2025年中考数学二次函数大题培优附答案解析.doc

中考数学二次函数(大题培优)附答案解析

一、二次函数
1．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c通过A、B两点．
（1）求抛物线解析式；
（2）点P是直线AB上方抛物线上一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=DE．
①求点P坐标；
②在直线PD上与否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件所有点M坐标；若不存在，请阐明理由．

【答案】（1）y=﹣x2﹣3x+4；（2）①P（﹣1，6），②存在，M（﹣1，3+）或（﹣1，3﹣）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，）．
【解析】
【分析】
（1）先根据已知求点A坐标，运用待定系数法求二次函数解析式；
（2）①先得AB解析式为：y=-2x+2，根据PD⊥x轴，设P（x，-x2-3x+4），则E（x，-2x+2），根据PE=DE，列方程可得P坐标；
②先设点M坐标，根据两点距离公式可得AB，AM，BM长，分三种状况：△ABM为直角三角形时，分别以A、B、M为直角顶点时，运用勾股定理列方程可得点M坐标．
【详解】
解：（1）∵B（1，0），∴OB=1，
∵OC=2OB=2，∴C（﹣2，0），
Rt△ABC中，tan∠ABC=2，
∴， ∴， ∴AC=6，
∴A（﹣2，6），
把A（﹣2，6）和B（1，0）代入y=﹣x2+bx+c得：，
解得：，
∴抛物线解析式为：y=﹣x2﹣3x+4；
（2）①∵A（﹣2，6），B（1，0），
∴AB解析式为：y=﹣2x+2，

设P（x，﹣x2﹣3x+4），则E（x，﹣2x+2），
∵PE=DE，
∴﹣x2﹣3x+4﹣（﹣2x+2）=（﹣2x+2），
∴x=-1或1（舍），
∴P（﹣1，6）；
②∵M在直线PD上，且P（﹣1，6），
设M（﹣1，y），
∵B（1，0），A（﹣2，6）
∴AM2=（﹣1+2）2+（y﹣6）2=1+（y﹣6）2，
BM2=（1+1）2+y2=4+y2，
AB2=（1+2）2+62=45，
分三种状况：
i）当∠AMB=90°时，有AM2+BM2=AB2，
∴1+（y﹣6）2+4+y2=45，
解得：y=3，
∴M（﹣1，3+）或（﹣1，3﹣）；
ii）当∠ABM=90°时，有AB2+BM2=AM2，
∴45+4+y2=1+（y﹣6）2， ∴y=﹣1，
∴M（﹣1，﹣1），
iii）当∠BAM=90°时，有AM2+AB2=BM2，
∴1+（y﹣6）2+45=4+y2， ∴y=，
∴M（﹣1，）；
综上所述，点M坐标为：∴M（﹣1，3+）或（﹣1，3﹣）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，）．
【点睛】
此题是二次函数综合题，考察了待定系数法求二次函数解析式，铅直高度和勾股定理运用，直角三角形判定等知识．此题难度适中，解题关键是注意方程思想与分类讨论思想应用．

2．已知抛物线.
（1）若该抛物线与x轴有公共点，求c取值范围；
（Ⅱ）设该抛物线与直线交于M，N两点，若，求C值；
（Ⅲ）点P，点Q是抛物线上位于第一象限不一样两点，都垂直于x轴，垂足分别为A，B，若，求c取值范围.
【答案】（I）；（Ⅱ）；（Ⅲ）c取值范围是
【解析】
【分析】
(1) 抛物线与x轴有公共点，则鉴别式为非负数，列不等式求解即可;
(2)求出二次函数与直线交点，并根据勾股定理求出MN长度，列方程即可求解;
(3)由可知，P,Q两点坐标特点，设坐标得到设点P坐标为，则点Q坐标为，代入二次函数，得到n,m关系，则只需保证该方程有正根即可求解.
【详解】
解：（I）∵抛物线与x轴有交点，
∴一元二次方程有实根。
，即.解得
（Ⅱ）根据题意，设
由，消去y，得 ①.
由，得.
∴方程①解为

