2025年备战中考数学一元二次方程组培优易错试卷练习含答案含答案.doc

备战中考数学 一元二次方程组 培优易错试卷练习(含答案)含答案

一、一元二次方程
1．阅读下列材料
计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）（+），令+＝t，则：
原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣+t2＝
在上面问题中，用一种字母代表式子中某一部分，能达到简化计算目，这种思想措施叫做“换元法”，请用“换元法”处理下列问题：
（1）计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）×（+）
（2）因式分解：（a2﹣5a+3）（a2﹣5a+7）+4
（3）解方程：（x2+4x+1）（x2+4x+3）＝3
【答案】（1）；（2）（a2﹣5a+5）2；（3）x1＝0，x2＝﹣4，x3＝x4＝﹣2
【解析】
【分析】
（1）仿照材料内容，令+＝t代入原式计算．
（2）观测式子找相似部分进行换元，令a2﹣5a＝t代入原式进行因式分解，最终要记得把t换为a．
（3）观测式子找相似部分进行换元，令x2+4x＝t代入原方程，即得到有关t一元二次方程，得到t两个解后要代回去求出4个x解．
【详解】
（1）令+＝t，则：
原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣﹣t+t2+＝
（2）令a2﹣5a＝t，则：
原式＝（t+3）（t+7）+4＝t2+7t+3t+21+4＝t2+10t+25＝（t+5）2＝（a2﹣5a+5）2
（3）令x2+4x＝t，则原方程转化为：
（t+1）（t+3）＝3
t2+4t+3＝3
t（t+4）＝0
∴t1＝0，t2＝﹣4
当x2+4x＝0时，
x（x+4）＝0
解得：x1＝0，x2＝﹣4
当x2+4x＝﹣4时，
x2+4x+4＝0
（x+2）2＝0
解得：x3＝x4＝﹣2
【点睛】
本题考察用换元法进行整式运算，因式分解，解一元二次方程．运用换元法一般可达到降次效果，从而简便运算．

2．已知：有关x方程x2－4mx＋4m2－1＝0.
(1)不解方程，判断方程根状况；
(2)若△ABC为等腰三角形，BC＝5，此外两条边是方程根，求此三角形周长．2
【答案】(1) 有两个不相等实数根（2）周长为13或17
【解析】
试题分析：（1）根据方程系数结合根鉴别式，可得出△=4＞0，由此可得出：无论m为何值，该方程总有两个不相等实数根；
（2）根据等腰三角形性质及△＞0，可得出5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0根，将x=5代入原方程可求出m值，通过解方程可得出方程解，在运用三角形周长公式即可求出结论．
试题解析：解：（1）∵△=（﹣4m）2﹣4（4m2﹣1）=4＞0，∴无论m为何值，该方程总有两个不相等实数根．
（2）∵△＞0，△ABC为等腰三角形，此外两条边是方程根，∴5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0根．
将x=5代入原方程，得：25﹣20m+4m2﹣1=0，解得：m1=2，m2=3．
当m=2时，原方程为x2﹣8x+15=0，解得：x1=3，x2=5．∵3、5、5可以构成三角形，∴该三角形周长为3+5+5=13；
当m=3时，原方程为x2﹣12x+35=0，解得：x1=5，x2=7．∵5、5、7可以构成三角形，∴该三角形周长为5+5+7=17．
综上所述：此三角形周长为13或17．
点睛：本题考察了根鉴别式、等腰三角形性质、三角形三边关系以及解一元二次方程，解题关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等实数根”；（2）代入x=5求出m值．

3．已知有关x二次函数图象与x轴有2个交点.
（1）求k取值范围；
（2）若图象与x轴交点横坐标为，且它们倒数之和是，求k值.
【答案】（1）k＜- ；（2）k=﹣1
【解析】
试题分析：（1）根据交点得个数，让y=0判断出两个不相等实数根，然后根据鉴别式△= b2-4ac范围可求解出k值；
（2）运用y=0时方程，根据一元二次方程根与系数关系，可直接列式求解可得到k值.
试题解析：（1）∵二次函数y=x2-（2k-1）x+k2+1图象与x轴有两交点，
∴当y=0时，x2-（2k-1）x+k2+1=0有两个不相等实数根．
∴△=b2-4ac=[-（2k-1）]2-4×1×（k2+1）＞0．
解得k＜- ；
（2）当y=0时，x2-（2k-1）x+k2+1=0．
则x1+x2=2k-1，x1•x2=k2+1，
∵=== ，
解得：k=-1或k= （舍去），
∴k=﹣1

