杆系结构有限元分析1.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,By Xiaojun Wang,*,/120,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第一章,杆系结构有限元分析,1-1,概述,杆系是工程中常见的结构体系，比较简单，其中每一个杆件都可以看作是一个单元，单元受力与位移的关系很容易求得而且物理概念清晰、直观。结构力学中介绍的,矩阵位移法,是采用经典的方法讲述的，它是利用,转角位移方程,来建立单元特性公式，所以只适用于杆系。有限元方法是在结构矩阵分析的矩阵位移法基础上发展起来的，在建立位移场的过程中采用的是,最有普遍意义,的方法，即建立,单元位移场函数,，通过,最小势能原理,进行单元和整体分析。,杆系结构分类,按变形分类,轴向变形杆件,桁架结构,扭转变形杆件,传动轴系,弯曲变形杆件,刚架结构,按轴线分布分类,平面结构体系,空间结构体系,杆系结构有限元分析方法,局部坐标系下单元刚度矩阵,整体坐标系下单元刚度矩阵,集成结构整体刚度矩阵,单元分析,整体分析,平衡求解,引入边界条件、求解线性方程组，得未知量解答,一般规定,杆单元,ij,，单元局部坐标系为,o,x,y,z,，,i,点为原点，,x,轴沿着杆轴线，其正方向为由,i,指向,j,，其余各轴按右手螺旋规则确定。设,u,i,，,v,i,，,w,i,，,u,j,，,v,j,，,w,j,为杆元结点位移分量；,U,i,，,V,i,，,W,i,，,U,j,，,V,j,，,W,j,为杆单元结点力分量，一律规定和坐标轴正向一致时为正。设杆的长度为,l,，弹性模量为,E,，横截面积为,A,。,i,j,x,y,z,u,i,(,U,i,),v,i,(,V,i,),w,i,(,W,i,),u,j,(,U,j,),v,j,(,V,j,),w,j,(,W,j,),1-1,拉,(,压,),杆单元,位移函数,对于铰接杆单元，在小变形假设的前提下，与杆垂直方向的位移并不使杆产生应变和应力。对每一个结点只需考虑一个结点位移和结点力，因而只需研究一维杆单元。,i,j,x,u,i,(,U,i,),u,j,(,U,j,),l,x,单元在结点力作用下各点的位移叫,内位移,描绘内位移的函数叫,位移函数,设位移函数：,u,(,x,),=a,1,+a,2,x,a,1,a,2,是两个待定常数，可由,i,，,j,两结点的位移唯一确定。,1-1,拉,(,压,),杆单元,x,=0,，,u,(0)=,u,i,x,=,l,，,u,(,l,)=,u,j,代入位移函数：,u,(,x,),=a,1,+a,2,x,a,1,=u,i,a,2,=,(,u,j,-u,i,),/l,则,:,u,(,x,)=(1-,x/l,),u,i,+,(,x/l,),u,j,u,i,或写成,:,u,(,x,)=1-,x/l,x/l,u,j,u,i,=,N,i,N,j,u,j,=Nu,e,在有限元法中，,N,i,、,N,j,分别称为,i,、,j,点的,形状函数,N,称为,形状函数矩阵,形状函数矩阵把单元的结点位移和单元的内位移连接起来，其每一个元素都是坐标的函数。,1-1,拉,(,压,),杆单元,当,u,i,=1,，,u,j,=0,时，杆单元的位移,u,(,x,),就是,N,i,当,u,i,=0,，,u,j,=1,时，杆单元的位移分布就是,N,j,位移分布规律：,N,=1-,x/l,x/l,则,:,u,(,x,)=(1-,x/l,),u,i,+,(,x/l,),u,j,N,i,1,N,j,1,1-1,拉,(,压,),杆单元,u,i,u,j,1-1,拉,(,压,),杆单元,形状函数的力学含义：,当单元的一个结点位移为单位值，其他结点的位移为零时，单元内位移的分布规律。