，解得
（Ⅲ）设点P坐标为，则点Q坐标为，且，
，两式相减，得，即
，即
，其中
由，即，得.
当时，，不合题意。
又，得.
∴c取值范围是
【点睛】
本题重要考察是二次函数综合应用，解答本题重要应用了待定系数法求二次解析式，数形结合思想应用及待定系数法应用是解题关键，属于中考压轴题．

3．如图，抛物线y＝ax2＋bx（a≠0）过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B有关抛物线对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．
（1）求抛物线体现式；
（2）直接写出点C坐标，并求出△ABC面积；
（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，与否存在这样点P，使得△ABP面积为△ABC面积2倍？若存在，求出点P坐标，若不存在，请阐明理由；
（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴正半轴上运动，当以点C，M，N为顶点三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN面积．

【答案】（1）y＝－x2＋4x；（2）C（3，3），面积为3；（3）P坐标为（5，－5）；（4）或5．
【解析】
试题分析：（1）运用待定系数法进行求解即可；
（2）先求出抛物线对称轴，运用对称性即可写出点C坐标，运用三角形面积公式即可求面积；
（3）运用三角形面积以及点P所处象限特点即可求；
（4）分状况进行讨论，确定点M、N，然后三角形面积公式即可求.
试题解析：（1）将A（4，0），B（1，3）代入到y＝ax2＋bx中，得 ，解得 ，
∴抛物线体现式为y＝－x2＋4x．
（2）∵抛物线体现式为y＝－x2＋4x，∴抛物线对称轴为直线x＝2．
又C，B有关对称轴对称，∴C（3，3）．∴BC＝2，∴S△ABC＝×2×3＝3．
（3）存在点P．作PQ⊥BH于点Q，设P（m，－m2＋4m）．
∵S△ABP＝2S△ABC，S△ABC＝3，∴S△ABP＝6．
∵S△ABP＋S△BPQ＝S△ABH＋S梯形AHQP
∴6＋×（m－1）×（3＋m2－4m）＝×3×3＋×（3＋m－1）（m2－4m）
整理得m2－5m＝0，解得m1＝0（舍），m2＝5，∴点P坐标为（5，－5）．
（4）或5．
提醒：①当以M为直角顶点，则S△CMN＝；
②当以N为直角顶点，S△CMN＝5；
③当以C为直角顶点时，此种状况不存在．

【点睛】本题是二次函数综合题，重要考察待定系数法求解析式，三角形面积、直角三角形判定等，能对地根据题意确定图形，分状况进行讨论是解题关键.

4．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c通过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△CDP为等腰三角形时，求点P坐标；
（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是线段EF上一动点，M（m，0）是x轴一种动点，若∠MNC＝90°，祈求出m取值范围．

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点P坐标为（1，2）或（2，1）或（3﹣）；（3）
【解析】
【分析】
（1）运用待定系数法即可求得此抛物线解析式；
（2）由待定系数法即可求得直线BC解析式，再设P（t，3﹣t），即可得D（t，﹣t2+2t+3），即可求得PD长，然后分三种状况讨论，求点P坐标；
（3）直角三角形斜边上中线等于斜边二分之一列出关系式m＝（n﹣）2﹣，然后根据n取值得到最小值．
【详解】
解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c通过点A、B、C，A（﹣1，0），C（0，3），
∴，解得b＝2，c＝3．
故该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3．
（2）令﹣x2+2x+3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
即B（3，0），
设直线BC解析式为y＝kx+b′，
则，
解得：k=-1,b’=3
故直线BC解析式为y＝﹣x+3；
∴设P（t，3﹣t），
∴D（t，﹣t2+2t+3），
∴PD＝（﹣t2+2t+3）﹣（3﹣t）＝﹣t2+3t，
∵OB＝OC＝3，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠OCB＝45°，
当CD＝PC时，则∠CPD＝∠CDP，
∵PD∥y轴，
∴∠CPD＝∠OCB＝45°，
∴∠CDP＝45°，
∴∠PCD＝90°，
∴直线CD解析式为y＝x+3，
解得或
∴D（1，4），
此时P（1，2）；
当CD＝PD时，则∠DCP＝∠CPD＝45°，
∴∠CDP＝90°，
∴CD∥x轴，
∴D点纵坐标为3，
代入y＝﹣x2+2x+3得，3＝﹣x2+2x+3，
解得x＝0或x＝2，
此时P（2，1）；
当PC＝PD时，∵PC＝t，
∴t＝﹣t2+3t，
解得t＝0或t＝3﹣，
此时P（3﹣，）；
综上，当△CDP为等腰三角形时，点P坐标为（1，2）或（2，1）或（3﹣，）
（3）如图2，由（1）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴E（1，4），
设N（1，n），则0≤n≤4，
取CM中点Q（，），
∵∠MNC＝90°，
∴NQ＝CM，
∴4NQ2＝CM2，
∵NQ2＝（1﹣）2+（n﹣）2，
∴4[（1﹣）2+（n﹣）2]＝m2+9，
整理得，m＝（n﹣）2﹣，
∵0≤n≤4，
当n＝时，m最小值＝﹣，n＝4时，m＝5，
综上，m取值范围为：﹣≤m≤5．

