2025年大学大二（数学与应用数学）数学分析综合测试试题及答案.doc

2025年大学大二（数学与应用数学）数学分析综合测试试题及答案

（考试时间：90分钟 满分100分）
班级______ 姓名______

第 I 卷（选择题 共30分）
答题要求：本大题共6小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 函数$f(x)=\frac{x^2 - 1}{x - 1}$在$x = 1$处的极限是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 不存在
2. 已知函数$f(x)$在点$x_0$处可导，且$f^\prime(x_0)=2$，则$\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0 - h)}{h}$等于（ ）
A. 2 B. 4 C. 0 D. 1
3. 若函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且$f(a)f(b)<0$，则在$(a,b)$内（ ）
A. 至少存在一个零点 B. 有且仅有一个零点
C. 没有零点 D. 零点个数不确定
4. 曲线$y = x^3 - 3x^2 + 1$的拐点是（ ）
A. $(0,1)$ B. $(1, - 1)$ C. $(2, - 3)$ D. $(3,1)$
5. 设函数$f(x)$在$[a,b]$上可积，则$\int_{a}^{b} f(x)dx$与$\int_{a}^{b} f(t)dt$的关系是（ ）
A. 不相等 B. 相等 C. 仅当$f(x)$为常数时相等 D. 无法确定
6. 级数$\sum\limits_{n = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{n - 1}}{n}$是（ ）
A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散 D. 敛散性不确定

第 II 卷（非选择题 共70分）
7. （10分）求函数$y = \ln(1 + x^2)$的导数。
8. （15分）计算定积分$\int_{0}^{1} x^2 e^x dx$。
9. （15分）判断级数$\sum\limits_{n = 1}^{\infty} \frac{n!}{n^n}$的敛散性。
10. （15分）已知函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$f(0)=0$，$f(1)=1$。证明：在$(0,1)$内至少存在一点$\xi$，使得$f^\prime(\xi)=1$。
11. （15分）求曲线$y = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + 1$在区间$[0,3]$上的最大值和最小值。

答案：
1. C
2. B
3. A
4. B
5. B
6. B
7. $y^\prime=\frac{2x}{1 + x^2}$
8. 利用分部积分法，设$u = x^2$，$dv = e^x dx$，则$du = 2x dx$，$v = e^x$。$\int_{0}^{1} x^2 e^x dx = [x^2 e^x]_0^1 - \int_{0}^{1} 2x e^x dx$，再对$\int_{0}^{1} 2x e^x dx$用分部积分法，设$u = 2x$，$dv = e^x dx$，可得$\int_{0}^{1} x^2 e^x dx = e - 2(e - 1)=2 - e$。
9. 用比值判别法，设$a_n=\frac{n!}{n^n}$，则$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_n}=\lim\limits_{n \to \infty} \frac{(n + 1)!}{(n + 1)^{n + 1}} \cdot \frac{n^n}{n!}=\lim\limits_{n \to \infty} (\frac{n}{n + 1})^n=\frac{1}{e}<1$，所以级数收敛。
10. 令$F(x)=f(x)-x$，则$F(x)$在$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，$F(0)=f(0)-0 = 0$，$F(1)=f(1)-1 = 0$。由罗尔定理，在$(0,1)$内至少存在一点$\xi$，使得$F^\prime(\xi)=0$，即$f^\prime(\xi)=1$。
11. 先求$y^\prime=x^2 - 2x$，令$y^\prime = 0$，得$x = 0$或$x = 2$。计算$y(0)=1$，$y(2)=-\frac{1}{3}$，$y(3)=1$。所以最大值为1，最小值为$-\frac{1}{3}$。