4．计算题 
（1）先化简，再求值：÷（1+），其中x=．
（2）已知方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等实数根，求m值．
【答案】（1）；（2）m=4
【解析】
分析：（1）根据分式运算法则和运算次序，先算括号里面，再算除法，注意因式分解作用；
（2）根据一元二次方程根鉴别式求解即可.
详解：（1）÷（1+）
=
=
=x+1，
当x=时，原式=+1=
（2）解：∵方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等实数根，
∴△=（﹣2）2﹣4×1×（m﹣3）=0，
解得，m=4
点睛：此题重要考察了分式混合运算和一元二次方程根鉴别式，关键是熟记分式方程运算次序和法则，注意通分约分作用.

5．解方程：（3x+1）2=9x+3．
【答案】x1=﹣，x2=．
【解析】
试题分析：运用因式分解法解一元二次方程即可.
试题解析：方程整理得：（3x+1）2﹣3（3x+1）=0，
分解因式得：（3x+1）（3x+1﹣3）=0，
可得3x+1=0或3x﹣2=0，
解得：x1=﹣，x2=．
点睛：此题重要考察了一元二次方程解法，解题关键是认真观测一元二次方程特点，然后再从一元二次方程解法：直接开平措施、配措施、公式法、因式分解法中合理选择即可.

6．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们．
（1）通过和花店卖家议价，可在原标价基础上打八折购进，若在花店购置80个礼盒最多花费7680元，祈求出每个礼盒在花店最高标价；（用不等式解答）
（2）后来学生会理解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购置相似数量礼盒，但实际购置过程中，“大众点评”网上购置价格比原有价格上涨m%，购置数量和原计划同样：“美团”网上购置价格比原有价格下降了m元，购置数量在原计划基础上增长15m%，最终，在两个网站实际消费总额比原计划预算总额增长了m%，求出m值．
【答案】（1）120；（2）20．
【解析】
试题分析：（1）本题简介两种解法：
解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，解出即可；
解法二：根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店最高标价；
（2）先假设学生会计划在这两个网站上分别购置礼盒数为a个礼盒，表达在“大众点评”网上购置实际消费总额：120a（1﹣25%）（1+m%），在“美团”网上购置实际消费总额：a[120（1﹣25%）﹣m]（1+15m%）；根据“在两个网站实际消费总额比原计划预算总额增长了m%”列方程解出即可．
试题解析：（1）解：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，x≤120；
解法二：7680÷80÷0.8=96÷0.8=120（元）．
答：每个礼盒在花店最高标价是120元；
（2）解：假设学生会计划在这两个网站上分别购置礼盒数为a个礼盒，由题意得：120×0.8a（1﹣25%）（1+m%）+a[120×0.8（1﹣25%）﹣m]（1+15m%）=120×0.8a（1﹣25%）×2（1+ m%），即72a（1+ m%）+a（72﹣ m）（1+15m%）=144a（1+ m%），整理得：0．0675m2﹣1.35m=0，m2﹣20m=0，解得：m1=0（舍），m2=20．
答：m值是20．
点睛：本题是一元二次方程应用，第二问有难度，对表达出“大众点评”或“美团”实际消费总额是解题关键．

7．解方程：．
【答案】x=或x=1
【解析】
【分析】
设，则原方程变形为y2-2y-3=0, 解这个一元二次方程求y，再求x．
【详解】
解：设，则原方程变形为y2-2y-3=0．
解这个方程，得y1=-1,y2=3,
∴或．
解得x=或x=1．
经检查：x=或x=1都是原方程解．
∴原方程解是x=或x=1．
【点睛】
考察了还原法解分式方程，用换元法解某些复杂分式方程是比较简单一种措施，根据方程特点设出对应未知数，解方程可以使问题简单化，注意求出方程解后要验根．

8．已知有关x一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0有两根α，β．
（1）求m取值范围；
（2）若，则m值为多少？
【答案】（1）；（2）m值为3．
【解析】
【分析】
（1）根据△≥0即可求解,
（2）化简,运用韦达定理求出α+β，αβ,代入解方程即可.
【详解】
解：（1）由题意知，（2m+3）2﹣4×1×m2≥0，
解得：m≥-；
（2）由根与系数关系得：α+β=﹣（2m+3），αβ=m2，
∵即=-1,
∴=-1,整理得m2﹣2m﹣3=0
解得：m1=﹣1，m1=3，
由（1）知m≥-，
∴m1=﹣1应舍去，
∴m值为3．
【点睛】
本题考察了一元二次方程根鉴别式以及韦达定理，对根进行判断是对解题关键.