【点睛】
此题考察了待定系数法求函数解析式、平行线性质、二次函数最值问题、鉴别式应用以及等腰直角三角形性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想应用．

5．二次函数y=x2-2mx+3（m＞）图象与x轴交于点A（a，0）和点B（a+n，0）（n＞0且n为整数），与y轴交于C点．
（1）若a=1，①求二次函数关系式；②求△ABC面积；
（2）求证：a=m-；
（3）线段AB（包括A、B）上有且只有三个点横坐标是整数，求a值．
【答案】（1）y=x2-4x+3；3；（2）证明见解析；（3）a=1或a=−．
【解析】
试题分析：（1）①首先根据a=1求得A坐标，然后裔入二次函数解析式，求得m值即可确定二次函数解析式；
②根据解析式确定抛物线与坐标轴交点坐标，从而确定三角形面积；
（2）将原二次函数配方后即可确定其对称轴为x=m，然后根据A、B两点有关x=m对称得到a+n-m=m-a，从而确定a、m、n之间关系；
（3）根据a=m-得到A（m-，0）代入y=（x-m）2-m2+3得0=（m--m）2-m2+3，求得m值即可确定a值．
试题解析：（1）①∵a=1，
∴A（1，0），
代入y=x2-2mx+3得1-2m+3=0，解得m=2，
∴y=x2-4x+3；
②在y=x2-4x+3中，当y=0时，有x2-4x+3=0可得x=1或x=3，
∴A（1，0）、B（3，0），
∴AB=2再根据解析式求出C点坐标为（0，3），
∴OC=3，
△ABC面积=×2×3=3；
（2）∵y=x2-2mx+3=（x-m）2-m2+3，
∴对称轴为直线x=m，
∵二次函数y=x2-2mx+3图象与x轴交于点A和点B
∴点A和点B有关直线x=m对称，
∴a+n-m=m-a，
∴a=m-；
（3）y=x2-2mx+3（m＞）化为顶点式为y=（x-m）2-m2+3（m＞）
①当a为整数，由于n＞0且n为整数 因此a+n是整数，
∵线段AB（包括A、B）上有且只有三个点横坐标是整数，
∴n=2，
∴a=m-1，
∴A（m-1，0）代入y=（x-m）2-m2+3得（x-m）2-m2+3=0，
∴m2-4=0，
∴m=2，m=-2（舍去），
∴a=2-1=1，
②当a不是整数，由于n＞0且n为整数 因此a+n不是整数，
∵线段AB（包括A、B）上有且只有三个点横坐标是整数，
∴n=3，
∴a=m-
∴A（m-，0）代入y=（x-m）2-m2+3得0=（m--m）2-m2+3，
∴m2=，
∴m=，m=-（舍去），
∴a=−，
综上所述：a=1或a=−．
考点：二次函数综合题．

6．如图，已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B．抛物线过A、B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．
（1）如图1，设抛物线顶点为M，且M坐标是（，），对称轴交AB于点N．
①求抛物线解析式；
②与否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并阐明理由；
（2）与否存在这样点D，使得四边形BOAD面积最大？若存在，求出此时点D坐标；若不存在，请阐明理由．

