静定结构的内力分析.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,17,静定结构的内力分析,本章主要讲述几种常见的静定平面杆系结构的内力计算方法，通过本章学习主要应掌握以下几方面内容：,(1),进行各种静定结构内力计算的主要方法有三种，即截面法、结点法、截面法与结点法联合应用，应掌握这三种方法的基本原理和技巧。,本章提要,(2),各种静定结构的内力图的绘制，尤其是弯矩图的绘制。应学会用叠加法绘制内力图，掌握常用的简支梁、悬臂梁、外伸梁等在均布荷载和集中荷载作用下的弯矩图、剪力图的形式和特征。,常见的静定平面杆系结构主要有：,(1),静定梁,包括单跨静定梁（简支梁、悬臂梁、外伸梁）和多跨静定梁，分别见,图,17.1(a),、,(b),、,(c),和图,17.1(d),所示。,(2),静定平面刚架,包括简支刚架、悬臂刚架、三铰刚架和组合刚架，如,图,17.1(e),、,(f),、,(g),、,(h),所示,(3),三铰拱式结构,如,图,17.1(i),所示。,(4),静定平面桁架,包括简支桁架、悬臂桁架、三铰拱式桁架，如,图,17.1(j),、,(k),、（,l,）,所示。,图,17.1,本 章 内 容,17.1,静定梁,17.2,静定平面刚架,17.3,三铰拱,17.4,静定平面桁架,17.1,静定梁,单跨静定梁在工程实际中应用较多，例如一般钢筋混凝土过梁、吊车梁等，它的受力分析是其它杆系结构受力分析的基础，因此掌握单跨静定梁受力分析的基本方法，将有助于进一步结合几何组成分析去研究其它杆系结构的内力计算。,17.1.1,单跨静定粱,由材料力学可知，在一般荷载作用下，梁内任一截面上通常有三种内力，即,轴力,N,、剪力,V,和弯矩,M,。,计算上述内力通常采用的基本方法是,截面法,，即用一假想截面将构件沿计算截面切开，取任一侧为研究对象，在荷载和支座反力等外力和截面上内力的作用下，隔离体处于平衡状态，利用静力平衡方程即可求出三个内力。,17.1.1.1,粱内任一截面上的内力,【,例,17.1】,如,图,17.2,所示简支梁，试计算距,A,支座距离为,1m,处截面上的内力。,【,解,】,（,1,）,求支座反力,先假设反力方向如,图,17.2(b),所示，以整根梁为研究对象：,X=0:,H,A,-P=0,H,A,=P=4kN,即,HA,方向与原假设方向相同。,M,B,=0:V,A,l-ql0.5=0,V,A,=0.5ql=0.534kN=6kN,Y=0:-Q,X,+V,A,-q1=0,Q,X,=V,A,-q=,（,6-3,）,kN=3kN,M,X,=0:V,A,1-M,X,-q10.5=0,M,X,=V,A,1-q0.5,=(6-30.5)kNm=4.5kNm,由上述例题可知：,梁内某截面上的轴力,N,等于该截面任一侧所有外力沿梁轴切线方向所作投影的代数和；,梁内某截面上的剪力,Q,等于该截面任一侧所有外力沿梁轴法线方向所作投影的代数和；,梁内某截面的弯矩,M,等于该截面任一侧所有外力对该截面形心的力矩的代数和。,V,A,方向与原假设方向相同。,Y=0:V,A,+V,B,=ql,V,B,=ql-V,A,=(34-6)kN=6kN,V,B,方向与原假设方向相同。,（,2,）,求计算截面上的内力,取计算截面左侧为隔离体，如图,17.2(c),所示，则由静力平衡条件得：,X=0:N,X,+H,A,=0,N,X,=-H,A,=-4kN,方向与原假设相反。,图,17.2,（,1,）,荷载集度,q(x),、剪力,Q,和弯矩,M,之间的微分关系,设荷载垂直于梁轴线，并向下为正，,x,轴平行于梁轴线，向右为正。从梁内截出一小微段，长为,dx,，根据平衡条件可得：,17.1.1.2,内力图的绘制,【,例,17.2】,绘制例,17.1,简支梁的内力图。,【,解,】,在例,17.1,中已求出该简支梁的支座反力，下面确定控制截面上的内力，该梁的控制截面包括支座,A,、支座,B,和梁的中点。,支座,A,：,根据静力平衡条件可求得其剪力,Q,A,=V,A,=6kN,；该支座为铰支座且该支座处无外力偶作用，故其弯矩为零。,支座,B,：,同样可求得该处剪力,Q,B,=V,B,=6kN,；,M,B,=0,。,跨中：,取跨中截面右侧为隔离体，,如图,17.3,，内力方向如图中所示。