IIR数字滤波器的原理和设计.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,IIR数字滤波器的原理和设计,进行,z,变换，可得：,于是得到,IIR,数字滤波器的系统函数：,(6.2),6.1.2,IIR,数字滤波器的设计方法,对(6.2)式的有理函数的分子、分母多项式进行因式分解，可以得到：,(6.3),其中,c,i,为零点而,d,i,为极点。,H(z),的设计就是要确定系数、或者零极点、，以使滤波器满足给定的性能指标。一般有三种方法。,1.零极点位置累试法,IIR,系统函数在单位圆内的极点处出现峰值、在零点处出现谷值,因此可以根据此特点来设置,H(z),的零极点以达到简单的性能要求。所谓累试，就是当特性尚未达到要求时，通过多次改变零极点的位置来达到要求。当然这种方法只适用于简单的、对性能要求不高的滤波器的设计。,2.借助于模拟滤波器的理论和设计方法来设计数字滤波器,模拟滤波器的逼近和综合理论已经发展得相当成熟，产生了许多效率很高的设计方法，很多常用滤波器不仅有简单而严格的设计公式，而且设计参数已图表化，设计起来方便准确。,而数字滤波器就其滤波功能而言与模拟滤波器是相同的,因此，完全可以借助于模拟滤波器的理论和设计方法来设计数字滤波器。在,IIR,数字滤波器的设计中，较多地采用了这种方法。,3.用优化技术设计,系统函数,H(z),的系数、或者零极点、等参数，可以采用最优化设计方法来确定。最优化设计法的第一步是要选择一种误差判别准则，用来计算误差和误差梯度等。,第二步是最优化过程，这个过程的开始是赋予所设计的参数一组初值，以后就是一次次地改变这组参数，并一次次计算,H(z),的特性与所要求的滤波器的特性之间的误差，当此误差达到最小值时，所得到的这组参数即为最优参数，设计过程也就到此完成。,这种方法能够精确地设计许多复杂的滤波器，但是往往计算很复杂，需要进行大量的迭代运算，故必须借助于计算机，因而优化设计又叫做,IIR,滤波器的计算机辅助设计(,CAD)。,第一种方法的算法简单、设计粗糙，在这里不具体讨论了；第三种方法所涉及的内容很多，并且需要最优化理论作为基础，因此在本章中只能作简要介绍；本章将着重讨论用得最多的第二种方法。,6.1.3 借助于模拟滤波器的理论和方法的设计原理,利用模拟滤波器来设计数字滤波器，要先根据滤波器的性能指标设计出相应的模拟滤波器的系统函数,H,a,(s)，,然后由,H,a,(s),经变换而得到所需要的数字滤波器的系统函数,H(z)。,常用的变换方法有冲激响应不变法和双线性变换法。,6.2 模拟低通滤波特性的逼近,模拟滤波器的设计包括逼近和综合两大部分，其中逼近部分是与数字滤波器的设计有关的。本节要讨论的是，在已知模拟低通滤波器技术指标的情况下，如何设计其系统函数,H,a,(s),，,使其逼近所要求的技术指标。,模拟系统的频率响应,H,a,(j),是冲激响应,h,a,(t),的傅里叶变换，,H,a,(j),的模表征系统的幅频特性，下面要讨论如何根据幅频特性指标来设计系统函数。,图6.1中用虚线画出的矩形表示一个理想的模拟低通滤波器的指标，是以平方幅度特性|,H,a,(j)|,2,来给出的。,c,是截止频率，当0,c,时，|,H,a,(j)|,2,=0，,是阻带。图,6.1,中的实的曲线表示一个实际的模拟低通滤波器的平方幅度特性，我们的设计工作就是要用近似特性来尽可能地逼近理想特性。,通常采用的典型逼近有,Butterworth,逼近、,Chebyshev,逼近和,Cauer,逼近（也叫椭圆逼近。,6.2.1,Butterworth,低通滤波特性的逼近,对于,Butterworth,滤波器有：,（,6.4,）,满足此平方幅度特性的滤波器又叫做,B,型滤波器。这里,N,为正整数，为,B,型滤波器的阶次，为截止频率。,6.2.1.1,B,型滤波特性,1.,最平坦函数,B,型滤波器的幅频特性是随,增大而单调下降的。在,=0,附近以及,很大时幅频特性都接近理想情况，而且在这两处曲线趋于平坦，因此,B,型特性又叫做最平坦特性。