABC面积为1进行计算即可.
【详解】
过B作BE⊥AC于E, 过D作DF⊥AC于F,
∴∠BEA=∠AFD=90°
∴∠2+∠3=90°
∵∠BAD=90°
∴∠1+∠2=90°
∴∠1=∠3
∵AB=AD
∴
∴BE=AF
∵AD=CD，DF⊥AC
∴AF=
∴BE=AF=
∴
∴AC=2
故答案为：2
【点睛】
本题考察了运用一线三等角构造全等三角形，以及运用三角形面积公式列方程求线段，纯熟掌握辅助线做法构造全等是解题关键.
6．如图，要在河流南边，公路左侧M区处建一种工厂，位置选在到河流和公路距离相等，并且到河流与公路交叉A处距离为1cm(指图上距离)，则图中工厂位置应在_____.
【答案】∠BAC平分线上，与A相距1cm地方.
【解析】
【分析】
由已知条件及规定满足条件，根据角平分线性质作答，注意距A1cm处．
【详解】
工厂位置应在∠BAC平分线上，与A相距1cm地方；
理由：角平分线上点到角两边距离相等．
【点睛】
此题考察角平分线性质：角平分线上任意一点到角两边距离相等．作图题一定要找到有关知识为依托，同步满足多种规定时，要逐一满足．
7．如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PC＝4，点D是射线OA上一种动点，则PD最小值为_____．
【答案】2
【解析】
【分析】
作PE⊥OA于E，根据角平分线性质可得PE＝PD，根据平行线性质可得∠ACP＝∠AOB＝30°，由直角三角形中30°角所对直角边等于斜边二分之一，可求得PE，即可求得PD．
【详解】
当PD⊥OA时，PD有最小值，作PE⊥OA于E，
∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PE＝PD（角平分线上点到角两边距离相等），
∵∠BOP＝∠AOP＝15°，
∴∠AOB＝30°，
∵PC∥OB，
∴∠ACP＝∠AOB＝30°，
∴在Rt△PCE中，PE＝PC＝×4＝2（在直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边二分之一），
∴PD＝PE＝2，
故答案是：2．
【点睛】
此题重要考察角平分线性质和平行线性质，难度一般，作辅助线是关键．
8．已知△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等三角形，这样三角形一共能作出_____个．
【答案】7
【解析】
只要满足三边对应相等就能保证作出三角形与原三角形全等，以腰为公共边时有6个，以底为公共边时有一种，答案可得．
解：以AB为公共边有三个，以CB为公共边有三个，以AC为公共边有一种，
因此一共能作出7个．
故答案为7
9．如图，在△ABC中， ∠BAC=90°， AB=AC=2，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，则DE=__________．
【答案】
【解析】
分析：根据等腰直角三角形性质得把△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACF,连接如图，根据旋转性质得接着证明然后根据“SAS”可判断△ADE≌△AFE，得到DE=FE，由于根据勾股定理得设 则 则由此即可处理问题．
详解：
∴
把△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACF,连接 如图,则
△ABD≌△ACF,
∵
∴
∴
即
∴∠EAD=∠EAF，
在△ADE和△AFE中
∴△ADE≌△AFE，
∴DE=FE，
∵
∴
Rt△ABC中，∵
∴
∵
设 则
则有
解得：
∴
故答案为
点睛：本题属于全等三角形综合题，波及三角形旋转，全等三角形判定与性质，勾股定理等知识点，综合性较强，难度较大.
10．如图,已知BD，CD分别是 ∠ABC和∠ACE平分线，连接AD，∠DAC=46°, ∠BDC _________
【答案】44°
【解析】
如图，过点D作DF⊥BA，交BA延长线于点F，过点D作DH⊥AC于点H，过点D作DG⊥BA，交BC延长线于点G，
∵BD，CD分别是 ∠ABC和∠ACE平分线，
∴DF=DG=DH，
∵DH⊥AC，DF⊥BA，
∴AD平分∠CAF，
∴∠DAC=∠FAD=46°,
∴∠BAC=180°-46°-46°=88°；
∵BD，CD分别是 ∠ABC和∠ACE平分线，
∴∠DCE=，∠DBC=，
∵∠DCE=∠BDC+∠DBC，∠ACE=
∴∠BDC+∠DBC=（∠BAC+∠ABC），
∴∠BDC=∠BAC= .