【答案】（1）①y＝﹣2x2+2x+4；；②不存在点P，使四边形MNPD为菱形；；（2）存在，点D坐标是（1，4）．
【解析】
【分析】
（1）①由一次函数图象上点坐标特征求得点B坐标，设抛物线解析式为y＝a，把点B坐标代入求得a值即可；
②不存在点P，使四边形MNPD为菱形．设点P坐标是（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），根据题意知PD∥MN，因此当PD＝MN时，四边形MNPD为平行四边形，根据该等量关系列出方程﹣2m2+4m＝，通过解方程求得m值，易得点N、P坐标，然后推知PN＝MN与否成立即可；
（2）设点D坐标是（n，﹣2n2+2n+4），P（n，﹣2n+4）．根据S四边形BOAD＝S△BOA+S△ABD＝4+S△ABD，则当S△ABD取最大值时，S四边形BOAD最大．根据三角形面积公式得到函数S△ABD＝﹣2（n﹣1）2+2．由二次函数性质求得最值．
【详解】
解：①如图1，
∵顶点M坐标是，
∴设抛物线解析式为y＝（a≠0）．
∵直线y＝﹣2x+4交y轴于点B，
∴点B坐标是（0，4）．
又∵点B在该抛物线上，
∴＝4，
解得a＝﹣2．
故该抛物线解析式为：y＝＝﹣2x2+2x+4；
②不存在．理由如下：
∵抛物线y＝对称轴是直线x＝，且该直线与直线AB交于点N，
∴点N坐标是．
∴．
设点P坐标是（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），
∴PD＝（﹣2m2+2m+4）﹣（﹣2m+4）＝﹣2m2+4m．
∵PD∥MN．
当PD＝MN时，四边形MNPD是平行四边形，即﹣2m2+4m＝．
解得 m1＝（舍去），m2＝．
此时P（，1）．
∵PN＝，
∴PN≠MN，
∴平行四边形MNPD不是菱形．
∴不存在点P，使四边形MNPD为菱形；
（2）存在，理由如下：
设点D坐标是（n，﹣2n2+2n+4），
∵点P在线段AB上且直线PD⊥x轴，
∴P（n，﹣2n+4）．
由图可知S四边形BOAD＝S△BOA+S△ABD．其中S△BOA＝OB•OA＝×4×2＝4．
则当S△ABD取最大值时，S四边形BOAD最大．
S△ABD＝（yD﹣yP）（xA﹣xB）
＝yD﹣yP
＝﹣2n2+2n+4﹣（﹣2n+4）
＝﹣2n2+4n
＝﹣2（n﹣1）2+2．
当n＝1时，S△ABD获得最大值2，S四边形BOAD有最大值．
此时点D坐标是（1，4）．

【点睛】
重要考察了二次函数解析式求法和与几何图形结合综合能力培养．要会运用数形结合思想把代数和几何图形结合起来，运用点坐标意义表达线段长度，从而求出线段之间关系．

7．如图，已知二次函数图象顶点坐标为，与坐标轴交于B、C、D三点，且B点坐标为．
（1）求二次函数解析式；
（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M左侧，过M、N作x轴垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长最大值；
（3）当矩形MNHG周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使面积是矩形MNHG面积？若存在，求出该点横坐标；若不存在，请阐明理由．

【答案】（1） （2）最大值为10
（3）故点P坐标为：或或．
【解析】
【分析】
（1）二次函数体现式为：，将点B坐标代入上式，即可求解；
（2）矩形MNHG周长，即可求解；
（3），解得：，即可求解．
【详解】
（1）二次函数体现式为：，
将点B坐标代入上式得：，解得：，
故函数体现式为：…①；
（2）设点M坐标为，则点，
则，，
矩形MNHG周长，
∵，故当，C有最大值，最大值为10，
此时，点与点D重叠；
（3）面积是矩形MNHG面积，
则，
连接DC，在CD得上下方等距离处作CD平行线m、n，
过点P作y轴平行线交CD、直线n于点H、G，即，
过点P作于点K，

将、坐标代入一次函数体现式并解得：
直线CD体现式为：，
，∴，，
设点，则点，
，
解得：，
则，
解得：，
故点，
直线n体现式为：…②，
联立①②并解得：，
即点、坐标分别为、；
故点P坐标为：或或．
【点睛】
重要考察了二次函数解析式求法和与几何图形结合综合能力培养．要会运用数形结合思想把代数和几何图形结合起来，运用点坐标意义表达线段长度，从而求出线段之间关系．