,2.3,db,带宽,由,(6.4),式可知，当,=,c,时，,=,，而,因此截止频率又叫做,3,db,带宽或者半功率点。,图6.1,Butterworth,低通滤波器的平方幅度特性,3.,N,的影响,在通带内，0(,/,c,)1，,故,N,越大，随,增大而下降越快。,因此，,N,越大，,B,型滤波器的幅频特性越接近理想的矩形形状；而不同的,N,所对应的特性曲线都经过,c,处的半功率点。离,c,越近，幅频特性与理想特性相差越大。,6.2.1.2 由得到,Ha(s),B,型滤波器的极点,由于,H,a,(s),是,s,的实系数有理函数，故有：，令,s=j,则有：，而,(6.5),由(6.4)式和(6.5)式有：,用,s,代替上式中的,j,:(6.6),图 6.2 阶次,N,对,B,型特性的影响,(6.6)式的极点为：,p=0,1,2N-1,作为,1的2,N,次方根，,p,均匀地分布在单位圆上，幅角间隔为,/N；,它们关于实轴对称，却没有一个在实轴上。显然，将 的模乘上，再将其按逆时针方向旋转，就得到,s,p,。,因此，,s,p,均匀地分布在半径为的圆周上，其位置关于虚轴对称，却没有一个在虚轴上，这就是说，2,N,个极点,s,p,在,s,平面的左、右两半平面各有,N,个。,这2,N,个极点是,H,a,(s)H,a,(-s),的极点，考虑到系统函数,H,a,(s),的极点必须在左半平面系统才是稳定的，因而将左半,s,平面的,N,个极点,s,k,（k=0,1,N-1),分给,H,a,(s)，,这样，右半平面的,N,个极点-,s,k,就正好是,H,a,(s),的极点。因此有：,(6.8),这个式子中的常数 是为了使(6.5)式满足而加入的。这,N,个极点,s,0,、s,1,、s,N-1,在,s,平面的左半平面而且以共轭形式成对出现，当,N,为奇数时,有一个在实轴上 (为-)。,6.2.1.3 一般情况下的,B,型低通滤波器,图 6.3 一般情况下低通滤波器的设计指标,此时，应该将角频率,标称化，通常以,1,为基准频率，则标称化角频率为：,=/,1,。,于是通带边界的标称化角频率为,1,=1，,并且在通带有0,1，,在过渡带和阻带则有,1。,以下为了方便起见，仍用不带撇的,表示标称化的角频率。频率标称化后，,B,型滤波器的平方幅度特性仍如(6.2)式所示，只是式中的参数和,N,都需要由图6.3给出的指标来确定。,（6.4）式可以写成：,(6.10),当,=,1,=1,时，上式为：(6.11),令 (6.12),则由(6.11)式可得：,当 时有：(6.13),故 (6.14),由(6.14)式可求出,N，,再将其代入(6.12)式，即可求 得 。,6.4 冲激响应不变法,本节和下一节所讨论的问题是，在已知模拟滤波器的系统函数,H,a,(s),的情况下，如何求相应的数字滤波器的系统函数,H(z)。s,是模拟复频率，,H,a,(s),也是模拟滤波器的冲激响应,h,a,(t),的拉氏变换。,6.4.1 冲激响应不变法的变换方法,模拟滤波器的系统函数通常可以表示为：,(6.62),而且一般都满足,M0,r,1；当,0,r1。,(6.75)式既表示了数字角频率与模拟角频率之间的关系，也表示了,z,平面的幅角,与,s,平面的虚部,之间的关系。由(6.75)式还可以知道，,s,平面上,由-,/T,s,到,/T,s,这一条状区域映射到,z,平面上,由-到的区域，即整个,z,平面；,s,平面上的水平线,=-/T,s,映射到,z,平面上的射线,=-，,而当这条射线按逆时针方向旋转时，对应的,s,平面上的水平线就向上平移。,上面所阐述的不仅是模拟域,s,平面与数字域,z,平面之间的映射关系，而且也是模拟滤波器的频率与用冲激响应不变法所得到的数字滤波器的频率之间的关系。,s,平面与,z,平面的映射关系保证了将稳定的模拟滤波器变换为稳定的数字滤波器。,图 6.14 模拟复频率,s,与数字复频率,z,之间的映射关系,例6.6 用冲激响应不变法设计一个三阶,Butteworth,数字低通滤波器，抽样频率为,f,s,=1.2 kHz,截止频率为=400,Hz。