二、八年级数学全等三角形选择题（难）
11．如图，已知 AD 为△ABC 高线，AD=BC，以 AB 为底边作等腰 Rt△ABE，连接 ED， EC，延长CE 交AD 于F 点，下列结论：①△ADE≌△BCE；②CE⊥DE；③BD=AF；④S△BDE=S△ACE，其中对有（ ）
A．①③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④
【答案】C
【解析】
【分析】
①易证∠CBE=∠DAE，即可求证：△ADE≌△BCE；②根据①结论可得∠AEC=∠DEB，即可求得∠AED=∠BEG，即可解题；③证明△AEF≌△BED即可；④易证△FDC是等腰直角三角形，则CE=EF，S△AEF=S△ACE，由△AEF≌△BED，可知S△BDE=S△ACE，因此S△BDE=S△ACE．
【详解】
∵AD为△ABC高线，
∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°，
∵Rt△ABE是等腰直角三角形，
∴∠ABE=∠BAE=∠BAD+∠DAE=45°，AE=BE，
∴∠CBE+∠BAD=45°，
∴∠DAE=∠CBE，
在△DAE和△CBE中，
∴△ADE≌△BCE（SAS）；
故①对；
②∵△ADE≌△BCE，
∴∠EDA=∠ECB，
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠ECB=90°，
∴∠DEC=90°，
∴CE⊥DE；
故②对；
③∵∠BDE=∠ADB+∠ADE，∠AFE=∠ADC+∠ECD，
∴∠BDE=∠AFE，
∵∠BED+∠BEF=∠AEF+∠BEF=90°，
∴∠BED=∠AEF，
在△AEF和△BED中，
∴△AEF≌△BED（AAS），
∴BD=AF；
故③对；
④∵AD=BC，BD=AF，
∴CD=DF，
∵AD⊥BC，
∴△FDC是等腰直角三角形，
∵DE⊥CE，
∴EF=CE，
∴S△AEF=S△ACE，
∵△AEF≌△BED，
∴S△AEF=S△BED，
∴S△BDE=S△ACE．
故④对；
综上①②③④都对，故选：C．
【点睛】
本题考察了全等三角形判定，考察了全等三角形对应边相等性质，本题中求证△BFE≌△CDE是解题关键．
12．在中，，CD平分，P为AB中点，则下列各式中对是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
可在BC上截取CE=CA，连接DE，可得△ACD≌△ECD，得DE=AD，进而再通过线段之间转化得出线段之间关系．
【详解】
解：∵∠A=2∠B， ∴∠A﹥∠B∴BC﹥AC
∴可在BC上截取CE=CA，连接DE(如图)，
∵CD平分，∴∠ACD=∠BCD
又∵CD=CD，CE=CA
∴△ACD≌△ECD，
∴AD=ED，∠CED=∠A=2∠B
又 ∠CED=∠B+∠BDE
∴∠B=∠BDE
∴AD=DE=BE，
∴BC=BE+EC=AD+AC
因此AD=BC-AC
故选：B
若A选项成立，则CD=AC，
∴∠A=∠CDA=∠CDE=∠CED=2∠B=2∠EDB
∴∠CDA+∠CDE+∠EDB=180°
即5∠EDB=180°∴∠EDB=36°
∴∠A=72°， ∠B=36°
∴∠ACB=72°与已知∠ACB≠72°矛盾，故选项A不对;
假设C选项成立，则有AP=AC，作∠BAC平分线，连接FP，
∴△CAF≌△PAF≌△PBF，
∴∠CFA=∠AFP=∠PFB=60°
∠B=30°， ∠ACB=90°
当∠ACB=90°时，选项C才成立，
∴当∠ACB≠72°时，选项C不一定成立；
假设D选项成立，则AD=BC-BD
由图可知AD=BA-BD
∴AB=BC
∴∠A=∠ACB=2∠B
∴∠A+∠ACB+∠B=180°
∴∠B=36°，∠ACB=72
这与已知∠ACB≠72°矛盾，故选项D不成立．
故选：B
【点睛】
本题考察是考察是运用角平分线性质阐明线段之间关系．
,,
13．如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ=PQ，PR=PS，则下列四个结论：①PA平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP，其中结论对序号为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【解析】
【分析】
根据角平分线性质即可推出②，根据勾股定理即可推出AR=AS，根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA，推出∠QPA=∠BAP，根据平行线判定推出QP∥AB即可；没有条件证明△BRP≌△QSP．
【详解】
试题分析：
解：∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，
∴点P在∠A平分线上，∠ARP=∠ASP=90°，
∴∠SAP=∠RAP，
在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2=AP2﹣PR2，AS2=AP2﹣PS2，
∵AP=AP，PR=PS，
∴AR=AS，∴②对；
∵AQ=QP，
∴∠QAP=∠QPA，
∵∠QAP=∠BAP，
∴∠QPA=∠BAP，
∴QP∥AR，∴③对；
没有条件可证明
△BRP≌△QSP，∴④错误；
连接RS，
∵PR=PS，
∵PR⊥AB，PS⊥AC，
∴点P在∠BAC角平分线上，
∴PA平分∠BAC，∴①对．
故答案为①②③．
故选A.
