高考数学(理科-天津课标版)二轮复习专题能力训练含答案12-(2).pdf

小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学专题能力训练 12数列的通项与求和一、能力突破训练1.已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,若 a1=2,a4+a10=28,则 S9=()A.45 B.90 C.120 D.75 2.已知数列 an 是等差数列,满足 a1+2a2=S5,下列结论错误的是()A.S9=0 B.S5最小C.S3=S6D.a5=0 3.已知数列 an 的前 n 项和 Sn=n2-2n-1,则 a3+a17=()A.15 B.17 C.34 D.398 4.已知函数f(x)满足 f(x+1)=+f(x)(xR),且 f(1)=,则数列 f(n)(nN*)前 20 项的和为()A.305 B.315 C.325 D.335 5.已知数列 an,构造一个新数列a1,a2-a1,a3-a2,an-an-1,此数列是首项为1,公比为的等比数列,则数列 an的通项公式为()A.an=,nN*B.an=,nN*C.an=且D.an=1,nN*6.已知数列 an 满足 a1=1,an-an+1=nanan+1(nN*),则 an=.7.(2018 全国,理 14)记 Sn为数列 an 的前 n 项和.若 Sn=2an+1,则 S6=.8.已知 Sn是等差数列 an的前 n 项和,若 a1=-2 017,=6,则 S2 017=.9.已知在数列 an 中,a1=1,an+1=an+2n+1,且 nN*.(1)求数列 an的通项公式;(2)令 bn=,数列 bn的前 n 项和为 Tn.如果对于任意的nN*,都有 Tnm,求实数 m的取值范围.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学10.已知数列 an的前 n 项和为 Sn,且 a1=0,对任意 nN*,都有 nan+1=Sn+n(n+1).(1)求数列 an的通项公式;(2)若数列 bn满足 an+log2n=log2bn,求数列 bn的前 n 项和 Tn.11.设数列 an的前 n 项和为 Sn.已知 2Sn=3n+3.(1)求an 的通项公式;(2)若数列 bn满足 anbn=log3an,求bn的前 n 项和 Tn.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学二、思维提升训练12.给出数列,-,在这个数列中,第 50 个值等于1的项的序号是()A.4 900 B.4 901 C.5 000 D.5 001 13.设 Sn是数列 an 的前 n 项和,且 a1=-1,an+1=SnSn+1,则 Sn=.14.已知等差数列an的公差为2,其前 n 项和 Sn=pn2+2n(nN*).(1)求 p 的值及 an;(2)若 bn=-,记数列 bn的前 n项和为 Tn,求使 Tn成立的最小正整数n 的值.15.已知数列 an满足 an+2=qan(q 为实数,且 q 1),nN*,a1=1,a2=2,且 a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列.(1)求 q 的值和 an的通项公式;(2)设 bn=-,nN*,求数列 bn的前 n项和.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学16.设数列 A:a1,a2,aN(N2).如果对小于n(2nN)的每个正整数k 都有 aka1,则 G(A)?;(3)证明:若数列 A 满足 an-an-1 1(n=2,3,N),则 G(A)的元素个数不小于aN-a1.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学专题能力训练12数列的通项与求和一、能力突破训练1.B解析 因为 an是等差数列,设公差为d,所以 a4+a10=a1+3d+a1+9d=2a1+12d=4+12d=28,解得d=2.所以 S9=9a1+d=18+36 2=90.故选 B.2.B解析 由题设可得3a1+2d=5a1+10d?2a1+8d=0,即 a5=0,所以 D 中结论正确.由等差数列的性质可得a1+a9=2a5=0,则 S9=9a5=0,所以 A 中结论正确.S3-S6=3a1+3d-6a1-15d=-3(a1+4d)=-3a5=0,所以 C 中结论正确.B 中结论是错误的.故选 B.3.C解析Sn=n2-2n-1,a1=S1=12-2-1=-2.当 n2 时,an=Sn-Sn-1=n2-2n-1-(n-1)2-2(n-1)-1=n2-(n-1)2+2(n-1)-2n-1+1=n2-n2+2n-1+2n-2-2n=2n-3.an=-a3+a17=(2 3-3)+(2 17-3)=3+31=34.4.D解析f(1)=,f(2)=,f(3)=,f(n)=+f(n-1),f(n)是以 为首项,为公差的等差数列.S20=20-=335.5.A解析 因为数列a1,a2-a1,a3-a2,an-an-1,是首项为1,公比为的等比数列,所以 an-an-1=-,n2.所以当 n2 时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学=1+-=-又当 n=1时,an=1,则 an=,nN*.6-解析 因为 an-an+1=nanan+1,所以-=n,-+-=(n-1)+(n-2)+3+2+1+=-+1=-(n2).所以 an=-(n2).又 a1=1 也满足上式,所以 an=-7.-63解析Sn=2an+1,Sn-1=2an-1+1(n2).-,得 an=2an-2an-1,即 an=2an-1(n 2).又 S1=2a1+1,a1=-1.an是以-1为首项,2 为公比的等比数列,则 S6=-=-63.8.-2 017解析Sn是等差数列 an 的前 n项和,是等差数列,设其公差为d.=6,6d=6,d=1.a1=-2 017,=-2 017.=-2 017+(n-1)1=-2 018+n.S2 017=(-2 018+2 017)2 017=-2 017.