,形状函数的两个重要性质为：,1,、一结点为,1,，其他结点为,0,；,2,、任意一点总和为,1,。,自然结点离散化为有限元的集合，实现了,结构模型离散化,，那么，形状函数完成了,数学模型离散化,，这两个离散化的步骤构成了有限元法的理论基础。,形状函数把两孤立的常值位移，化为连续函数,几何关系和物理关系,或写成,单元的应变和应力，根据应变定义,u,i,带入位移函数：,u,(,x,)=1-,x/l,x/l,u,j,应变矩阵,1-1,拉,(,压,),杆单元,对于拉,(,压,),杆，应力与应变之间的关系有,用矩阵表示为,D,为,弹性矩阵,其中,S=DB,称为,应力矩阵,对于拉（压）杆单元有,1-1,拉,(,压,),杆单元,平衡关系,杆单元结点力向量,单元在外力和内力作用下处于平衡状态，反映单元平衡状态的关系式就是刚度方程。下面利用最小势能原理推导单元的,刚度方程,。,最小势能原理：,在满足连续条件和边界条件的位移中，满足平衡条件的位移其总势能最小，反之亦然。,单元总势能,其中,U,e,为单元的应变能，,V,e,为单元的外力势能。,1-1,拉,(,压,),杆单元,令,则,外力势能,总势能,1-1,拉,(,压,),杆单元,根据最小势能原理，势能泛函取驻值的必要条件,即：,杆单元的,平衡方程,1-1,拉,(,压,),杆单元,整体坐标系的刚度矩阵,设,oxyz,为总体坐标系，,o,x,y,z,为局部坐标系。,同理对于,j,结点,用矩阵表示为,1-1,拉,(,压,),杆单元,对两结点杆单元，当用总体坐标系位移,u,e,表示局部坐标系中位移,(,u,),e,时有转换关系,T,矩阵称为,坐标变换矩阵,，是以,为子矩阵的对角方阵，为正交矩阵。,当用局部坐标系位移表示总体坐标系中的位移时有,1-1,拉,(,压,),杆单元,令,类似方法，总体坐标系与局部坐标系间结点力的关系式,将式 代入上式,将式 代入上式,单元总体坐标系的平衡方程,1-1,拉,(,压,),杆单元,1-1,拉,(,压,),杆单元,整体坐标系下的单元,刚度矩阵,1-1,拉,(,压,),杆单元,设局部坐标的,x,，,y,，,z,轴与整体坐标系,x,，,y,，,z,轴之间夹角方向余弦为：,cos(,x,x,)cos(,x,y,)cos(,x,z,)cos(,y,x,)cos(,y,y,)cos(,y,z,)cos(,z,x,)cos(,z,y,)cos(,z,z,),则相应的位移关系为,空间杆单元,1-1,拉,(,压,),杆单元,方向余弦矩阵,空间杆单元坐标变换矩阵,单元在两个坐标系中刚度矩阵转换关系同样有,矩阵中仅仅包含有坐标的倾角，仅平行移动坐标轴，刚度矩阵中元素值不变，矩阵的阶数也不改变。,1-2,扭转杆单元,在局部坐标系中，每一个点将具有一个基本未知位移，最简单的单元位移函数可以设为,杆件发生自由扭转时，待求位移是截面的扭转角,结点位移向量,结点力向量,其中的待定常数可以用两端节点的扭角,i,、,j,表示，从而任意截面的扭转角可由结点位移和形函数表示为,其中,由材料力学扭转可知,其中 为形函数。,1-2,扭转杆单元,单元刚度方程,扭转杆的势能为,单元刚度方程为,局部坐标扭转杆单元刚度矩阵,由泛函取驻值的必要条件有,其显式为,1-2,扭转杆单元,结点位移矢量：,u,e,=,u,i,v,i,i,u,j,v,j,j,T,结点力矢量：,f,e,=,N,i,Q,i,M,i,N,j,Q,j,M,j,T,正负规定,：轴力、剪力与局部坐标系坐标轴正向一致为正；,弯矩以顺时针转动为正。,梁单元结点位移,梁单元结点力,1-3,平面直梁单元,i,j,u,i,v,i,i,u,j,v,j,j,l,i,j,N,i,Q,i,M,i,N,j,Q,j,M,j,l,先将轴力与剪力、弯矩分开考虑。直梁弯曲时满足平截面假设，原来垂直轴线的平面，变形后仍垂直于轴线。