,根据静力平衡条件：,X=0:N,X,-P=0,N,X,=P=4kN,，方向与原假设相同,Y=0:Q,X,+V,B,-ql/2=0,Q,X,=32-6=0,M,X,=0:M,X,+q(l/2)(l/4)-V,B,(l/2)=0,M,X,=(64)/2-(34)/24/4=6kNm,由于该梁上承受均布荷载和一固定轴力，因此该梁各截面上的轴力为一常数，轴力图为一水平直线，剪力图为一倾斜直线，弯矩图为一抛物线，且在跨中处为最大值，,如图,17.4,所示,。,（,2,）,用叠加法作内力图,当荷载种类不同或荷载数量不止一个时，常常采用叠加法绘制结构的内力图。,叠加法的基本原理是：,结构上全部荷载产生的内力与每一荷载单独作用所产生的内力的代数和相等。,（,3,）,绘制弯矩图的步骤,求支座反力,求控制截面的弯矩值，控制截面包括杆的两端、集中力作用处（求剪力时要取两侧各一个截面）、力偶作用处两侧、均布荷载的起点、终点和中点等；,若二控制截面间无外力作用，则连以直线。若有外力作用，则连直线（基线）后叠加上简支梁的弯矩图。,【,例,17.3】,如,图,17.5(a),所示一悬臂梁，承受均布荷载,q=3kN/m,和集中荷载,P=4kN,的作用，试绘制其内力图。,【,解,】,（,1,）,求支座反力,由于没有水平向的外荷载，因此支座水平反力为零，梁内轴力也为零。,根据平衡条件：,Y=0:V,A,-ql-P=0,V,A,=ql+P=(31+4)kN=7kN,M,A,=0:M,A,+P1+q11=0,M,A,=-(4+3)kNm=-7kNm,M,A,方向与原假设方向相反。,(2),计算控制截面内力,根据均布荷载的起讫点和集中力的作用点可以确定,A,、,B,、,C,、,D,截面为控制截面，如,图,17.5(b),所示，各控制截面的内力如下：,A,截面：,M,A,=M,A,=-7kNm(,上侧受拉）,Q,A,=V,A,=7kN,B,截面：,M,B,=V,A,0.5+M,A,=(70.5-7)kNm=-3.5kNm(,上侧受拉）,Q,B,=Q,A,=7kN,C,截面：,M,C,=-30.50.5/2kNm=-0.375kNm(,上侧受拉）,Q,C,左,=,（,4+30.5)kN=5.5kN,Q,C,右,=30.5kN=1.5kN,D,截面：,M,D,=0,Q,D,=0,（,3,）,绘制剪力图,将各控制截面的剪力纵标值绘在相应位置上，由于,AB,段为无荷段，所以剪力图为水平直线，,BC,段和,CD,段荷载为常数，故剪力图应为斜直线，将各段剪力纵标值相连，即得剪力图，如图,17.5(c),所示。,（,4,）,绘制弯矩图,将各控制截面的弯矩纵标值绘在相应位置上，由于,AB,段为无荷区段，故弯矩图应为斜直线，将两侧弯矩纵标值相连即可。,对于,BC,段可先取该段为隔离体，如图,17.5(d),所示，由于该段在外力,q,和内力,MB,、,MC,、,QB,、,QC,左作用下处于平衡状态，所以可将该段看作是在,MB,、,MC,和,q,共同作用下的简支梁，,QB,、,QC,左可由支座反力代替，如图,17.5(e),所示。,利用叠加原理可分别绘出在,MB,、,MC,作用下的弯矩图（如图,17.5(f),）和,q,单独作用下的弯矩图（如图,17.5(g),，以图,(f),的,bc,线为基线，将（,g),图沿竖向叠加上去，即为,BC,段的弯矩图，如图,17.5(h),所示。同理也可作出,CD,段的弯矩图。,最后将上述各段的弯矩图画于一条基线上，即为该梁的弯矩图，如图,17.5(i),所示。,【,例,17.4】,如,图,17.6,所示一外伸梁，承受集中荷载,P=4kN,，均布荷载,q=3kN/m,，试绘制其内力图。,【,解,】,根据叠加法原理，可把该结构分解为如,图,17.7,所示几种情况。,情形,:,该结构可看作是两个对称布置的悬臂梁，取,CA,段作隔离体，内力方向如,图,17.8,（,a),所示。,M,A,=0:M,A,+ql1/2l=0,M,A,=-1/2ql,2,=-1/231,2,=-3/2kNm,Y=0:ql-QA=0,Q,A,=ql=31=3kN,BD,段与,CA,段相同，由于,AB,段无荷载作用，所以,AB,段的弯矩为直线分布，可直接将,A,点和,B,点的弯矩值相连即可，而,AB,段剪力为零，如图,17.8(b),、,(c),。,情形,:,该,结构可看作是一道简支梁，其弯矩图和剪力图分别如图,17.8(d),、,(e),。