点睛：本题考察了等边三角形性质和判定，全等三角形性质和判定，平行线性质和判定，角平分线性质应用，纯熟掌握全等三角形判定和性质是解题关键．
14．如图，中，，平分．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
如图，过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线性质可得出DE=CD，由全等三角形判定定理HL得出△ADC≌△ADE，故可得出AE=AC=3，由AB=5求出BE=2，设CD=x，则DE=x，BD=4﹣x，再根据勾股定理知DE2+BE2=BD2，即x2+22=（4﹣x）2，求出x=，进而根据等高三角形面积，可得出：S△ACD：S△ABD=CD：BD=××3：××5=3：5．
故选：B．
点睛：本题考察是角平分线性质，熟知角平分线上点到角两边距离相等是解答此题关键．
15．如图，BD是∠ABC角平分线，AD⊥AB，AD=3，BC=5，则△BCD面积为（ ）
A．7.5 B．8 C．10 D．15
【答案】A
【解析】
作DE⊥BC于E，根据角平分线性质，由BD是∠ABC角平分线，AD⊥AB，DE⊥BC，求出DE=DA=3，根据三角形面积公式计算S△BCD=×BC×DE=7.5，
故选：A．
16．如图，AC⊥BE于点C，DF⊥BE于点F，且BC＝EF，假如添上一种条件后，可以直接运用“HL”来证明△ABC≌△DEF，则这个条件应当是( )
A．AC＝DE B．AB＝DE C．∠B＝∠E D．∠D＝∠A
【答案】B
【解析】
在Rt△ABC与Rt△DEF中，直角边BC＝EF，要运用“HL”判定全等，只需添加条件斜边AB=DE.
故选：B.
17．如图，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE交于O，连结AO，则图中共有全等三角形对数为（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据条件，运用AAS可知△ADB≌△AEC，然后再运用HL、ASA即可判断△AOE≌△AOD，△BOE≌△COD，△AOC≌△AOB.
【详解】
∵AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
∵∠A为公共角，
∴△ADB≌△AEC，（AAS）
∴AE=AD，∠B=∠C
∴BE=CD，
∵AE=AD，OA=OA，∠ADB=∠AEC=90°，
∴△AOE≌△AOD（HL），
∴∠OAC=∠OAB，
∵∠B=∠C，AB=AC，∠OAC=∠OAB，
∴△AOC≌△AOB.（ASA）
∵∠B=∠C，BE=CD，∠ODC=∠OEB=90°，
∴△BOE≌△COD（ASA）．
综上：共有4对全等三角形，
故选C.
【点睛】
本题考察三角形全等判定措施和全等三角形性质，判定两个三角形全等一般措施有：SSS、SAS、ASA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边夹角．做题时要从已知条件开始结合全等判定措施逐一验证，由易到难，不重不漏．
18．如图，为外角平分线上一点并且满足，，过作于，交延长线于，则下列结论：
①≌；②；③；④．
其中对结论有（ ）．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【解析】
BD=CD,AD是角平分线，因此FD=DE,∠DFB=∠DEC=90°，因此≌；①对.由全等得BF=CE,由于FA=AE,FB=AB+FA,因此CE=AB+AE, ②对.由全等知，
∠DCE=∠FBD,因此∠BAC=∠BDC. ③对. ∴，
∴、、、四点共圆，
∴，④对．
故选D.