若梁中面挠度为,v,，则因弯曲而引起的轴向位移为,其中，,y,是所讨论点距中性轴的距离，,位移函数,应变,根据合成关系有,（其中，,I,是截面惯性矩 ）,根据胡克定律,1-3,平面直梁单元,又根据荷载集度与弯矩的微分关系：,现讨论的梁,EI,为常数,若梁上无分布荷载，即,q,=0,由此可以判断,v,是,x,的三次函数,则梁的转角,1-3,平面直梁单元,将,i,、,j,结点位移代入上两式,用矩阵表示,从而得,1-3,平面直梁单元,单元的形状函数矩阵,N,v,为,其中,1-3,平面直梁单元,设,则,以上四个函数即是二结点梁单元的,形状函数,。由于每结点有两个位移参数，则每结点有两个形状函数。,H,0,i,是指,i,结点零阶导数（即,i,点位移）对应的形函数，,H,1,i,指,i,结点一阶导数（即,i,结点转角）对应的形函数，位移函数用内插多项式表示为,1-3,平面直梁单元,当,x,=0,，即,=0,，；,当,x,=,l,，即,=1,H,0,i,(1)=0,；,当,x,=0,，,x,=,l,时,H,0,i,曲线在,i,、,j,点切线平行于,x,轴，即,H,0,i,不引起结点转角改变。,H,0,i,表示当,i,点垂直位移,v,i,=1,，其他位移等于零时梁元的挠曲形状。,形状函数的性质,:,x,y,i,j,1,H,0,i,(,x,),x,y,i,j,1,H,0,j,(,x,),x,y,i,j,i,=,1,H,1,i,(,x,),x,y,i,j,H,1,j,(,x,),j,=,1,(a)(b)(c)(d),1-3,平面直梁单元,由此得,其中,轴力,N,引起的位移,u,(,x,),仍设为线性，,u,(,x,)=,a,0,+,a,1,x,，将结点位移引入可求得,1-3,平面直梁单元,位移函数改写为,则形状函数,N,为,现将结点位移列阵合并为,1-3,平面直梁单元,位移函数求得后，可得到应变和应力的表达式：忽略剪切影响，设,N,是轴力引起的应变，,b,是弯曲引起的应变,应力为,梁的应力应是,N,和,b,代数和,1-3,平面直梁单元,梁上的结点力,f,e,=,N,i,Q,i,M,i,N,j,Q,j,M,j,T,，并有分布力,q,(,x,),作用。在选位移函数时虽然假设了,q,=0,，若作用有分布载荷,q,(,x,),，位移函数仍可用三次幂函数近似，分析过程完全同前。只是外力势中增加,梁元的刚度矩阵,现根据最小势能原理求梁单元刚度矩阵，梁的应变能,1-3,平面直梁单元,总势能,式中，,取驻值时有：,是分布载荷的等效结点力。,梁单元刚度方程,刚度矩阵,1-3,平面直梁单元,将,B,带入刚度矩阵并积分，得：,1-3,平面直梁单元,对短梁（,h,l,/5,），应计及剪切影响，对刚度矩阵作如下修正,式中，是剪切影响系数，,A,S,是有效抗剪面积。,1-3,平面直梁单元,整体坐标系的刚度矩阵,设,oxyz,为总体坐标系，,o,x,y,z,为局部坐标系。,规定由总体坐标系,x,轴到局部坐标系,x,轴的夹角,逆时针为正。杆单元总体坐标系下的结点位移分量用,u,v,表示，局部坐标下的位移分量用,u,v,表示。则平面杆单元结点,i,在总体坐标系和局部坐标系下的位移分量关系有,1-3,平面直梁单元,同理对于,j,结点有,用矩阵表示为,1-3,平面直梁单元,总体坐标系位移,u,e,和,(,u,),e,的转换关系为,T,矩阵称为,坐标变换矩阵,，是以,为子矩阵的对角方阵，为正交矩阵。,当用局部坐标系位移表示总体坐标系中的位移时有,类似于拉,(,压,),杆单元，可得直梁元刚度矩阵矩阵变换关系仍为,1-3,平面直梁单元,1-3,平面直梁单元,等效结点载荷所做的功,等效结点力,等效结点力是根据,功互等原理,，将分布载荷转移到结点上所得到的载荷。这样的变更，对全结构的计算不会带来明显的误差。但对载荷区域单元的应力分布，将有较大的影响。