,情形,:,对该结构可先求支座反力，以整个结构为隔离体，如图,17.8(f),所示：,M,A,=0:P(l+l)-Y,B,l=0,Y,B,=4(2+1)/2=6kN,Y=0:P-V,A,-V,B,=0,V,A,=P-V,B,=-2kN,以,CA,段为隔离体，求,M,A,：,由于,CA,段上无荷载作用，所以,M,A,=0,。,以,BD,段为隔离体，求,MB:,M,B,=0:M,B,+P1=0,M,B,=-4kNm,该情形的弯矩图、剪力图如图,17.8,（,h),、,(i),所示。,将上述三种情形叠加，可求出整个结构的弯矩图和剪力图，如图,17.8(j),、,(k),所示。,图,17.3,图,17.4,图,17.5,图,17.6,图,17.7,图,17.8,楼梯斜梁承受的荷载,主要有两种，,一种是,沿斜梁水平投影长度分布的荷载，如楼梯上人群的重量等；,另一种是,沿倾斜的梁轴方向分布的竖向荷载，如梁的自重等。,一般在计算时，为计算简便可将沿梁轴方向分布的竖向荷载按等值转换为沿水平方向分布的竖向荷载，,如图,17.9(a),所示,，梁斜长为,l,，水平投影长度为,l,，沿梁轴线方向分布的荷载为,q,，转换为沿水平方向分布的荷载为,q,，则由于是等值转换，所以有：,17.1.1.3,斜梁的内力计算与内力图的绘制,ql=ql,即,q=ql/l=q/cos,下面以承受沿水平向分布的均布荷载的斜梁为例进行内力分析，如图,17.9(b),所示。,根据平衡条件，可以求出支座反力为：,H,A,=0,V,A,=V,B,=1/2ql,则距,A,支座距离为,x,的截面上的内力可由取隔离体求出。如图,17.9(c),所示，荷载,qx,、,Y,A,，在梁轴方向（,t,方向）的分力分别为,qxsin,、,YAsin,；在梁法线方向（,n,方向）的分力分别为：,qxcos,、,Y,A,cos,。则由平衡条件得：,T=0,：,V,A,sin-qxsin+N,X,=0,N,X,=(qx-1/2ql)sin,N=0:,V,A,cos-qxcos-Q,X,=0,Q,X,=(1/2ql-qx)cos,M,X,=0:V,A,x-qxx/2-M,X,=0,M,X,=1/2qx(1-x),由此即可绘出其内力图如图,17.9(d),所示。,由上可知，弯矩图为抛物线形，跨中弯矩为,1/8ql,2,，它与承受相同荷载的水平简支梁完全相同，,Q,图与同样条件的水平简支梁的,Q,图形状相同，但数值是水平简支梁的,cos,倍。,图,17.9,（,1,）,几何组成,多跨静定梁,是由若干根伸臂梁和简支梁用铰联结而成，并用来跨越几个相连跨度的静定梁。这种梁常被用于桥梁和房屋的檩条中，如,图,17.10,所示。其简图如,图,17.11(a),所示。,多跨静定梁按其几何组成特点可,有两种基本形式,，第一种基本形式,如,图,17.11(b),所示；,第二种基本形式,如,图,17.12(a),所示，其层次图如,图,17.12(b),所示。,17.1.2,多跨静定梁,(2),多跨静定梁的内力计算,由层次图可见，作用于基本部分上的荷载，并不影响附属部分，而作用于附属部分上的荷载，会以支座反力的形式影响基本部分，因此在多跨静定梁的内力计算时，应先计算高层次的附属部分，后计算低层次的附属部分，然后将附属部分的支座反力反向作用于基本部分，计算其内力，最后将各单跨梁的内力图联成一体，即为多跨静定梁的内力图。,【,例,17.5】,试作出如,图,17.13(a),所示的四跨静定梁的弯矩图和剪力图。,【,解,】,（,1,）,根据传力途径绘制层次图，如,图,17.13(b),所示。,（,2,）,计算支座反力，先从高层次的附属部分开始，逐层向下计算：,EF,段：,由静力平衡条件得,M,E,=0:,V,F,4-102=0,V,F,=5kN,Y=0:,V,E,=20+10-VF=25kN,CE,段：,将,VE,反向作用于,E,点，并与,q,共同作用可得：,M,D,=0:,V,C,4-442+251=0,V,C,=1.75kN,Y=0:,V,C,+V,D,-44-25=0,V,D,=39.25kN,FH,段：,将,VF,反向作用于,F,点，并与,q=3kN/m,共同作用可得：,M,G,=0:,V,H,4+V,F,1-342=0,V,H,=4.75kN,Y=0:,V,G,+V,H,-V,F,-34=0,V,G,=12.25kN,AC,段：,将,VC,反向作用于,C,点，并与,q=4kN/m,共同作用可得：,M,B,=0:,V,A,4+VC1+410.5-442=0,V,A,7kN,Y=0:,V,B,+V,A,-45-VC=0,V,B,=14.7kN,(3),计算内力并绘制内力图,各段支座反力求出后不难由静力平衡条件求出各截面内力，然后绘制各段内力图，最后将它们联成一体，得到多跨静定梁的,M,、,Q,图，,如图,17.14,所示,。