19．如图，中，，角平分线、相交于点，过作交延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④四边形，其中对个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角形全等判定和性质以及三角形内角和定理逐一分析判断即可．
【详解】
解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°
∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD=，∠ABE=
∴∠BAD+∠ABE=
∴∠APB=180°-（∠BAD+∠ABE）=135°，故①对；
∴∠BPD=45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPB=90°+45°=135°
∴∠APB=∠FPB
又∵∠ABP=∠FBP
BP=BP
∴△ABP≌△FBP（ASA）
∴∠BAP=∠BFP，AB=AB，PA=PF，故②对；
在△APH与△FPD中
∵∠APH=∠FPD=90°
∠PAH=∠BAP=∠BFP
PA=PF
∴△APH≌△FPD（ASA），
∴AH=FD，
又∵AB=FB
∴AB=FD+BD=AH+BD，故③对；
连接HD，ED，
∵△APH≌△FPD，△ABP≌△FBP
∴，，PH=PD，
∵∠HPD=90°，
∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD
∴HD∥EP，
∴
∵
故④错误，
∴对有①②③，
故答案为：B．
【点睛】
本题考察了三角形全等判定措施，判定两个三角形全等措施有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL，注意AAA和SAS不能判定两个三角形全等．
20．在△ABC与△DEF中，下列各组条件，不能判定这两个三角形全等是（ ）
A．AB＝DE，∠B＝∠E，∠C＝∠F B．AC＝DE，∠B＝∠E，∠A＝∠F
C．AC＝DF，BC＝DE，∠C＝∠D D．AB＝EF，∠A＝∠E，∠B＝∠F
【答案】B
【解析】运用全等三角形判定定理，分析可得：
A、AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F可运用AAS证明△ABC与△DEF全等；
B、∠A=∠F，∠B=∠E，AC=DE，对应边不对应，不能证明△ABC与△DEF全等；
C、AC=DF，BC=DE，∠C=∠D可运用ASA证明△ABC与△DEF全等；
D、AB=EF，∠A=∠E∠B=∠F可运用SAS证明△ABC与△DEF全等；
故选：D．
点睛：本题考察三角形全等判定措施，判定两个三角形全等一般措施有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边夹角．
21．如图，在△ABC中，AB=AC，高BD，CE交于点O，AO交BC于点F，则图中共有全等三角形（ ）
A．8对 B．7对 C．6对 D．5对
【答案】B
【解析】
【分析】
易证△ABC是有关AF对称图形，其中小三角形也有关AF对称，共可找出7对三角形.
【详解】
全等三角形有：①△AFB≌△AFC；②△CEB≌△BDC；③△AEO≌△ADO；④△EOB≌△DOC；⑤△OBF≌△OFC；⑥△AOB≌△AOC；⑦△AEC≌△ADB
证明①△AFB≌△AFC
∵AB=AC，CE⊥AB，BD⊥AC
又∵
∴CE=BD
∴在Rt△BCE和Rt△CBD中
∴△BCE≌△CBD
∴BE=CD，∴AE=AD
在Rt△AEO和Rt△ADO中
∴△AEO≌△ADO
∴∠EOD=∠DOA
在△BAF和△CAF中
∴△BAF≌△CAF，得证
其他全等证明过程类似
故选：B
【点睛】
本题考察全等证明，解题关键是运用等腰三角形性质，推导出图形中边关系，为证全等作准备
22．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作 EF∥AD，与AC、DC 分别交于点G，F，H为CG中点，连结DE、 EH、DH、FH．下列结论：①EG=DF；②△EHF≌△DHC；③∠AEH+∠ADH=180°；④若，则．其中结论对有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】
分析：①根据题意可知∠ACD=45°，则GF=FC，则EG=EF-GF=CD-FC=DF；
②由SAS证明△EHF≌△DHC即可；
③根据△EHF≌△DHC，得到∠HEF=∠HDC，从而∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF-∠HDC=180°；
④若=，则AE=2BE，可以证明△EGH≌△DFH，则∠EHG=∠DHF且EH=DH，则∠DHE=90°，△EHD为等腰直角三角形，过H点作HM垂直于CD于M点，设HM=x，则DM=5x，DH=，CD=6x，则S△DHC=×HM×CD=3x2，S△EDH=×DH2=13x2．
详解：①∵四边形ABCD为正方形,EF∥AD，
∴EF=AD=CD,∠ACD=45°,∠GFC=90°，
∴△CFG为等腰直角三角形，
∴GF=FC，
∵EG=EF−GF，DF=CD−FC，
∴EG=DF，故①对；
②∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG中点，
∴FH=CH,∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD，
在△EHF和△DHC中，
EF=CD；∠EFH=∠DCH；FH=CH，
∴△EHF≌△DHC(SAS)，故②对；
③∵△EHF≌△DHC(已证)，
∴∠HEF=∠HDC，
∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF−∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，故③对；
④∵=，
∴AE=2BE，
∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG中点，
∴FH=GH,∠FHG=90°，
∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD，
在△EGH和△DFH中，
EG=DF；∠EGH=∠HFD；GH=FH，
∴△EGH≌△DFH(SAS)，
∴∠EHG=∠DHF,EH=DH,∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°,
∴△EHD为等腰直角三角形，
如图，过H点作HM⊥CD于M，
设HM=x,则DM=5x,DH=，CD=6x，
则S△DHC=×HM×CD=3x2,S△EDH=×DH2=13x2，
∴3S△EDH=13S△DHC，故④对；
故选D.