,设单元发生虚位移,r,*,时，分布力,q,(,x,),所做的虚功为,根据虚功原理，单元分布力所作虚功与等效荷载虚功相等,r*=N,(,u,*),e,1-3,平面直梁单元,从而得到分布载荷的等效结点力计算公式,Nu,是轴向位移形函数，线位移时,当,p,(,x,),为均布载荷时,p,(,x,)=,p,，则,，即两结点各半。,（,1,）分布轴力,p,(,x,),的等效结点力,p,(,x,),i,j,1-3,平面直梁单元,(2),分布横向荷载,q,(,x,),的等效结点力,q,(,x,),i,j,1-3,平面直梁单元,1-3,平面直梁单元,(3),分布力矩,m,z,(,x,),的等效结点力,m,z,(,x,),i,j,，因此相应的形状函数矩阵为,对应,m,z,的转角,当挠度为,x,的三次式时,1-3,平面直梁单元,式中，,当 为均匀分布情况时,1-4,总体刚度矩阵,直接刚度法（定位向量）,结构总体刚度矩阵可以通过直接处理整个结构的方法（虚位移原理，势能原理）而得到。通过这种途径得到的结构总体刚度矩阵物理意义清晰，但它不是一种容易编制程序的系统化方法。,1-4,总体刚度矩阵,通过,组装单元刚度矩阵,以形成总体刚度矩阵。,结构总体刚度矩阵的元素是由单元刚度矩阵的元素组成的，只要确定了单元刚度矩阵各元素在结构总体刚度矩阵中的位置，就可以由单元刚度矩阵直接集成结构总体刚度矩阵。,把单元杆端位移分量（局部码）所对应的结构结点位移向量的序号（整体位移码）组成一向量，它成为单元的,定位向量,。利用单元定位向量可以完全确定单元刚度矩阵的每个元素在结构（原始）刚度矩阵中的行码和列码。,直接刚度法（定位向量）,1-4,总体刚度矩阵,由定位向量对号入座集装结构总体刚度矩阵的具体做法：,（,1,）求单元,(,e,),在整体坐标系中的刚度矩阵,k,(,e,),;,（,2,）将单元,(e),的定位向量分别写在单元刚度矩阵,k,(,e,),的上方和右侧（或左侧）,形成,k,(,e,),的每一行或每一列与单元定位向量的一个分量相对应关系，这个分量即为,k,(,e,),中相应的行和列在结构整体刚度矩阵,k,中的行码或列码,;,（,3,）按照由单元定位向量中分量的行码和列码，将单元刚度矩阵,k,(,e,),的元素正确地叠加到结构刚度矩阵,k,中。,1-4,总体刚度矩阵,1-4,总体刚度矩阵,下图所示的平面桁架结构,1(1,2),2(3,4),3(5,6),x,u,y,v,1(1,2),、,2(3,4),、,3(5,6),中括号前面的数字代表整体结点编号，括号中的数字即为位移向量的序号。,拉,(,压,),杆单元刚度矩阵为一个四阶矩阵，设每个杆单元的单刚矩阵分别如下：,1-4,总体刚度矩阵,利用单元定位向量叠加结构刚度矩阵为,刚度矩阵的物理意义,1-4,总体刚度矩阵,对应的节点力记为,其刚度方程记为,设某单元或结构有,n,个节点位移,或者,1-4,总体刚度矩阵,在上式中，令,也就是说，如果节点位移,u,i,为单位值而其他为零,(,固定不动,),则,刚度矩阵的诸元素,(,刚度系数,),在数值上等于造成某种特定变形状态时所需要施加的各节点上的力。刚度矩阵的第,i,列，就是为使第,i,个节点位移为“,1”,，而其余节点位移均为零时，所施加于节点上的全部力系。,1-4,总体刚度矩阵,1,K,1,i,K,2,i,K,ii,U,i,=1,K,ji,K,mi,令节点,k,的垂直方向位移,U,i,=1,，而该点的水平位移以及其他节点的全部位移均固定不动，则,k,点施加的垂直力的大小就等于,K,ii,，而其他支反力的大小分别等于,K,1,i,，,K,2i,，,K,ji,K,ni,，这些系数的值愈大，说明这个结构,(,或单元,),愈难以发生变形，反映了单元或结构抵抗变形的能力，因而得名为“,刚度系数,”。