8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线顶点坐标为（2，0），且通过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．
（1）求抛物线解析式；
（2）在l上与否存在一点P，使PA+PB获得最小值？若存在，求出点P坐标；若不存在，请阐明理由．
（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l距离与点M到点F距离总是相等，求定点F坐标．

【答案】（1）抛物线解析式为y=x2﹣x+1．（2）点P坐标为（，﹣1）．（3）定点F坐标为（2，1）．
【解析】
分析：（1）由抛物线顶点坐标为（2，0），可设抛物线解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），运用待定系数法即可求出抛物线解析式；
（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B坐标，作点B有关直线l对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB获得最小值，根据点B坐标可得出点B′坐标，根据点A、B′坐标运用待定系数法可求出直线AB′解析式，再运用一次函数图象上点坐标特征即可求出点P坐标；
（3）由点M到直线l距离与点M到点F距离总是相等结合二次函数图象上点坐标特征，即可得出（1--y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m任意性可得出有关x0、y0方程组，解之即可求出顶点F坐标．
详解：（1）∵抛物线顶点坐标为（2，0），
设抛物线解析式为y=a（x-2）2．
∵该抛物线通过点（4，1），
∴1=4a，解得：a=，
∴抛物线解析式为y=（x-2）2=x2-x+1．
（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得：
，解得：，，
∴点A坐标为（1，），点B坐标为（4，1）．
作点B有关直线l对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB获得最小值（如图1所示）．

∵点B（4，1），直线l为y=-1，
∴点B′坐标为（4，-3）．
设直线AB′解析式为y=kx+b（k≠0），
将A（1，）、B′（4，-3）代入y=kx+b，得：
，解得：，
∴直线AB′解析式为y=-x+，
当y=-1时，有-x+=-1，
解得：x=，
∴点P坐标为（，-1）．
（3）∵点M到直线l距离与点M到点F距离总是相等，
∴（m-x0）2+（n-y0）2=（n+1）2，
∴m2-2x0m+x02-2y0n+y02=2n+1．
∵M（m，n）为抛物线上一动点，
∴n=m2-m+1，
∴m2-2x0m+x02-2y0（m2-m+1）+y02=2（m2-m+1）+1，
整理得：（1--y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0．
∵m为任意值，
∴，
∴，
∴定点F坐标为（2，1）．
点睛：本题考察了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点坐标特征、轴对称中最短途径问题以及解方程组，解题关键是：（1）根据点坐标，运用待定系数法求出二次函数解析式；（2）运用两点之间线段最短找出点P位置；（3）根据点M到直线l距离与点M到点F距离总是相等结合二次函数图象上点坐标特征，找出有关x0、y0方程组．

9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c通过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点．
（1）求抛物线函数体现式；
（2）如图1，P为抛物线上在第二象限内一点，若△PAC面积为3，求点P坐标；
（3）如图2，D为抛物线顶点，在线段AD上与否存在点M，使得以M，A，O为顶点三角形与△ABC相似？若存在，求点M坐标；若不存在，请阐明理由．

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）点P坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）；（3）存在，（，）或（，），见解析.
【解析】
【分析】
（1）运用待定系数法，然后将A、B、C坐标代入解析式即可求得二次函数解析式；
（2））过P点作PQ垂直x轴，交AC于Q，把△APC提成两个△APQ与△CPQ，把PQ作为两个三角形底，通过点A，C横坐标表达出两个三角形高即可求得三角形面积．
（3）通过三角形函数计算可得∠DAO=∠ACB，使得以M，A，O为顶点三角形与△ABC相似，则有两种状况，∠AOM=∠CAB=45°，即OM为y=-x，若∠AOM=∠CBA，则OM为y=-3x+3，然后由直线解析式可求OM与AD交点M．
【详解】
（1）把A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）代入抛物线解析式y＝ax2+bx+c得
，
解得，
因此抛物线函数体现式为y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）如解（2）图1，过P点作PQ平行y轴，交AC于Q点，

∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴直线AC解析式为y＝x+3，
设P点坐标为（x，﹣x2﹣2x+3．），则Q点坐标为（x，x+3），
∴PQ＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x．
∴S△PAC＝，
∴，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2．
当x＝﹣1时，P点坐标为（﹣1，4），
当x＝﹣2时，P点坐标为（﹣2，3），
综上所述：若△PAC面积为3，点P坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3），
（3）如解（3）图1，过D点作DF垂直x轴于F点，过A点作AE垂直BC于E点，

∵D为抛物线y＝﹣x2﹣2x+3顶点，
∴D点坐标为（﹣1，4），
又∵A（﹣3，0），
∴直线AC为y＝2x+4，AF＝2，DF＝4，tan∠PAB＝2，
∵B（1，0），C（0，3）
∴tan∠ABC＝3，BC＝，sin∠ABC＝，直线BC解析式为y＝﹣3x+3．
∵AC＝4，
∴AE＝AC•sin∠ABC＝＝，BE＝，
∴CE＝，
∴tan∠ACB＝，
∴tan∠ACB＝tan∠PAB＝2，
∴∠ACB＝∠PAB，
∴使得以M，A，O为顶点三角形与△ABC相似，则有两种状况，如解（3）图2

Ⅰ．当∠AOM＝∠CAB＝45°时，△ABC∽△OMA，
即OM为y＝﹣x，
设OM与AD交点M（x，y）
依题意得：，
解得，
即M点为（，）．
Ⅱ．若∠AOM＝∠CBA，即OM∥BC，
∵直线BC解析式为y＝﹣3x+3．
∴直线OM为y＝﹣3x，设直线OM与AD交点M（x，y）．则
依题意得：，
解得，
即M点为（，），
综上所述：存在使得以M，A，O为顶点三角形与△ABC相似点M，其坐标为（，）或（，）．
【点睛】
本题结合三角形性质考察二次函数综合应用，函数和几何图形综合题目，要会运用数形结合思想把代数和几何图形结合起来，运用点坐标意义表达线段长度，从而求出线段之间关系．

10．如图，若b是正数，直线l：y=b与y轴交于点A；直线a：y=x﹣b与y轴交于点B；抛物线L：y=﹣x2+bx顶点为C，且L与x轴右交点为D．

（1）若AB=8，求b值，并求此时L对称轴与a交点坐标；
（2）当点C在l下方时，求点C与l距离最大值；
（3）设x0≠0，点（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分别在l，a和L上，且y3是y1，y2平均数，求点（x0，0）与点D间距离；
（4）在L和a所围成封闭图形边界上，把横、纵坐标都是整数点称为“美点”，分别直接写出b=和b=.5时“美点”个数．
【答案】（1）b=4，（2，﹣2 ）；（2）1；（3）；（4）当b=时“美点”个数为4040个，b=.5时“美点”个数为1010个．
【解析】
【分析】
（1）求出A、B 坐标，由AB=8，可求出b值．从而得到L解析式，找出L对称轴与a交点即可；
（2）通过配方，求出L顶点坐标，由于点C在l下方，则C与l距离，配方即可得出结论；
（3）由題意得y1+y2=2y3，进而有b+x0﹣b=2（﹣x02+bx0）解得x0值，求出L与x轴右交点为D坐标，即可得出结论；
（4）①当b=时，抛物线解析式L：y=﹣x2+x直线解析式a：y=x﹣，美点”总计4040个点，②当b=.5时，抛物线解析式L：y=﹣x2+.5x，直线解析式a：y=x﹣.5，“美点”共有1010个．
【详解】
（1）当x=0吋，y=x﹣b=﹣b，∴B （0，﹣b）．
∵AB=8，而A（0，b），∴b﹣（﹣b）=8，∴b=4，∴L：y=﹣x2+4x，∴L对称轴x=2，当x=2时，y=x﹣4=﹣2，∴L对称轴与a交点为（2，﹣2 ）；
（2）y=﹣（x）2，∴L顶点C（，）．
∵点C在l下方，∴C与l距离b（b﹣2）2+1≤1，∴点C与l距离最大值为1；
（3）∵y3是y1，y2平均数，∴y1+y2=2y3，∴b+x0﹣b=2（﹣x02+bx0），解得：x0=0或x0=b．
∵x0≠0，∴x0=b，对于L，当y=0吋，0=﹣x2+bx，即0=﹣x（x﹣b），解得：x1=0，x2=b．
∵b＞0，∴右交点D（b，0），∴点（x0，0）与点D间距离b﹣（b）．
（4）①当b=时，抛物线解析式L：y=﹣x2+x，直线解析式a：y=x﹣．
联立上述两个解析式可得：x1=﹣1，x2=，∴可知每一种整数x值都对应一种整数y值，且﹣1和之间（包括﹣1和﹣）共有个整数；
∵此外要懂得所围成封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，∴线段和抛物线上各有个整数点，∴总计4042个点．
∵这两段图象交点有2个点反复，∴美点”个数：4042﹣2=4040（个）；
②当b=.5时，抛物线解析式L：y=﹣x2+.5x，直线解析式a：y=x﹣.5，联立上述两个解析式可得：x1=﹣1，x2=.5，∴当x取整数时，在一次函数y=x﹣.5上，y取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0，在二次函数y=x2+.5x图象上，当x为偶数时，函数值y可取整数，可知﹣1到.5之 间有1010个偶数，因此“美点”共有1010个．
故b=时“美点”个数为4040个，b=.5时“美点”个数为1010个．
【点睛】
本题考察了二次函数，纯熟运用二次函数性质以及待定系数法求函数解析式是解题关键．