,【例,17.6】,作图,17.15,所示的多跨静定梁的弯矩图。,【,解,】,（,1,）,根据传力途径，绘制层次图，如,图,17.16,所示。,(2),计算支座反力，先从高层次的附属部分开始，逐层向下计算：,IJ,段：,由静力平衡条件得：,Y=0:,V,I,+V,J,=34,M,I,=0:,342-V,J,4=0,可解得：,V,J,=6kN,V,I,=6kN,GI,段：,将,VI,反向作用于,I,点，,Y=0:,V,G,+V,H,=3+6+31=12kN,M,G,=0:,65+314.5-6-V,H,4=0,可解得：,V,H,2.6kN,V,G,=9.4kN,CD,段：,同理可求得,V,C,=3kN,V,D,=3kN,。,DG,段：,将,V,D,和,V,G,分别反向作用于,D,点和,G,点，可求得,V,E,=1.4kN,，,V,F,=14kN,。,AC,段：,将,VC,反作用于,C,点，可求得,V,A,=1.25kN,，,V,B,=5.75kN,。,（,3,）,计算内力并绘制弯矩图,根据静力平衡条件，计算各段上控制截面的弯矩，绘制各段的弯矩图，并将它们联成一体，得到该多跨静定梁的弯矩图，,如图,17.17,所示,。,图,17.10,图,17.11,图,17.12,图,17.13,图,17.14,图,17.15,图,17.16,图,17.17,17.2,静定平面刚架,第一，,刚架整体刚度大，在荷载作用下，变形较小；,第二，,刚架在受力后，刚结点所连的各杆件间的角度保持不变，即结点对各杆端的转动有约束作用，因此刚结点可以承受和传递弯矩，这样刚架中各杆内力分布较均匀，且比一般铰结点的梁柱体系小，故可以节省材料；,第三，,由于刚架中杆件数量较少，内部空间较大，所以刚架结构便于利用。,17.2.1,刚架的特点,当刚架的杆轴和外力都在同一平面内时，称为,平面刚架,，根据支座的情况，刚架可分为,静定刚架,和,超静定刚架,。,静定平面刚架通常可分为,悬臂刚架,、,简支刚架,、,三铰刚架,和,组合刚架,等型式，如,图,17.18,所示。,图,17.18,静定平面刚架的内力一般有,弯矩,、,剪力,和,轴力,。,静定平面刚架内力分析的步骤是：,先计算支座反力和铰结点处的约束力，然后以外力变化点和刚架杆件的弯折点为分段点，截取各段为隔离体，根据静力平衡方程计算各分段点处的内力，最后根据前述梁中内力图的绘制规律逐杆绘出该刚架的内力图，并进行校核。,17.2.2,静定平面刚架的内力分析,【,例,17.7】,试绘制,图,17.19(a),所示刚架的内力图。,【,解,】,本题为悬臂刚架，可不计算支座反力而直接计算内力，并绘制内力图。,（,1,）,计算内力,CB,段：,M,CB,=0,N,CB,=0,Q,CB,=0,M,BC,=442kNm=32kNm(,上侧受拉）,N,BC,=-44sinkN=-8kN,Q,BC,=-44coskN=-83kN,BD,段：,M,DB,=0,N,DB,=0,V,DB,=0,M,BD,=442kNm=32kNm(,上侧受拉,),N,BD,=N,BC,=-8kN,Q,BD,=Q,BC,=-83kN,BE,段：取结点,B,为隔离体，如图,17.19(b),所示，,M,B,=0:M,BE,+M,BC,-M,BD,=0,M,BE,=0,以竖向为,y,坐标轴，向上为正，以水平向为,x,坐标轴，向右为正，以,B,为原点，则：,X=0:Q,BE,+N,BD,cos-N,BC,cos+Q,BD,sin-Q,BC,sin=0,Q,BE,=0,Y=0:-N,BE,+N,BC,sin+N,BD,sin-Q,BD,cos-Q,BC,cos=0,N,BE,=-32kN,(2),绘制内力图,内力图如,图,17.19(c),、,(d),、,(e),所示。,(3),校核,求支座反力：,支座竖向反力：,Y,A,=48kN=32kN(,向上）,支座水平反力：,X,A,=P=4kN(,向左）,支座弯矩：,M,A,=P3=12kNm(,逆时针方向）,以,A,结点为隔离体进行校核：,X=H,A,-Q,AE,=4-4=0,Y=V,A,+N,AE,=32-32=0,M,A,=M,A,-M,AE,=12-12=0,图,17.19,【,例,17.8】,绘制,图,17.20(a),所示刚架的内力图。