点睛：本题考察了相似三角形判定与性质，全等三角形判定与性质，正方形性质，解题关键在于根据题意纯熟运用有关性质.
23．如图，在四边形中，.不能判定条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知条件，分别添加选项进行排查，即可完毕解答；注意BD是公用边这个条件.
【详解】
解：A.若添加AB=CD,根据AB∥CD，则∠ABD=∠CDB，根据SAS可得△ABD≌△CDB，故A选项对；
B.若添加AD=BC,根据AB∥CD，则∠ADB=∠CBD，不能判定△ABD≌△CDB，故B选项错误；
C.若添加，则四边形ABCD是平行四边形，能判定△ABD≌△CDB，故C选项对；
D.若添加∠A=∠C，根据AB∥CD，则∠ABD=∠CDB，且BD公用，能判定△ABD≌△CDB，故D选项对；
故选：B.
【点睛】
本题考察了全等三角形判定：全等三角形5种判定措施中，选用哪一种措施，取决于题目中已知条件，若已知两边对应相等，则找它们夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角另一组对应邻边.
24．下列两个三角形中,一定全等是( )
A．两个等边三角形
B．有一种角是,腰相等两个等腰三角形
C．有一条边相等,有一种内角相等两个等腰三角形
D．有一种角是,底相等两个等腰三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
根据全等三角形判定措施及等腰三角形性质对各个选项进行分析,从而得到答案．
【详解】
解：A、当两个等边三角形对应边不相等时,这两个等边三角形也不会全等，故本选项错误；
B、当该角不是对应角时,这两个等腰三角形也不会全等，故本选项错误；
C、当两个等腰三角形对应边与对应角不相等时,这两个等腰三角形也不会全等，故本选项错误；
D、等腰三角形100°角只能是顶角,则两个底角是40°,它们对应相等，因此由全等三角形判定定理ASA或AAS证得它们全等，故本选项对；
故选D．
【点睛】
本题考察三角形全等判定措施,判定两个三角形全等一般措施有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边夹角．
25．如图（1），已知，为角平分线上一点，连接，；如图（2），已知，，为角平分线上两点，连接，，，；如图（3），已知，，，为角平分线上三点，连接，，，，，；……，依此规律，第6个图形中有全等三角形对数是（ ）
A．21 B．11 C．6 D．42
【答案】A
【解析】
【分析】
根据条件可得图1中△ABD≌△ACD有1对三角形全等；图2中可证出△ABD≌△ACD，△BDE≌△CDE，△ABE≌△ACE有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第6个图形中全等三角形对数．
【详解】
解：∵AD是∠BAC平分线，
∴∠BAD=∠CAD．
在△ABD与△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD．
∴图1中有1对三角形全等；
同理图2中，△ABE≌△ACE，
∴BE=EC，
∵△ABD≌△ACD．
∴BD=CD，
又DE=DE，
∴△BDE≌△CDE，
∴图2中有3对三角形全等，3=1+2；
同理：图3中有6对三角形全等，6=1+2+3；
∴第6个图形中有全等三角形对数是1+2+3+4+5+6=21.