11．（12分）如图所示是隧道截面由抛物线和长方形构成，长方形长是12 m，宽是4 m．按照图中所示直角坐标系，抛物线可以用y=x2+bx+c表达，且抛物线上点C到OB水平距离为3 m，到地面OA距离为m.
（1）求抛物线函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，假如隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面高度相等，假如灯离地面高度不超过8m，那么两排灯水平距离最小是多少米？

【答案】（1）抛物线函数关系式为y=x2+2x+4，拱顶D到地面OA距离为10 m；(2)两排灯水平距离最小是4 m．
【解析】
【详解】
试题分析：根据点B和点C在函数图象上，运用待定系数法求出b和c值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA交点为（2,0）（或（10,0）），然后求出当x=2或x=10时y值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x值，然后进行做差得出最小值．
试题解析：（1）由题知点在抛物线上
因此，解得，因此
因此，当时，
答：，拱顶D到地面OA距离为10米
（2）由题知车最外侧与地面OA交点为（2,0）（或（10,0））
当x=2或x=10时，，因此可以通过
（3）令，即，可得，解得

答：两排灯水平距离最小是
考点：二次函数实际应用．

12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线顶点．
（1）求抛物线解析式和直线AC解析式；
（2）请在y轴上找一点M，使△BDM周长最小，求出点M坐标；
（3）试探究：在拋物线上与否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边三角形是直角三角形？若存在，祈求出符合条件点P坐标；若不存在，请阐明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC解析式为y=3x+3；（2）点M坐标为（0，3）；
（3）符合条件点P坐标为（，）或（，﹣），
【解析】
分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后运用待定系数法求直线AC解析式；
（2）运用二次函数性质确定D坐标为（1，4），作B点有关y轴对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），运用两点之间线段最短可判断此时MB+MD值最小，则此时△BDM周长最小，然后求出直线DB′解析式即可得到点M坐标；
（3）过点C作AC垂线交抛物线于另一点P，如图2，运用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC解析式为y=-x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC解析式为y=-x+3，再解方程组得此时P点坐标；当过点A作AC垂线交抛物线于另一点P时，运用同样措施可求出此时P点坐标．
详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），
即y=ax2﹣2ax﹣3a，
∴﹣2a=2，解得a=﹣1，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），
设直线AC解析式为y=px+q，
把A（﹣1，0），C（0，3）代入得，解得，
∴直线AC解析式为y=3x+3；
（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D坐标为（1，4），
作B点有关y轴对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），

∵MB=MB′，
∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD值最小，
而BD值不变，
∴此时△BDM周长最小，
易得直线DB′解析式为y=x+3，
当x=0时，y=x+3=3，
∴点M坐标为（0，3）；
（3）存在．
过点C作AC垂线交抛物线于另一点P，如图2，