,解：此数字滤波器的截止频率：,c,=2f,c,=2400=800,弧度/,s,这也是模拟滤波器的截止频率，于是可以写出模拟滤波器的系统函数:,其中 ，,现在进行部分分式分解，令,(*2),可以得到：,根据(*1)式和(*2)式，再将,A、B、C,代入，便得到：,上式中,T,s,=1/f,s,=1/1200（,秒）。,6.5 双线性变换法,6.5.1 双线性变换关系的导出,模拟滤波器的系统函数 可以变换,为：,这里为了方便说明，已令,M=N。,由此式可以看出，模拟滤波器的基本单元是积分器 ，因此，只要设法用某种数字网络来代替此基本单元，就能够将模拟滤波器转变成相应的数字滤波器。,模拟滤波器基本单元的系统函数为：,则其冲激响应为：,设有一信号(,t0）,输入到该积分器系统，则其输出也即对的响应为：,设0,t,1,0，即右半平面,r1,即单位圆外,=0，即虚轴,r=1,即单位圆,0，即左半平面,r1,即单位圆内,因此，用双线性变换法，稳定的模拟滤波器导出的数字滤波器也必定是稳定的。但是，与冲激响应不变法不同的是，在双线性变换下，模拟滤波器的复频率,s,与相应的数字滤波器的复频率,z,之间的映射是一一对应的关系。,图 6.16 双线性变换法,s,平面与,z,平面之间的映射关系,6.5.3 频率预畸变,下面讨论,s,平面的虚轴与,z,平面的单位圆的映射关系，也即模拟滤波器的角频率,与相应的数字滤波器的角频率,之间的关系。在(6.84)式中令,=0，便可得到：,或 （6.85）,图 6.17,与,之间的非线性关系,与,的关系是非线性的，但是，,s,平面上的虚轴一一对应地映射到了,z,平面单位圆的一周之上，因此，采用双线性变换法，不存在频域混叠失真的问题。,由双线性变换所引起的模拟滤波器频率,与数字频率,之间的非线性关系，使得所得到的数字滤波器的相位频率特性产生失真；,但对于幅度频率特性，可以通过频率预畸变来校正。实际上，只要首先根据所要求的数字滤波器的各关键频率，按照(6.85)式转变成相应的模拟频率，再根据这些频率指标来设计模拟滤波器，则最后转换成的数字滤波器的各关键频率就会正好映射到所要求的位置上。,6.5.4 双线性变换法的特点,1模拟滤波器经过双线性变换后，不存在频率特性的混叠失真，因而对模拟滤波器的频率响应函数,H,a,(,),无限带要求，而且能够直接用于设计低通、高通、带通、带阻等各种类型的数字滤波器。,2与冲激响应不变法中模拟频率与数字频率之间的线性关系,=T,s,不同的是，双线性变换法中模拟滤波器的频率与所转换成的数字滤波器的频率之间是非线性关系，但是，如果事先进行频率预畸变，这种非线性关系不会使所设计的数字滤波器的幅频特性受到影响。,3双线性变换方法比较容易，不需要将模拟系统函数进行部分分式分解。,因此，双线性变换法是用得很普遍、并且很有效的一种方法；只是，由于频率的非线性关系会产生相频特性失真，所以若对数字滤波器的相位特性要求较严，则不宜采用这种变换方法。,最后必须强调说明一下用双线性变换法来设计数字滤波器时各种频率之间的关系。我们在考虑一个数字滤波器的频域特性时，所采用的频率变量可以是数字频率,，也可以是模拟频率。模拟角频率,=2,f，f,是以赫兹(,Hz),为单位的真正具有物理意义的频率变量。,与,的关系为,=,T,s,，T,s,为抽样周期。,数字滤波器的频率响应 =，是,的周期函数，以2,为周期；是,的周期函数，周期为,s,=2/T,s,。,上述这些关系与数字滤波器的设计方法无关。如果数字滤波器是用冲激响应不变法设计的，则模拟滤波器的频率变量也就是数字滤波器的模拟频率变量；如果数字滤波器是用双线性变换法来设计的，那末模拟滤波器的频率变量并不是数字滤波器的模拟频率变量。,我们在6.5.2 节中所述的双线性变换法,s,平面与,z,平面的映射关系实际上是被变换的模拟滤波器的复频率,s,与所得到的数字滤波器的复频率,z,之间的关系，(6.85)式中的,也是此模拟滤波器的角频率，并不是数字滤波器的模拟角频率。为了便于区分，应该将(6.85)式中的模拟滤波器角频率用,来表示，即为：；而数字滤波器的数字角频率,与其本身的模拟角频率,之间仍然是上面所述的那种线性关系，即有：,=,T,s,。,