2025-2026学年抚州市数学高一上期末学业水平测试试题含解析.doc

2025-2026学年抚州市数学高一上期末学业水平测试试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于轴对称，则正数的最小值是（）
A. B.
C. D.
2．若角的终边过点，则等于
A. B.
C. D.
3．某学校在数学联赛的成绩中抽取100名学生的笔试成绩，统计后得到如图所示的分布直方图，这100名学生成绩的中位数估值为

A.80 B.82
C.82.5 D.84
4．已知函数的图象，给出以下四个论断
①的图象关于直线对称
②图象的一个对称中心为
③在区间上是减函数
④可由向左平移个单位
以上四个论断中正确的个数为（）
A.3 B.2
C.1 D.0
5．的值为
A. B.
C. D.
6．如果角的终边经过点，则（）
A. B.
C. D.
7．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A B.
C. D.
8．已知函数，，其中，若，，使得成立，则（）
A. B.
C. D.
9．已知某扇形的面积为，圆心角为，则该扇形的半径为（ ）
A.3 B.
C.9 D.
10．将函数图象向左平移个单位后与的图象重合，则（ ）
A. B.
C D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若存在常数k和b，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：和恒成立（或和恒成立），则称此直线为和的“隔离直线”．已知函数，，若函数和之间存在隔离直线，则实数b的取值范围是______
12．如果对任意实数x总成立，那么a的取值范围是____________.
13．已知幂函数f(x)的图象过点(4，2)，则f＝________.
14．角的终边经过点，则的值为______
15．____________
16．函数f（x）＝cos的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式为_______，函数的值域是________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
18．已知函数为奇函数
（1）求实数k值；
（2）设，证明：函数在上是减函数；
（3）若函数，且在上只有一个零点，求实数m的取值范围
19．如图，在棱长为1正方体中：

（1）求异面直线与所成的角的大小；
（2）求三棱锥体积
20．某汽车配件厂拟引进智能机器人来代替人工进行某个操作，以提高运作效率和降低人工成本，已知购买x台机器人的总成本为（万元）
（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？
（2）现按（1）中求得的数量购买机器人，需要安排m人协助机器人，经实验知，每台机器人的日平均工作量（单位：次），已知传统人工每人每日的平均工作量为400次，问引进机器人后，日平均工作量达最大值时，用人数量比引进机器人前工作量达此最大值时的用人数量减少百分之几？
21．已知关于x的不等式对恒成立.
（1）求的取值范围；
（2）当取得最小值时，求的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】图象关于轴对称，则其为偶函数，根据三角函数的奇偶性即可求解.
【详解】将的图象向左平移个单位后得到，
此时图象关于轴对称，则，
则，
当时，取得最小值
故选：A.
2、C
【解析】角终边过点，则，所以.
故选C.
3、B
【解析】中位数的左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值，，中位数为，故选B.
4、B
【解析】利用代入检验法可判断①②③的正误，利用图象变换可判断④的正误.
【详解】，故的图象关于直线对称，故①正确.
，故的图象的对称中心不是，故②错误.
，
当，，而在为减函数，
故在为减函数，故③正确.
向左平移个单位后所得图象对应的解析式为，
当时，此函数的函数值为，而，
故与不是同一函数，故④错误.
故选：B.
5、B
【解析】.
故选B.
6、D
【解析】由三角函数的定义可求得的值.
【详解】由三角函数的定义可得.
故选：D.
【点睛】本题考查利用三角函数的定义求值，考查计算能力，属于基础题.
7、C
【解析】函数为复合函数，先求出函数的定义域为，因为外层函数为减函数，则求内层函数的减区间为，由题意知函数在区间上单调递增，则是的子集，列出关于的不等式组，即可得到答案.
【详解】的定义域为，令，则函数为，外层函数单调递减，由复合函数的单调性为同增异减，要求函数的增区间，即求的减区间，当，单调递减，则 在上单调递增，即是的子集，则.
故选：C.
8、B
【解析】首先已知等式变形为，构造两个函数，，问题可转化为这两个函数的值域之间的包含关系
【详解】∵，，∴，又，∴，
∴由得，，
设，，
则，，，∴的值域是值域的子集
∵，时，，显然，（否则0属于的值域，但）
∴，
∴ (*)
由上讨论知同号，
时，(*)式可化为，∴，，
当时，(*)式可化为，∴，无解
综上：
故选：B
【点睛】本题考查函数恒成立问题，解题关键是掌握转化与化归思想．首先是分离两个变量，然后构造新函数，问题转化为两个函数值域之间的包含关系．其次通过已知关系确定函数值域的形式（或者参数的一个范围），在这个范围解不等式才能非常简单地求解
9、A
【解析】根据扇形面积公式求出半径.
【详解】扇形的面积，解得：
故选：A
10、C
【解析】利用三角函数的图象变换可求得函数的解析式.
【详解】由已知可得.
故选：C.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】由已知可得、恒成立，利用一元二次不等式的解法和基本不等式即可求得实数的取值范围.
【详解】因为函数和之间存在隔离直线，
所以当时，可得对任意的恒成立，
则，即，所以；
当时，对恒成立，即恒成立，
又当时，，当且仅当即时等号成立，
所以，
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
12、
【解析】先利用绝对值三角不等式求出的最小值，进而求出a的取值范围.
【详解】，当且仅当时等号成立，故，所以a的取值范围是.
故答案为：
13、
【解析】根据图象过点的坐标，求得幂函数解析式，再代值求得函数值即可.
【详解】设幂函数为y＝xα(α为常数).
∵函数f(x)的图象过点(4，2)，∴2＝4α，∴α＝，
∴f(x)＝，∴f＝.
故答案为：.
【点睛】本题考查幂函数解析式的求解，以及幂函数函数值的求解，属综合简单题.
14、
【解析】以三角函数定义分别求得的值即可解决.
【详解】由角的终边经过点，可知
则，，
所以
故答案为：
15、
【解析】,故答案为.
考点：对数的运算.
16、 ①. ②.
【解析】由题意利用函数的图象变换规律求得的解析式，可得的解析式，再根据余弦函数的值域，二次函数的性质，求得的值域
【详解】函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，
函数
，，
故当时，取得最大值为；
当时，取得最小值为，
故的值域为，，
故答案为：；，