,【,解,】,（,1,）,求支座反力,以整个刚架为隔离体，则,X=0:H,A,+4+44=0,H,A,=-20kN(),M,A,=0:V,D,4-242-44-442=0,V,D,=16kN(),Y=0:V,A,+V,D,=24,V,A,=(8-16)kN=-8kN(),（,2,）,计算内力,CD,杆：,N,CD,=N,DC,=-V,D,=-16kN,Q,CD,=Q,DC,=0,M,CD,=M,DC,=0,AB,杆：,N,AB,=N,BA,=-V,A,=8kN,Q,AB,=-H,A,=20kN,Q,BA,=Q,AB,-44=4kN,M,AB,=0,M,BA,=-442+VAB4=48kNm,内侧受拉,BC,杆：取,B,结点为隔离体，如图,17.20,（,b),所示：,X=0:N,BC,+4-Q,BA,=0,N,BC,=0,Y=0:Q,BC,+N,BA,=0,Q,BC,=-8kN,M,B,=0:M,BC,-M,BA,=0,M,BC,=M,BA,=48kNm(,内侧受拉）,取,BC,杆为隔离体，如图,17.20(c),所示：,X=0:N,CB,=N,BC,=0,Y=0:Q,CB,+24-Q,BC,=0,Q,CB,=-16kN,M,C,=0:M,CB,-M,BC,+242-Q,BC,4=0,M,CB,=0,(3),绘制内力图,该刚架内力图如,图,17.20(f),、,(g),、（,h,）,所示。,(4),校核：,取,C,为隔离体校核：,Y=Q,CB,-N,CD,=-16-(-16)=0,取,BCD,为隔离体进行校核：,Y=Q,BC,-24-N,CD,=-8-8-(-16)=0,M,B,=M,BC,+242+N,CD,4=48+16-164=0,上述计算结果无误。,图,17.20,【例,17.9】,绘制,图,17.21,（,a),所示刚架的内力图。,【,解,】,对于这种组合刚架，计算时应先计算附属部分的反力，再计算基本部分的反力，然后按前述方法计算内力并绘制内力图。,本题中,ABCD,部分为基本部分，,EFG,部分为附属部分。,（,1,）,求支座反力,取,EFG,为隔离体：,X=0:N,EF,+23=0,N,EF,=-6kN,M,E,=0:V,G,2-231.5=0,V,G,=4.5kN(),Y=0:Q,EF,+V,G,=0,Q,EF,=-4.5kN,取,ABCD,为隔离体：,X=0:H,A,+4+N,EF,=0,H,A,=2kN(),M,A,=0:V,D,4-Q,EF,4-N,EF,3-442-42=0,V,D,=1kN(),Y=0:V,A,+V,D,-Q,EF,-44=0,V,A,=10.5kN,(2),求内力,AH,杆：,如图,17.21,（,d),所示：,Y=0:N,HA,+V,A,=0,N,HA,=-V,A,=-10.5kN,X=0:Q,HA,+H,A,=0,Q,HA,=-H,A,=-2kN,M,H,=0:M,HA,-H,A,2=0,M,HA,=2H,A,=4kNm(,外侧受拉）,HB,杆：,取结点,H,为隔离体，如图,17.21(e),所示：,Y=0:N,HB,-N,HA,=0,N,HB,=N,HA,=-10.5kN,X=0:Q,HB,+4-Q,HA,=0,Q,HB,=Q,HA,-4=-6kN,M,H,=0:M,HB,-M,HA,=0,M,HB,=M,HA,=4kNm(,外侧受拉）,取,HB,为隔离体，同理可求得,N,BH,=N,HB,=-10.5kN,Q,BH,=Q,HB,=-6kN,M,BH,=M,HB,-Q,HB,2=,4-2(-6),kNm=16kNm(,外侧受拉）,BC,杆：,取结点,B,为隔离体，如图,17.21(f),所示：,X=0:N,BC,-Q,BH,=0,N,BC,=Q,BH,=-6kN,Y=0:Q,BC,-N,BH,=0,Q,BC,=N,BH,=-10.5kN,M,B,=0:M,BC,-M,BH,=0,M,BC,=M,BH,=16kNm(,上侧受拉）,取,BC,杆为隔离体，如图,17.21(g),所示：,X=0:N,CB,-N,BC,=0,N,CB,=N,BC,=-6kN,Y=0:Q,BC,-Q,CB,-44=0,Q,CB,=Q,BC,-44=(10.5-16)kN=-5.5kN,M,C,=0:M,CB,-M,BC,-442+Q,BC,4=0,M,CB,=M,BC,+442-Q,BC,4,=(16+32-10.54)kNm,=6kNm(,上侧受拉）,用同样的方法可分别求出,CD,、,EF,、,FG,杆的内力，,见图,17.22,。