大学（数学与应用数学）线性代数基础2026年阶段测试题及答案.doc

大学（数学与应用数学）线性代数基础2026年阶段测试题及答案

（考试时间：90分钟 满分100分） 班级______ 姓名______

一、选择题（总共10题，每题3分，每题只有一个正确答案，请将正确答案填入括号内）
1. 已知矩阵\(A\)满足\(A^2 - 3A + 2E = 0\)，则\(A\)的特征值可能是（ ）
A. 1和2 B. -1和-2 C. 1和-2 D. -1和2
2. 设\(A\)为\(n\)阶方阵，且\(\vert A\vert = 0\)，则（ ）
A. \(A\)中必有两行（列）元素对应成比例
B. \(A\)中必有一行（列）元素全为零
C. \(A\)中必有一行（列）向量是其余行（列）向量的线性组合
D. \(A\)的行（列）向量组线性无关
3. 若向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）
A. \(\alpha_1 + \alpha_2,\alpha_2 + \alpha_3,\alpha_3 - \alpha_1\)
B. \(\alpha_1 + \alpha_2,\alpha_2 + \alpha_3,\alpha_1 + 2\alpha_2 + \alpha_3\)
C. \(\alpha_1 + 2\alpha_2,2\alpha_2 + 3\alpha_3,3\alpha_3 + \alpha_1\)
D. \(\alpha_1 - \alpha_2,\alpha_2 - \alpha_3,\alpha_3 - \alpha_1\)
4. 设\(A\)是\(m\times n\)矩阵，\(Ax = 0\)是非齐次线性方程组\(Ax = b\)对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ ）
A. 若\(Ax = 0\)仅有零解，则\(Ax = b\)有唯一解
B. 若\(Ax = 0\)有非零解，则\(Ax = b\)有无穷多解
C. 若\(Ax = b\)有无穷多解，则\(Ax = 0\)有非零解
D. 若\(Ax = b\)有无穷多解，则\(Ax = 0\)仅有零解
5. 已知\(A\)是\(3\)阶方阵，且\(\vert A\vert = 2\)，则\(\vert 2A^{-1}\vert = \)（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
6. 设\(A\)为\(n\)阶正交矩阵，则下列结论错误的是（ ）
A. \(\vert A\vert = \pm1\) B. \(A^TA = E\) C. \(A\)的行（列）向量组是单位正交向量组 D. \(A\)可逆且\(A^{-1} = A^T\)
7. 若二次型\(f(x_1,x_2,x_3) = x_1^2 + 2x_2^2 + 3x_3^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3\)，则其矩阵为（ )
A. \(\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 0 \\
1 & 0 & 3
\end{pmatrix}\)
B. \(\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 3
\end{pmatrix}\)
C. \(\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 0 \\
1 & 0 & 3
\end{pmatrix}\)
D. \(\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 3
\end{pmatrix}\)
8. 设\(A\)是\(n\)阶方阵，\(\lambda_1,\lambda_2\)是\(A\)的两个不同的特征值，\(\alpha_1,\alpha_2\)分别是\(\lambda_1,\lambda_2\)对应的特征向量，则（ ）
A. \(\alpha_1,\alpha_2\)线性相关
B. \(\alpha_1,\alpha_2\)线性无关
C. \(\alpha_1 + \alpha_2\)是\(A\)的特征向量
D. \(\alpha_1 - \alpha_2\)是\(A\)的特征向量
9. 已知向量组 \(\alpha_1 = (1,1,1)^T,\alpha_2 = (1,2,3)^T,\alpha_3 = (1,3,t)^T\)线性相关，则\(t = \)（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
10. 设\(A\)是\(n\)阶方阵，\(r(A) = r\)，则\(Ax = 0\)的基础解系所含向量个数为（ ）
A. \(n\) B. \(r\) C. \(n - r\) D. \(r - n\)

二、填空题（总共5题，每题4分，请将答案填在横线上）
1. 已知矩阵\(A = \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix}\)，则\(A\)的伴随矩阵\(A^\) = __________。
2. 若向量组\(\alpha_1 = (1,0,0)^T,\alpha_2 = (0,1,0)^T,\alpha_3 = (0,0,1)^T\)，则\(\alpha_1 + 2\alpha_2 - 3\alpha_3\) = __________。
3. 设\(A\)是\(3\)阶方阵，且\(\vert A\vert = 3\)，则\(\vert A^3\vert = \)__________。
4. 已知二次型\(f(x_1,x_2) = 2x_1^2 + 3x_2^2 + 4x_1x_2\)，其正惯性指数为__________。
5. 若齐次线性方程组\(\begin{cases}
x_1 + x_2 + x_3 = 0 \\
x_1 + 2x_2 + ax_3 = 0 \\
x_1 + 4x_2 + a^2x_ _ { 3 } = 0
\end{cases}\)有非零解，则\(a = \)__________。

三、判断题（总共5题，每题2分，请判断对错，在括号内打√或×）
1. 若矩阵\(A\)与\(B\)相似，则\(A\)与\(B\)有相同的特征值和特征向量。（ ）
2. 向量组\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可由其余向量线性表示。（ ）
3. 若\(A\)是正交矩阵，则\(A\)的行列式的值为\(1\)。（ ）
4. 二次型\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\)正定的充分必要条件是其矩阵的各阶顺序主子式都大于零。（ ）
5. 若\(A\)是\(n\)阶方阵，且\(A^2 = E\)，则\(A\)的特征值只能是\(1\)或\(-1\)。（ ）

四、简答题（总共3题，每题10分）
1. 已知矩阵\(A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 4 & 6 \\
3 & 6 & 9
\end{pmatrix}\)，求矩阵\(A\)的秩\(r(A)\)。
2. 设向量组\(\alpha_1 = (1,1,1)^T,\alpha_2 = (1,2,3)^T,\alpha_3 = (1,3,6)^T\)，求该向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用极大线性无关组线性表示。
3. 已知二次型\(f(x_1,x_2,x_3) = x_1^2 + 2x_2^2 + 3x_3^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + 2x_2x_3\)，用正交变换法将其化为标准形，并求出相应的正交矩阵\(P\)。

五、证明题（总共1题，每题10分）
设\(A\)是\(n\)阶方阵，且\(A^2 = A\)，证明\(r(A) + r(A - E) = n\)。

答案：
一、1. A 2. C 3. C 4. C 5. A 6. A 7. A 8. B 9. B 10. C
二、1. \(\begin{pmatrix}
4 & -2 \\
-3 & 1
\end{pmatrix}\) 2. \((1,2,-3)^T\) 3. 27 4. 2 5. 1或2
三、1. × 2. √ 3. × 4. √ 5. √
四、（略）
五、（略）