信号和系统拉普拉斯变换.ppt

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,优点,：,求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为普遍。,缺点,：,物理概念不如傅氏变换那样清楚。,1,本章内容及学习方法,本章首先由,傅氏,变换引出,拉氏,变换，然后对拉氏,正,变换、拉氏,反,变换及拉氏变换的,性质,进行讨论。,本章,重点,在于，以拉氏变换为工具对系统进行,复频域分析,。,最后介绍,系统函数,以及,H,(,s,),零极点,概念，并根据它们的分布研究,系统特性,，分析,频率响应,，还要简略介绍系统,稳定性,问题。,注意与傅氏变换的,对比,，便于理解与记忆。,2,一从傅里叶变换到拉普拉斯变换,则,1,拉普拉斯正变换,3,2,拉氏逆变换,4,3,拉氏变换对,5,二拉氏变换的收敛,收敛域：,使,F,(,s,),存在的,s,的区域称为收敛域。,记为：,ROC,(region of convergence),实际上就是拉氏变换存在的条件；,6,u,部分,s,平面收敛的情况：,7,u,8,9,例,4,时限信号的拉氏变换,(,如门信号,),。,整个,s,平面收敛的情况：,这里只要 不是无穷大，上式的分子就不等于无穷大，拉氏变换就存在。故其收敛域为整个,s,平面。,例,5,下列信号的拉氏变换：,，故在整个,s,平面都不收敛。,整个,s,平面都不收敛的情况：,10,u,u,u,u,u,u,:,11,12,一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。,13,三一些常用函数的拉氏变换,1.,阶跃函数,2.,指数函数,全,s,域平面收敛,3.,单位冲激信号,14,4,t,n,u,(,t,),15,5.,复指数函数,16,4.3,拉氏变换的基本性质,u,17,u,u,u,u,u,u,18,“,周期信号”的拉氏变换,第一周期的拉氏变换,时移特性,无穷级数求和,19,时移特性例题,【,例,1】,已知,【,例,2,】,20,用时移性质求单边信号抽样后的拉氏变换,21,22,复频移特性举例,23,24,例：,两边取拉氏变换,：,整理得,：,25,电感元件的,s,域模型,电感元件的,s,模型,应用原函数微分性质,设,26,27,电容元件的,s,域模型,电容元件的,s,模型,28,29,30,31,初值定理,32,终值存在的条件,:,证明：,根据初值定理证明时得到的公式,终值定理,33,初值定理举例,即单位阶跃信号的初始值为,1,。,例,2,例,1,34,4.4,拉普拉斯逆变换,由象函数求原函数的三种方法,部分分式法求拉氏逆变换,两种特殊情况,35,F,(,s,),的一般形式,a,i,b,i,为实数，,m,n,为正整数。,分解,零点,极点,36,拉氏逆变换的过程,37,部分分式展开法,(,m,n,),1.,第一种情况：,单阶,实数极点,2.,第二种情况：极点为共轭复数,3.,第三种情况：,有重根存在,38,第一种情况：单阶实数极点,(1),找极点,(2),展成部分分式,(3),逆变换,求系数,39,如何求系数,k,1,k,2,k,3,？,40,第二种情况：极点为共轭复数,共轭极点出现在,41,求,f,(,t,),42,例题,43,F,(,s,),具有共轭极点，不必用部分分式展开法,求下示函数,F,(,s,),的逆变换,f,(,t,),：,解：,求得,另一种方法,44,3.,第三种情况：,有重根存在,如何求,k,2,?,45,如何求,k,2,?,设法使部分分式只保留,k,2,，其他分式为,0,46,逆变换,47,一般情况,求,k,11,，方法同第一种情况,：,求其他系数，要用下式,48,F,(,s,),的,两种特殊情况,非真分式,化为真分式多项式,49,1.,非真分式,真分式多项式,作长除法,50,2.,含,e,-,s,的非有理,式,51,2,*,.,已知某,LTI,系统的微分方程为,若输入 ，求该系统的零状态响应、零状态响应及全响应。,系统频域分析课堂练习：,1.,已知某,LTI,系统的阶跃响应 ，若输入 ，求该系统的零状态响应。,52,4.5,用拉氏变换法分析电路、,s,域元件模型,主要内容：,用拉氏变换法求解瞬态电路的步骤,微分方程的拉氏变换,利用元件的,s,域模型分析求解瞬态电路,53,一、用拉氏变换法求解瞬态电路的步骤,列,s,域方程,(,可以从两方面入手,),列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换,直接按电路的,s,域模型建立代数方程,求解,s,域方程,，得到时域解答,54,二、微分方程的拉氏变换,若采用,0-,系统，求拉氏变换时减去的是信号在,0-,时刻的值；,若采用,0+,系统，求拉氏变换时减去的是信号在,0+,时刻的值,。,55,例,4-4,电路在,t=0,时开关闭合，求输出信号,Vc(t),。