,（,3,）,绘制内力图,内力图,如图,17.22,所示,。,(4),校核,分别以结点,D,、结点,G,和整个结构为隔离体进行校核，可见均满足平衡条件。,图,17.21,图,17.22,17.3,三铰拱,拱式结构,是指杆轴为曲线，在竖向荷载作用下，支座处产生水平推力的结构。如,图,17.23,所示的结构。,拱的形式一般有,无铰拱,、,两铰拱,、,三铰拱,等几种，如,图,17.24,所示。,拱式结构的顶点称为,拱顶,，三铰拱的中间铰往往布置于拱顶，拱与基础的联结处称为,拱脚,，拱脚的水平距离,l,称为,拱的跨度,，拱顶到拱脚连线的竖直距离,f,叫,拱高,，拱高,f,与跨度,l,之比,f/l,叫,高跨比,。,17.3.1,概述,图,17.23,图,17.24,为了计算简单明了，下面以拱脚在同一水平线上的三铰拱和同荷载同跨度的水平简支梁做比较，导出三铰拱内力的计算方法，如,图,17.25,所示。,（,1,）,计算支座反力,取整个结构为隔离体，根据平衡条件可得：,M,A,=0:V,B,l-P,1,a,1,-P,2,a,2,-P,3,a,3,=0,V,B,=,（,P,1,a,1,+P,2,a,2,+P,3,a,3,）,/l=1/lP,i,a,i,M,B,=0:,V,A,l-P,1,b,1,-P,2,b,2,-P,3,b,3,=0,V,A,=(P,1,b,1,+P,2,b,2,+P,3,b,3,)/l=1/lP,i,b,i,X=0:,H,A,=H,B,17.3.2,三铰拱内力的计算,由于,C,点为铰连接，,C,点处的弯矩为零，故以左半跨为隔离体对,C,点取矩，建立补充方程：,M,C,=0:,V,a,l/2-H,A,f-P,1,(l/2-a,1,)=0,H,A,=1/2P,i,b,i,-1/2P,1,(l-2a,1,)/f,对于简支梁（如,图,17.25(b),所示）可以按同样的方法求出：,V,0,A,=1/lP,i,b,i,V,0,B,=1/lP,i,a,i,C,点的弯矩为：,M,0,C,=V,0,A,l/2-P,1,(l/2-a,1,)=1/2P,i,b,i,-1/2P,1,(l-2a,1,),由上述各式可以得出：,V,A,=V,0,A,V,B,=V,0,B,H,A,=H,B,=M,0,C,/f,支座水平推力与拱轴曲线形状无关，而只与荷载及三个铰的位置有关；当荷载与跨度确定时，,M,0,C,为定值，水平推力与矢高成反比关系，,f,愈大，拱愈高，则推力愈小；,f,愈小，拱愈扁平，则推力愈大。,图,17.25,（,2,）,内力的计算,拱的内力计算时，仍按截面法计算，且截面应与拱轴垂直，该截面的位置由截面形心的坐标,x,、,y,及该截面处拱轴切线的倾角,来确定。,如,图,17.26(a),所示，设计算截面,K,的三个参数分别为,x,K,、,y,K,、,K,，该截面上的内力有,M,K,(,内侧受拉为正）、,Q,K,(,绕隔离体顺时针转动者为正）和,N,K,（以压力为正）。,下面分别讨论三种内力的计算方法。,弯矩的计算,取,K,截面以左为隔离体，如图,17.26(c),所示，对,K,截面取矩：,M,K,=0:,H,A,y,K,-V,A,x,K,+P,1,(x,K,-a,1,)+M,K,=0,M,K,=,V,A,x,K,-P,1,(x,K,-a,1,),-H,A,y,K,相应简支梁在相应位置处的弯矩也可由静力平衡条件求出，如图,17.26(b),、,(d),所示：,M,0,K,=V,0,A,x,K,-P,1,(x,K,-a,1,),由于,VA=V0A,所以三铰拱,K,截面上的弯矩为：,M,K,=M,0,K,-H,A,y,K,剪力的计算,如图,17.26(c),所示，以,Q,K,方向为,y,轴，,N,K,方向为,x,轴，建立坐标系，则由于,Y=0:Q,K,-V,A,cos,K,+P,1,cos,K,+H,A,sin,K,=0,Q,K,=(V,A,-P,1,)cos,K,-H,A,sin,K,相应简支梁在,K,截面处的剪力计算如下，如图,17.26(d),所示：,Y=0:,Q,0,K,+P,1,-V,0,A,=0,Q,0,K,=V,0,A,-P,1,由于,V,A,=V,0,A,，所以：,Q,K,=Q,0,K,cos,K,-H,A,sin,K,轴力的计算,坐标系与求剪力时坐标系相同，则：,X=0,：,N,K,+P,1,sin,K,-V,A,sin,K,-H,A,cos,K,=0,N,K,=(V,A,-P,1,)sin,K,+H,A,cos,K,=Q,0,K,sin,K,+H,A,cos,K,对于承受外荷载的三铰拱，只要已知拱轴方程,y=f(x),，即不难根据已知的,x,值求出,y,值，并根据,dy/dx=tan,，求出,的值，进一步可按上述三个基本公式求出截面上的内力。