9．某小区决定把一块长，宽矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相似矩形) ，空白区域为活动区，且四周4个出口宽度相似，当绿化区较长边为何值时，活动区面积达到?

【答案】当时，活动区面积达到
【解析】
【分析】
根据“活动区面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答.
【详解】
解:设绿化区宽为y，则由题意得
.
即
列方程:
解得 (舍)，.
∴当时，活动区面积达到
【点睛】
本题是一元二次方程应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．

10．用合适措施解下列一元二次方程：
（1）2x2＋4x－1＝0；（2）(y＋2)2－(3y－1)2＝0.
【答案】（1）x1＝－1＋，x2＝－1－；（2）y1＝－，y2＝.
【解析】
试题分析：（1）根据方程特点，运用公式法解一元二次方程即可；
（2）根据因式分解法，运用平方差公式因式分解，然后再根据乘积为0方程解法求解即可.
试题解析：（1）∵a=2，b=4，c=-1
∴△=b2-4ac=16+8=24＞0
∴x==
∴x1＝－1＋，x2＝－1－
（2）(y＋2)2－(3y－1)2＝0
[(y+2)+(3y-1)][ (y+2)-(3y-1)]=0
即4y+1=0或-2y+3=0
解得y1＝－，y2＝.

11．已知:如图，在中，，cm，cm.直线 从点出发，以2 cm/s速度向点方向运动，并一直与平行，与线段交于点.同步，点从点出发，以1cm/s速度沿向点运动，设运动时间为(s) () .
(1)当为何值时，四边形是矩形?
(2)当面积是面积5倍时，求出值;

【答案】（1）；（2）。
【解析】
【分析】
（1）首先根据勾股定理计算AB长，再根据相似比例表达PE长度，再结合矩形性质即可求得t值.
（2）根据面积相等列出方程，求解即可.
【详解】
解：（1）在中，，

，当时，四边形PECF是矩形，
解得
（2）由题意
整理得，解得
，面积是面积5倍。
【点睛】
本题重要考察矩形动点问题，这是近几年考试热点，必须纯熟掌握.

12．（问题）如图①，在a×b×c（长×宽×高，其中a，b，c为正整数）个小立方块构成长方体中，长方体个数是多少？
（探究）

探究一：
（1）如图②，在2×1×1个小立方块构成长方体中，棱AB上共有1+2==3条线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体个数为3×1×1=3．
（2）如图③，在3×1×1个小立方块构成长方体中，棱AB上共有1+2+3==6条线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体个数为6×1×1=6．
（3）依此类推，如图④，在a×1×1个小立方块构成长方体中，棱AB上共有1+2+…+a=线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，则图中长方体个数为______．
探究二：
（4）如图⑤，在a×2×1个小立方块构成长方体中，棱AB上有条线段，棱AC上有1+2==3条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体个数为×3×1=．
（5）如图⑥，在a×3×1个小立方块构成长方体中，棱AB上有条线段，棱AC上有1+2+3==6条线段，棱AD上只有1条线段，则图中长方体个数为______．
（6）依此类推，如图⑦，在a×b×1个小立方块构成长方体中，长方体个数为______．

探究三：
（7）如图⑧，在以a×b×2个小立方块构成长方体中，棱AB上有条线段，棱AC上有
条线段，棱AD上有1+2==3条线段，则图中长方体个数为××3=．
（8）如图⑨，在a×b×3个小立方块构成长方体中，棱AB上有条线段，棱AC上有条线段，棱AD上有1+2+3==6条线段，则图中长方体个数为______．