,两边取拉氏变换：,列写微分方程：,解得：,求拉氏反变换：,R,C,E,S,Vc(t),+,+,-,-,i(t),56,13,57,58,59,60,结论：,分析电路时，采用,0-,系统,求解瞬态电路更为简便，只要知道起始状态，就可以利用元件值和元件起始状态，求出元件的,s,域模型。,61,三、利用元件的,s,域模型分析瞬态电路,求响应的步骤：,画,0-,等效电路，求起始状态；,电路元件的,s,域模型,电路的,s,域等效模型；,采用,KVL,和,KCL,，列出,s,域方程,(,代数方程,),；,解,s,域方程，求出响应的拉氏变换,U(s),或,I(s),；,拉氏反变换求,u(t),或,i(t),。,62,元件的,s,域模型：,63,64,以上是,电路定理的推广,，对于线性稳态电路分析的各种方法都适用。,65,【,例,4-5-1】,如图所示，,t0,开关,S,处于,1,的位置而且已经达到稳态；当,t=0,时,S,由,1,转向,2,。,R,C,e(t)=-E,e(t)=E,i,c,(t),i(t),S,2,1,66,5-2,1,67,68,69,70,例,4-5-2,71,（,4,）求反变换,72,求,采用,0,-,系统,采用,0,+,系统,两种方法结果一致。,使用,0-,系统使分析各过程简化。,73,(3),对微分方程两边取拉氏变换,采用,0-,系统,74,采用,0,+,系统,(4),原方程取拉氏变换,75,4.6,系统函数,76,77,78,79,80,81,82,83,84,系统函数课堂练习：,某级联系统如下图所示，已知 ，,，试求 、,、级联系统的系统函数 及单位冲激 响应 。,85,4.7,由系统函数零、极点分布决定时域特性,冲激响应,h,(,t,),与系统函数,H,(,s,),从时域和变换域两方面表征了同一系统的,本性,。,在,s,域,分析中，借助系统函数在,s,平面,零点与极点,分布的研究，可以简明、直观地给出系统响应的许多规律。系统的,时域、频域特性,集中地以其系统函数的零、极点分布表现出来。,主要优点：,1,可以预言系统的时域特性,2,便于划分系统的各个分量,(,自由,/,强迫，瞬态,/,稳态,),3,可以用来说明系统的正弦稳态特性,86,在,s,平面上，画出,H,(,s,),的零极点图：,极点：用,表示,，,零点：用,表示,1,系统函数的零、极点,H,(,s,),零、极点与,h,(,t,),波形特征的对应,87,88,89,90,91,极点在左半平面,见教材,P223,结论,92,93,瞬态响应,是指激励信号接入以后，完全响应中瞬时出现的有关成分，随着,t,增大，将消失。,稳态响应,完全响应瞬态响应,左半平面的极点产生的函数项和瞬态响应对应,。,225,94,例,4-7-2,，,教材习题,2-6(1),给定系统微分方程,试分别求它们的完全响应，并指出其零输入响应，零状态响应，自由响应，强迫响应各分量，暂态响应分量和稳态响应分量。,解：,方程两端取拉氏变换,95,零输入响应零状态响应,则,96,稳态响应暂态响应，自由响应强迫响应,极点位于虚轴,暂态响应,稳态响应,H,(,s,),的极点,E,(,s,),的极点,自由响应,强迫响应,极点位于,s,左半平面,教材,P227,97,4.8,由系统函数零、极点分布决定频域特性,98,H,(,s,),和频响特性的关系,频响特性,系统的稳态响应,幅频特性,相,频特性（相移特性）,虚轴上的拉氏变换就是傅氏变换,99,几种常见的滤波器,100,101,102,103,讨论,H(s),的几点位于,s,平面实轴的情况,一阶系统,只含有一类储能元件。转移函数仅一个极点且位于实轴，一般形式为 或 。,二阶系统,只含有两类储能元件。转移函数的两个极点都位于实轴。,重点讨论,104,例,4-8-1,确定图示系统的频响特性。,105,频响特性分析,X,高通滤波器的截止频率点,106,例,4-8-2,研究右图所示,RC,低通滤波网络,的频响特性,。,写出网络转移函数表达式,:,107,频响特性,108,4.11,线性系统的稳定性,一个稳定系统对于有界激励信号产生有界的响应函数,稳定性是系统自身的性质之一，系统是否稳定与激励情况无关,系统冲激响应和系统函数能表征系统的稳定性,109,可忽略,110,111,112,113,114,115,116,极点均在左半开平,面,117,118,119,4.13,拉氏变换和傅氏变换的关系,s,的实部,120,121,122,123,124,125,29,，求其傅氏变换。,126,以上两种方法的结果完全相同,127,128,129,30,130,131,电路,s,域分析课堂练习,1,：,求解下图所示电路的回路电流，已知电感上的初始储能,为,，激励信号 ，,，。,R,+,+,-,-,i(t),L,132,电路,s,域分析课堂练习,2,：,求解下图所示电路的回路电流，已知电容上的初始储能为 ，电感上的初始储能,为,，激励信号 ，,。,R,+,+,-,-,i(t),L,C,133,