,图,17.26,【,例,17.10】,某三铰拱及其荷载如,图,17.27(a),所示，当坐标原点选在左支座时，拱轴方程为,y=4f(l-x)x/l2,，试作该三铰拱的内力图。,【,解,】,（,1,）,求支座反力,由式（,17.7),和式（,17.8),可求得：,V,A,=V,0,A,=90kN,V,B,=V,0,B,=70kN,H,A,=H,B,=M,0,C,/f,=1/2(904-503-2021)kN,=85kN,(2),确定控制截面并计算控制截面的内力,将拱沿跨度分成,8,等份，各等分点所对应的截面作为控制截面，按照下列各计算公式计算各截面内力：,M,K,=M,0,K,-H,A,y,K,N,K,=Q,0,K,sin,K,+H,A,cos,K,Q,K,=Q,0,K,cos,K,-H,A,sin,K,计算结果,见表,17.1,。,（,3,）,绘制内力图,根据表,17.1,可以绘出内力图如,图,17.27(b),所示。,图,17.27,表,17.1,三铰拱的内力计算,为了充分发挥材料抗压强度高、抗拉强度较低的性能，我们可以通过调整拱的轴线，使拱在任何确定的荷载作用下各截面上的弯矩值为零，这时拱截面上只有通过截面形心的轴向压力作用，其压应力沿截面均匀分布，此时的材料使用最为经济，这种在固定荷载作用下，使拱处于无弯矩状态的相应拱轴线称为,该荷载作用下的合理拱轴,。,合理拱轴的轴线方程可以根据在荷载作用下，任何截面的弯矩为零的原则确定。,17.3.3,三铰拱的合理拱轴,在某种荷载作用下，拱任何截面的弯矩为,M=M,0,-H,Ay,令其等于零得：,M,0,-H,Ay,=0,则：,y=M,0,/H,A,由此可见，当拱上荷载为已知时，只要求出相应简支梁的弯矩方程，然后除以支座水平推力,HA,，即可求得合理拱轴的轴线方程。,【,例,17.11】,求出如,图,17.28(a),所示三铰拱承受竖向均布荷载时的合理拱轴。,【,解,】,作相应简支梁，其弯矩方程为：,M,0,=1/2qlx-1/2qx,2,=1/2qx(l-x),支座水平推力为：,H,A,=M,0,C,/f=ql,2,/8f,合理拱轴方程应为：,y=M,0,/H,A,=1/2qx(l-x)/ql,2,8f=4f/l,2,(l-x)x,由此可见，三铰拱在竖向均布荷载作用下的合理拱轴是一条二次抛物线。,图,17.28,17.4,静定平面桁架,桁架结构,是由很多杆件通过铰结点连接而成的结构，各个杆件内主要受到轴力的作用，截面上应力分布较为均匀，因此其受力较合理。,工业建筑及大跨度民用建筑中的屋架、托架、檩条等常常采用桁架结构。,17.4.1,桁架的特点及其分类,17.4.1.1,桁架的特点,桁架的计算简图常常采用下列假定：,(1),联结杆件的各结点，是无任何摩擦的理想铰,(2),各杆件的轴线都是直线，都在同一平面内，并且都通过铰的中心。,(3),荷载和支座反力都作用在结点上，并位于桁架平面内。,满足上述假定的桁架称为,理想桁架,，在绘制理想桁架的计算简图时，应以轴线代替各杆件，以小圆圈代替铰结点。如,图,17.29,所示为一理想桁架的计算简图。,图,17.29,（,1,）,按照桁架的外形分类,平行弦桁架，如,图,17.30(a),所示；,折线形桁架，如,图,17.30(b),所示；,三角形桁架，如,图,17.30(c),所示；,梯形桁架，如,图,17.30(d),所示；,抛物线形桁架，如,图,17.30(e),所示。,(2),按照竖向荷载引起的支座反力的特点分类,梁式桁架，只产生竖向支座反力，如,图,17.30(a),、,(b),、,(c),、,(d),、,(e),所示；,拱式桁架，除产生竖向支座反力外还产生水平推力，如,图,17.30(f),所示。,17.4.1.2,桁架的分类,(3),按照桁架的几何组成分类,简单桁架：,以一个基本铰结三角形为基础，依次增加二元体而组成的几何不变且无多余联系的桁架，如,图,17.30(a),、,(d),、,(e),所示。