（结论）如图①，在a×b×c个小立方块构成长方体中，长方体个数为______．
（应用）在2×3×4个小立方块构成长方体中，长方体个数为______．
（拓展）
假如在若干个小立方块构成正方体中共有1000个长方体，那么构成这个正方体小立方块个数是多少？请通过计算阐明你结论．
【答案】探究一：（3） ；探究二：（5）3a（a+1）；（6） ；探究三：（8） ；【结论】：① ；【应用】： 180；【拓展】：构成这个正方体小立方块个数是64，见解析.
【解析】
【分析】
（3）根据规律，求出棱AB，AC，AD上线段条数，即可得出结论；
（5）根据规律，求出棱AB，AC，AD上线段条数，即可得出结论；
（6）根据规律，求出棱AB，AC，AD上线段条数，即可得出结论；
（8）根据规律，求出棱AB，AC，AD上线段条数，即可得出结论；
(结论)根据规律，求出棱AB，AC，AD上线段条数，即可得出结论；
(应用)a=2，b=3，c=4代入(结论)中得出成果，即可得出结论；
(拓展)根据(结论)中得出成果，建立方程求解，即可得出结论．
【详解】
解：探究一、（3）棱AB上共有线段，棱AC，AD上分别只有1条线段，
则图中长方体个数为 ×1×1= ，
故答案为 ；
探究二：（5）棱AB上有 条线段，棱AC上有6条线段，棱AD上只有1条线段，
则图中长方体个数为 ×6×1=3a（a+1），
故答案为3a（a+1）；
（6）棱AB上有 条线段，棱AC上有条线段，棱AD上只有1条线段，
则图中长方体个数为 ××1=，
故答案为；
探究三：（8）棱AB上有 条线段，棱AC上有条线段，棱AD上有6条线段，
则图中长方体个数为 ××6=，
故答案为；
(结论)棱AB上有 条线段，棱AC上有条线段，棱AD上有条线段，
则图中长方体个数为××=，
故答案为；
(应用)由(结论)知，，
∴在2×3×4个小立方块构成长方体中，长方体个数为=180，
故答案为为180；
拓展：设正方体每条棱上均有x个小立方体，即a=b=c=x，
由题意得
=1000，
∴[x（x+1）]3=203，
∴x（x+1）=20，
∴x1=4，x2=-5（不合题意，舍去）
∴4×4×4=64
因此构成这个正方体小立方块个数是64．
【点睛】
解此题关键在于根据已知得出规律，题目很好，但有一定难度，是一道比较容易出错题目．

13．某商场一种商品进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
（1）若该商品持续两次下调相似百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降百分率；
（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元利润，每件应降价多少元？
【答案】（1）两次下降百分率为10%；
（2）要使每月销售这种商品利润达到510元，且更有助于减少库存，则商品应降价2.5元．
【解析】
【分析】
（1）设每次降价百分率为 x，（1﹣x）2 为两次降价后百分率，40元 降至 32.4元 就是方程等量条件，列出方程求解即可；
（2）设每天要想获得 510 元利润，且更有助于减少库存，则每件商品应降价 y 元，由销售问题数量关系建立方程求出其解即可
【详解】
解：（1）设每次降价百分率为 x．
40×（1﹣x）2＝32.4
x＝10%或 190%（190%不符合题意，舍去）
答：该商品持续两次下调相似百分率后售价降至每件 32.4元，两次下降百分率为10%；
（2）设每天要想获得 510 元利润，且更有助于减少库存，则每件商品应降价 y 元，
由题意，得

解得：＝1.5，＝2.5，
∵有助于减少库存，∴y＝2.5．
答：要使商场每月销售这种商品利润达到 510 元，且更有助于减少库存，则每件商品应降价 2.5 元．
【点睛】
此题重要考察了一元二次方程应用，关键是根据题意找到等式两边平衡条件，这种价格问题重要处理价格变化前后平衡关系，列出方程，解答即可．

14．有关x一元二次方程ax2+bx+1=0．
（1）当b=a+2时，运用根鉴别式判断方程根状况；
（2）若方程有两个相等实数根，写出一组满足条件a，b值，并求此时方程根．
【答案】（1）方程有两个不相等实数根；（2）b=-2，a=1时，x1=x2=﹣1．
【解析】
【详解】
分析：（1）求出根鉴别式，判断其范围，即可判断方程根状况.
（2）方程有两个相等实数根，则，写出一组满足条件，值即可.
详解：（1）解：由题意：．
∵，
∴原方程有两个不相等实数根．
（2）答案不唯一，满足（）即可，例如：
解：令，，则原方程为，
解得：．
点睛：考察一元二次方程根鉴别式，
当时，方程有两个不相等实数根.
当时，方程有两个相等实数根.
当时，方程没有实数根.

15．已知有关x方程x2﹣(k+3)x+3k＝0．
(1)若该方程一种根为1，求k值；
(2)求证：不管k取何实数，该方程总有两个实数根．
【答案】(1)k＝1；(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）把x＝1代入方程，即可求得k值；
（2）求出根鉴别式是非负数即可.
【详解】
(1)把x＝1代入方程x2﹣(k+3)x+3k＝0得1﹣(k﹣3)+3k＝0，
1﹣k﹣3+3k＝0
解得k＝1；
(2)证明：

△＝(k+3)2﹣4•3k ＝(k﹣3)2≥0，
因此不管k取何实数，该方程总有两个实数根．
【点睛】
本题考察了一元二次方程解以及根鉴别式，纯熟掌握有关知识点是解题关键.