另外，这些系数所体现的刚度特性又反映了各节点位移和节点力相互之间的影响，所以又称之为“,刚度影响系数,”。,1-4,总体刚度矩阵,其中,K,ij,(,i,=,j,),反映节点位移与本身对应的节点力之间的影响，称为“自身影响系数”。在刚度矩阵中总处在主对角线上，故又称为“,主系数,”；,K,ij,(,i,j,),反映不对应的节点力同节点位移之间的影响，称为“,交叉影响系数,”。它们在刚度矩阵中总是占据主对角线两旁的位置，故又称为“,副系数,”。,总之，任一刚度系数在数值上等于使结构,(,或单元,),产生单位位移而其余节点位移为零时第,i,个节点力的值。尽管它们在数值上可能相等，但因次却不一定相同。刚度系数的因次是,力的因次,/,位移的因次,（力和位移都是指的广义力和广义位移）,刚度矩阵的性质,1-4,总体刚度矩阵,将刚度方程代入上式,对于线性弹性体体系，应变能表达式,刚度矩阵有以下性质,:,1.,主系数必为正值,1-4,总体刚度矩阵,2.,刚度矩阵是正定的,将应变能表达写成展开的形式,W,是关于变量,u,的二次齐次多项式。在线性代数学里，这种多项式称为“二次型”。而由多项式系数所组成方阵,K,称为这二次型的矩阵。不论位移列阵,u,取何种数值，除非,u,=0,，应变能,W,总是正值。二次型的矩阵也就称作是“正定矩阵”。,1-4,总体刚度矩阵,3.,刚度矩阵是对称矩阵,这一性质是由功的互等定理决定的。即：对于线性弹性体，第一种加载状态下的诸力在第二种加载状态下移动相应位移时所作的功等于第二种加载状态下的诸力在第一种加载状态下移动相应位移时所做的功。,根据前面所述刚度系数的物理意义，系数,K,ij,和,K,ji,分别包含在这样两种加载状态的诸力中，其对应的外力功是,1,K,ij,=,K,ji,1,，故,K,ij,=K,ji,。,1-4,总体刚度矩阵,4.,刚度矩阵的任一行,(,或列,),代表一个平衡力系。,当节点位移列阵的单元全部为线位移时，任一行,(,或列,),的代数和应为零。,由前所述，刚度矩阵的任一列在数值上等于某种特定位移状态下的全部外力和支反力，它们当然构成一个平衡力系。而由对称性可知，任一行也就具有同样性质。,在具体计算过程中，可以利用这一性质检查计算结果的正误。,1-4,总体刚度矩阵,5.,在代入边界条件之前，刚度方阵是奇异矩阵而不可求逆。,结构,(,或单元,),在考虑边界约束之前，其位移是不定的，刚度方程可有无穷多组解答，因而系数矩阵必定是奇异的。,6.,大型结构的整体刚度矩阵必定是高度稀疏的；经过适当的节点编号，它常常可变成带状矩阵。,所谓稀疏就是说有许多刚度系数为零。所谓带状，就是说非零的系数全部分布于主对角线附近。,1-5,位移边界条件,1-5,位移边界条件,1-5,位移边界条件,1-5,位移边界条件,1-5,位移边界条件,1-5,位移边界条件,1-5,位移边界条件,1-5,位移边界条件,1-5,位移边界条件,1-6,总刚度平衡方程的求解,1-6,总刚度平衡方程的求解,1-6,总刚度平衡方程的求解,1-6,总刚度平衡方程的求解,1-6,总刚度平衡方程的求解,1-6,总刚度平衡方程的求解,1-6,总刚度平衡方程的求解,1-6,总刚度平衡方程的求解,1-6,总刚度平衡方程的求解,平面桁架算例,平面桁架算例,平面桁架算例,平面桁架算例,平面桁架算例,平面桁架算例,平面桁架算例,平面桁架算例,小结,对于杆系结构，由于单元位移场是,无节间载荷,作用的真实位移，因此当仅受结点载荷作用时，分析结果是,完全精确,的。当除结点载荷外还有,节间载荷,时，可以证明所求得的,结点位移,和各单元的,杆端力,仍然是,精确,的。对有载荷作用单元，单元位移场并非真实位移，单元各微段在所设单元位移情况下是不平衡的。但因杆端力是精确的，所以可以由截面法精确求得单元任一截面的内力。正因这样，可以,称杆系有限元分析的结果是精确的,。,