,联合桁架：,由几个简单桁架组成的几何不变的静定桁架，如,图,17.30(c),、,(f),所示。,复杂桁架：,不属于简单桁架和联合桁架的桁架即为复杂桁架，如,图,17.30(b),所示。,图,17.30,在实际计算时，可以先从未知力不超过两个的结点计算，求出未知杆的内力后，再以这些内力为已知条件依次进行相邻结点的计算。,在桁架中，有时会出现轴力为零的杆件，它们被称为,零杆,。在计算之前先断定出哪些杆件为零杆，哪些杆件内力相等，可以使后续的计算大大简化。在判别时，,可以依照下列规律进行。,17.4.2,用结点法与截面法计算桁架的内力,17.4.2.1,用结点法计算桁架的内力,（,1,）,对于两杆结点,，当没有外力作用于该结点上时，则两杆均为零杆，如,图,17.31(a),所示；当外力沿其中一杆的方向作用时，该杆内力与外力相等，另一杆为零杆，如,图,17.31,（,b),所示。,（,2,）,对于三杆结点,，若其中两杆共线，当无外力作用时，则第三杆为零杆，其余两杆内力相等，且内力性质相同（均为拉力或压力）。如,图,17.31(c),所示。,（,3,）,对于四杆结点,，当杆件两两共线，且无外力作用时，则共线的各杆内力相等，且性质相同。如,图,17.31(d),所示。,图,17.31,【,例,17.12】,用结点法计算如,图,17.32(a),所示桁架中各杆的内力。,【,解,】,(1),计算支座反力,VA=VB=1/2(340+220)kN=80kN,(2),计算各杆内力,由于,A,结点只有两个未知力，故先从,A,结点开始计算。,A,结点：如,图,17.32(b),所示。,Y=0:V,A,-20+V,A4,=0,V,A4,=-60kN,N,A4,=-605kN=-134.16kN(,压力,),X=0:N,A1,+H,A4,=0,H,A1,=-H,A4,=-6/35N,A4,=120kN(,拉力,),以,1,结点为隔离体，可以断定,14,杆为零杆，,A1,杆与,12,杆内力相等，性质相同，即：,N,12,=N,A1,=120kN(,拉力,),以,4,结点为隔离体，如图,17.32(c),所示。,Y=0:V,45,-P-V,42,-V,41,-V,4A,=0,X=0:H,45,+H,42,-H,4A,=0,将,H,45,、,V,45,、,H,42,、,N,42,、,V,42,、,N,42,、,H,A4,、,N,A4,、,V,A4,、,N,41,代入上两式得：,N,45,-N,42,=-134.16,联立求解得：,N,42,=-44.7kN(,压力,),N,45,=-89.5kN(,压力,),以结点,5,为隔离体，如,图,17.32(d),所示。,由于对称性，所以,N,56,=N,54,Y=0:V,54,+V,56,+N,52,+40=0,2V,54,+N,52,+40=0,N,52,=40kN(,拉力,),(3),校核,以结点,6,为隔离体进行校核，可见满足平衡方程。,图,17.32,用一截面将桁架分为两部分，其中任一部分桁架上的各力,(,包括外荷载、支座反力、各截断杆件的内力,),，组成一个平衡的平面一般力系，根据平衡条件，对该力系列出平衡方程，即可求解被截断杆件的内力。,利用截面法计算桁架中各杆件内力时，最多可以列出两个投影方程和一个力矩方程，即：,X=0,Y=0,M=0,17.4.2.2,用截面法计算桁架各杆件的内力,【,例,17.13】,如,图,17.33(a),所示的平行弦桁架，试求,a,、,b,杆的内力。,【,解,】(,1),求支座反力,Y=0:,V,A,=V,B,=1/2(25+510)kN=30kN,(2),求,a,杆内力,作,-,截面将,12,杆、,a,杆、,45,杆截断，如,图,17.33(a),所示，并取左半跨为隔离体，如,图,17.33(b),所示，由于上、下弦平行，故用投影方程,(,式,(17.14),计算较方便。,Y=0:N,a,+V,A,-5-10=0,N,a,=(5+10-30)kN=-15kN(,压力,),(3),求,b,杆内力,作,-,截面将,23,杆、,b,杆、,45,杆截断，如,图,17.33(a),所示，取左半跨为隔离体，如,图,17.33(c),所示，利用投影方程,Y=0,计算：,Y=0:V,A,-V,b,-5-10-10=0,V,b,=(30-5-10-10)kN=5kN,根据,Nb,与其竖向分量,Vb,的比例关系，可以求