∵直线AC解析式为y=3x+3，
∴直线PC解析式可设为y=﹣x+b，
把C（0，3）代入得b=3，
∴直线PC解析式为y=﹣x+3，
解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，）；
过点A作AC垂线交抛物线于另一点P，直线PC解析式可设为y=﹣x+b，
把A（﹣1，0）代入得+b=0，解得b=﹣，
∴直线PC解析式为y=﹣x﹣，
解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，﹣）.
综上所述，符合条件点P坐标为（，）或（，﹣）.
点睛：本题考察了二次函数综合题：纯熟掌握二次函数图象上点坐标特征和二次函数性质；会运用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数关系，通过解方程组求把两函数交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短处理最短途径问题；会运用分类讨论思想处理数学问题．

13．已知矩形ABCD中，AB=5cm，点P为对角线AC上一点，且AP=.如图①，动点M从点A出发，在矩形边上沿着方向匀速运动(不包含点C).设动点M运动时间为t(s)，面积为S(cm²)，S与t函数关系如图②所示：
(1)直接写出动点M运动速度为 ，BC长度为 ;
(2)如图③，动点M重新从点A出发，在矩形边上，按本来速度和方向匀速运动.同步，另一种动点N从点D出发，在矩形边上沿着方向匀速运动，设动点N运动速度为.已知两动点M、N通过时间在线段BC上相遇(不包含点C)，动点M、N相遇后立即停止运动，记此时面积为.
①求动点N运动速度取值范围;
②试探究与否存在最大值.若存在，求出最大值并确定运动速度时间值；若不存在，请阐明理由.

【答案】(1)2，10；(2)①；②当时，取最大值.
【解析】
【分析】
（1）由题意可知图像中0~2.5s时，M在AB上运动，求出速度，2.5~7.5s时，M在BC上运动，求出BC长度；（2）①分别求出在C点相遇和在B点相遇时速度，取中间速度，注意C点相遇时速度不能取等于；②过M点做MH⊥AC，则
得到S1，同步运用=15，得到S2，再得到有关x二次函数，运用二次函数性质求得最大值
【详解】
(1)5÷2.5=2；（7.5-2.5）×2=10
(2)①解：在C点相遇得到方程
在B点相遇得到方程
∴
解得
∵在边BC上相遇，且不包含C点
∴
②如下图

=15

过M点做MH⊥AC，则
∴
∴

=
=
由于，因此当时，取最大值.
【点睛】
本题重点考察动点问题，二次函数应用，求不规则图形面积等知识点，第一问关键可以从图像中得到信息，第二问第一小问关键在理清晰运动过程，第二小问关键在可以用x表达出S1和S2

14．如图，已知抛物线图象与x轴一种交点为B（5，0），另一种交点为A，且与y轴交于点C（0，5）。

（1）求直线BC与抛物线解析式；
（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN最大值；
（3）在（2）条件下，MN获得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ面积为S1，△ABN面积为S2，且S1=6S2，求点P坐标。
【答案】（1）
（2）
（3）P坐标为（－1，12）或（6，5）或（2，－3）或（3，－4）
【解析】
【分析】
（1）由B（5，0），C（0，5），应用待定系数法即可求直线BC与抛物线解析式。
（2）构造MN有关点M横坐标函数关系式，应用二次函数最值原理求解。
（3）根据S1=6S2求得BC与PQ距离h，从而求得PQ由BC平移距离，根据平移性质求得PQ解析式，与抛物线联立，即可求得点P坐标。
【详解】
解：（1）设直线BC解析式为，
将B（5，0），C（0，5）代入，得，得。
∴直线BC解析式为。
将B（5，0），C（0，5）代入，得，得。
∴抛物线解析式。
（2）∵点M是抛物线在x轴下方图象上动点，∴设M。
∵点N是直线BC上与点M横坐标相似点，∴N。
∵当点M在抛物线在x轴下方时，N纵坐标总不小于M纵坐标。
∴。
∴MN最大值是。
（3）当MN获得最大值时，N。
∵对称轴是，B（5，0），∴A（1，0）。∴AB=4。
∴。
由勾股定理可得，。
设BC与PQ距离为h，则由S1=6S2得：，即。