故选：A．
【点睛】
此题重要考察了三角形全等判定以及规律归纳，解题关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后寻找规律．
26．如图，在△ABC中，AB=BC，，点D是BC中点，BF⊥AD，垂足为E，BF交AC于点F，连接DF.下列结论对是（）
A．∠1=∠3 B．∠2=∠3 C．∠3=∠4 D．∠4=∠5
【答案】A
【解析】
【分析】
如图，过点C作BC垂线，交BF延长线于点G，则，先根据直角三角形两锐角互余可得，再根据三角形全等判定定理与性质推出，又根据三角形全等判定定理与性质推出，由此即可得出答案．
【详解】
如图，过点C作BC垂线，交BF延长线于点G，则，即
在和中，
点D是BC中点
在和中，
故选：A．
【点睛】
本题是一道较难综合题，考察了直角三角形性质、三角形全等判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造两个全等三角形是解题关键．
27．如图所示，△ABP与△CDP是两个全等等边三角形，且PA⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC＝15°，②AD∥BC，③PC⊥AB，④四边形ABCD是轴对称图形，其中对个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】
【分析】
根据周角定义先求出∠BPC度数，再根据对称性得到△BPC为等腰三角形，∠PBC即可求出；根据题意：有△APD是等腰直角三角形；△PBC是等腰三角形；结合轴对称图形定义与判定，可得四边形ABCD是轴对称图形，进而可得②③④对．
【详解】
根据题意， ，
，
，对；
根据题意可得四边形ABCD是轴对称图形，④对；
∵∠DAB+∠ABC=45°+60°+60°+15°=180°，
∴AD//BC，②对；
∵∠ABC+∠BCP=60°+15°+15°=90°，
∴PC⊥AB，③对，
因此四个命题都对，
故选D．
【点睛】
本题考察了等边三角形性质、等腰直角三角形性质、等腰三角形判定与性质、轴对称图形定义与判定等，纯熟掌握各有关性质与定理是解题关键.
28．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF顶点P是BC中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出如下五个结论：①△PFA≌△PEB，②EF=AP，③△PEF是等腰直角三角形，④当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重叠），S四边形AEPF=S△ABC，上述结论中一直对有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，
∴AP⊥BC，AP=PB，
∠B=∠CAP=45°，
∵∠APF+∠FPA=90°，
∠ APF+∠BPE=90°，
∴∠APF=∠BPE，
在△BPE和△APF中，
∠B=∠CAP， BP=AP，∠BPE =∠APF，
∴△PFA≌△PEB；故①对；
∵△ABC是等腰直角三角形点P是BC中点，
∴AP=BC，
又∵EF不一定是△ABC中位线，
∴EF≠AP，故结论②错误；
∵△PFA≌△PEB，
∴PE=PF，
又∵∠EPF=90°，
∴△PEF是等腰直角三角形，故③对；
∵△PFA≌△PEB，
∴S△PFA =S△PEB，
∴S四边形AEPF=S△APE+S△APF=S△APE+S△BPE=S△APB=S△ABC，故结论④对；
综上，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重叠），一直对有3个结论.
故选：C.
点睛：本题意旋转为背景考察了全等三角形判定和性质，解题时需要运用等腰直角三角形判定和性质，综合性较强，根据题意得出△PFA≌△PEB是解答此题关键.
29．如图，已知AB＝AC，AF＝AE，∠EAF＝∠BAC，点C、D、E、F共线．则下列结论，其中对是（ ）
①△AFB≌△AEC；②BF＝CE；③∠BFC＝∠EAF；④AB＝BC．
A．①②③ B．①②④ C．①② D．①②③④
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意结合图形证明△AFB≌△AEC；运用四点共圆及全等三角形性责问题即可处理．
【详解】
如图，
∵∠EAF=∠BAC，
∴∠BAF=∠CAE；
在△AFB与△AEC中，
，
∴△AFB≌△AEC（SAS），
∴BF=CE；∠ABF=∠ACE，
∴A、F、B、C四点共圆，
∴∠BFC=∠BAC=∠EAF；
故①、②、③对，④错误．
故选A.．
【点睛】
本题重要考察了全等三角形判定及其性质应用问题；解题关键是精确找出图形中隐含全等三角形，灵活运用四点共圆等几何知识来分析、判断、推理或证明．
30．如图，四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D角平分线恰相交于一点P，记△APD、△APB、△BPC、△DPC面积分别为S1、S2、S3、S4，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
作辅助线,运用角平分线性质定理,明确8个三角形中面积两两相等即可解题.
【详解】
四边形ABCD,四个内角平分线交于一点P,即点p到四边形各边距离相等,（角平分线性质定理）,
如下图,可将四边形提成8个三角形,面积分别是a、a、b、b、c、c、d、d,
则S 1=a+d, S2=a+b, S3=b+c, S4=c+d,
∴S1+S3=a+b+c+d= S2+S4
故选A
【点睛】
本题考察了角平分线性质定理,作高线和理解角平分线性质定理是解题关键.
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