八常微分方程初值问题的数值解解析.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,*,6.5,Runge-Kutta(龙格-库塔)方法,在高精度的单步法中,应用最广泛的是Runge-Kutta(龙格-库塔)方法,一,、Runge-Kutta法的基本思想（1）,Runge-Kutta法的基本思想（2）,Runge-Kutta法的基本思想（3）,二、二阶龙格库塔方法,三、三阶龙格库塔方法,四、四阶龙格库塔方法,解：,例2：,用,经典的,Runge-Kutta,方法,求解下列初值问题 。,经典的四阶,Runge-Kutta,公式：,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,1.0954,1.1832,1.2649,1.3416,1.4142,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0,1.4832,1.5492,1.6125,1.6733,1.7321,同保留,5,位的,精确值,完全一致：,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,1.0954,1.1832,1.2649,1.3416,1.4142,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0,1.4832,1.5492,1.6125,1.6733,1.7321,二、,高阶,和隐式,Runge-Kutta,方法,注,：,对于显式,N,级,R-K,方法，最多只能得到,N,级方法；,N,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,N,N-1,N-2,已经证明,N,级,R-K,方法的,阶,具有下列关系：,若要得到,N,阶以上方法，则使用,N,级隐式,R-K,方法,N,级隐式,R-K,方法的一般形式：,N,级隐式,R-K,法,可以达到,2N,阶,(1),一,级,二阶,的隐式,中点,方法：,(2),二,级,四阶,的隐式,R-K,方法：,三、,变步长,方法,基本,思想,：根据精度,自动,地选择,步长,对于,经典,Runge-Kutta,方法：,Step1,:设从 出发，以 为步长，经过,一步,计算得到,Step2,:取 为步长，再从 出发，经过,两步,计算得到,记,如果 ，则将步长,折半,进行计算，直到 为止,此时取 为最终结果；,如果 ，则将步长,加倍,进行计算，直到 为止,此时将步长,折半,一次计算，得到的为最终结果。,一、,收敛性,/,*,Convergence,*,/,3,单步法的,收敛性,、,相容性,和,绝对稳定性,对于初值问题 的一种,单步法,产生的近似解，如果,对于任一,固定,的 ，均有 ，,则称该单步法是,收敛,的。,类似地可以定义,隐式,单步法、多步法（,4,）的,收敛性,设初值问题（,*,）对应的下列,单步法,是 阶的，,且函数 满足对 的,Lipschitz,条件，即存在常数,则该,单步法,是收敛的，且,证明：,记,由,截断,误差的定义,因为,单步法,是 阶的：,满足,其中,二、,绝对稳定性,/,*,Absolute Stibility,*,/,计算过程中产生的,舍入误差,对计算结果的影响,首先以,Euler,公式为例，来讨论一下,舍入误差,的传播:,设,实际,计算得到的点 的,近似,函数值为 ，,其中 为,精确值,，为误差,如果 ，则误差是,不增,的，故可认为是,稳定,的,例如：,对于初值问题,精确解,为,而,实际求解,的初值问题为,精确解,为,在 处的误差为,可见误差随着 的增加呈,指数函数,增长,如果初值问题为,精确解,为,实际求解,的初值问题为,精确解,为,在 处的误差为,可见误差随着 的增加呈,指数函数,递减,当 时，微分方程是,不稳定,的；,而 时，微分方程是,稳定,的。,上面讨论的,稳定性,，与,数值方法,和方程中 有关,实验,方程：,对单步法 应用,实验,方程，,如果 ，当 时，则称该,单步法是,绝对稳定,的，在复平面上复变量 满足,的区域，称为该单步法的绝对稳定,域,，,它与,实轴,的,交集,称为绝对稳定,区间,。,若单步法是 阶的，则,由,实验,方程可得：,例3：,分别求,Euler,法和,经典的,R-K,法的,绝对稳定,区间,。,解：,Euler,公式：,将其应用于,实验,方程,绝对稳定,域：,当 时，,绝对稳定,区间：,经典的,R-K,公式：,当 时，,绝对稳定,区间：,可以证明：存在唯一,极小值点,由 得,例4：,求,梯形,公式（,隐式,方法）,的,绝对稳定,区间,。,解：,梯形,公式：,将其应用于,实验,方程,当 时，,绝对稳定,区间：,此课件下载可自行编辑修改，供参考！,感谢您的支持，我们努力做得更好！,