故答案为-2 017.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学9.解(1)an+1=an+2n+1,an+1-an=2n+1,an-an-1=2n-1,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=1+3+5+(2n-1)=-=n2.(2)由(1)知,bn=,Tn=-+-=1-,数列 Tn是递增数列,最小值为1-,只需要m,m的取值范围是-10.解(1)(方法一)nan+1=Sn+n(n+1),当 n2 时,(n-1)an=Sn-1+n(n-1),两式相减,得nan+1-(n-1)an=Sn-Sn-1+n(n+1)-n(n-1),即 nan+1-(n-1)an=an+2n,得an+1-an=2.当 n=1 时,1a2=S1+1 2,即 a2-a1=2.数列 an是以 0 为首项,2 为公差的等差数列.an=2(n-1)=2n-2.(方法二)由 nan+1=Sn+n(n+1),得n(Sn+1-Sn)=Sn+n(n+1),整理,得 nSn+1=(n+1)Sn+n(n+1),两边同除以n(n+1),得=1.数列是以=0 为首项,1 为公差的等差数列,=0+n-1=n-1.Sn=n(n-1).小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学当 n2 时,an=Sn-Sn-1=n(n-1)-(n-1)(n-2)=2n-2.又 a1=0 适合上式,数列 an 的通项公式为an=2n-2.(2)an+log2n=log2bn,bn=n=n 22n-2=n 4n-1.Tn=b1+b2+b3+bn-1+bn=40+2 41+3 42+(n-1)4n-2+n4n-1,4Tn=41+2 42+3 43+(n-1)4n-1+n4n,由-,得-3Tn=40+41+42+4n-1-n 4n=-n 4n=-Tn=(3n-1)4n+1.11.解(1)因为 2Sn=3n+3,所以 2a1=3+3,故 a1=3.当 n1 时,2Sn-1=3n-1+3,此时 2an=2Sn-2Sn-1=3n-3n-1=2 3n-1,即 an=3n-1,所以 an=-(2)因为 anbn=log3an,所以 b1=,当 n1 时,bn=31-nlog33n-1=(n-1)31-n.所以 T1=b1=;当 n1 时,Tn=b1+b2+b3+bn=+(1 3-1+2 3-2+(n-1)31-n),所以 3Tn=1+(1 30+2 3-1+(n-1)32-n),两式相减,得 2Tn=+(30+3-1+3-2+32-n)-(n-1)31-n=-(n-1)31-n=,所以 Tn=经检验,当 n=1 时也适合.综上可得 Tn=二、思维提升训练小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学12.B解析 根据条件找规律,第 1 个 1 是分子、分母的和为2,第 2 个 1 是分子、分母的和为4,第 3个 1 是分子、分母的和为6,第 50 个 1是分子、分母的和为100,而分子、分母的和为2的有 1项,分子、分母的和为3 的有 2项,分子、分母的和为4 的有 3 项,分子、分母的和为99 的有 98项,分子、分母的和为100 的项依次是:,第 50 个 1 是其中第50 项,在数列中的序号为 1+2+3+98+50=+50=4 901.13.-解析 由 an+1=Sn+1-Sn=SnSn+1,得=1,即=-1,则为等差数列,首项为=-1,公差为 d=-1,=-n,Sn=-14.解(1)(方法一)an 是等差数列,Sn=na1+-d=na1+-2=n2+(a1-1)n.又由已知 Sn=pn2+2n,p=1,a1-1=2,a1=3,an=a1+(n-1)d=2n+1,p=1,an=2n+1.(方法二)由已知 a1=S1=p+2,S2=4p+4,即 a1+a2=4p+4,a2=3p+2.又等差数列的公差为2,a2-a1=2,2p=2,p=1,a1=p+2=3,an=a1+(n-1)d=2n+1,p=1,an=2n+1.(方法三)当 n2 时,an=Sn-Sn-1=pn2+2n-p(n-1)2+2(n-1)=2pn-p+2,a2=3p+2,由已知 a2-a1=2,2p=2,p=1,a1=p+2=3,an=a1+(n-1)d=2n+1,p=1,an=2n+1.(2)由(1)知 bn=-,Tn=b1+b2+b3+bn=-+-=1-Tn,20n18n+9,即 nnN*,使 Tn成立的最小正整数n 的值为 5.小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学15.解(1)由已知,有(a3+a4)-(a2+a3)=(a4+a5)-(a3+a4),即 a4-a2=a5-a3,所以 a2(q-1)=a3(q-1).又因为 q 1,故 a3=a2=2,由 a3=a1 q,得 q=2.当 n=2k-1(kN*)时,an=a2k-1=2k-1=-;当 n=2k(k N*)时,an=a2k=2k=所以,an的通项公式为an=-为奇数为偶数(2)由(1)得 bn=-设bn的前 n 项和为 Sn,则 Sn=1+2+3+(n-1)-+n-,Sn=1+2+3+(n-1)-+n,上述两式相减,得Sn=1+-=2-,整理得,Sn=4-所以,数列 bn的前 n 项和为 4-,nN*.16.(1)解 G(A)的元素为2 和 5.(2)证明 因为存在an使得 ana1,所以 iN*|2i N,aia1?.记 m=min iN*|2iN,aia1,则 m2,且对任意正整数km,ak a1a1.由(2)知 G(A)?.设 G(A)=n1,n2,np,n1n2np.记 n0=1.则 小学+初中+高中+努力=大学小学+初中+高中+努力=大学对 i=0,1,p,记 Gi=k N*|ni.如果 Gi?,取 mi=minGi,则对任何 1kmi,ak从而 miG(A)且 mi=ni+1,又因为 np是 G(A)中的最大元素,所以 Gp=?.从而对任意npkN,ak,特别地,aN对 i=0,1,p-1,-因此-+(-)+1.所以 aN-a1-a1=-)p.因此 G(A)的元素个数p不小于 aN-a1.