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、
【解析】根据给定条件可得AÜB，再借助集合的包含关系列式计算作答.
【详解】因“”是“”的充分不必要条件，于是得AÜB，而集合，，
因此，或，解得或，即有，
所以实数a的取值范围为.
18、（1）－1； （2）见解析；
（3）.
【解析】(1)由于为奇函数，可得，即可得出；
(2)利用对数函数的单调性和不等式的性质通过作差即可得出；
(3)利用(2)函数的单调性、指数函数的单调性，以及零点存在性定理即可得出m取值范围
【小问1详解】
为奇函数，
，
即，
，整理得，
使无意义而舍去)
【小问2详解】
由(1)，故，
设，
(a)(b)
时，，，，
(a)(b)，
在上时减函数；
【小问3详解】
由(2)知，h(x)在上单调递减，根据复合函数的单调性可知在递增，
又∵y＝在R上单调递增，
在递增，
在区间上只有一个零点，
(4)(5)≤0，解得.
19、（1）45°；（2）
【解析】（1），则异面直线与所成的角就是与所成的角，从而求得
（2）根据三棱锥的体积进行求解即可
【详解】解：（1）∵，
∴异面直线与所成的角就是与所成的角，即
故异面直线与所成的角为45°
（2）三棱锥的体积
【点睛】本题主要考查了直线与平面之间的位置关系，以及几何体的体积和异面直线所成角等有关知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题
20、（1）8台 （2）
【解析】（1）根据题意将问题转化为对的求解，利用基本不等式即可；
（2）先求出一台机器人的最大日工作量，根据最大工作量再求出所需要的人数，通过比较即可求解.
【小问1详解】
由题意
当且仅当，即时，等号成立，
所以应购买8台，可使每台机器人的平均成本最低
【小问2详解】
由，
可得当时，，
所以时，
每台机器人的日平均工作量最大时，安排的人工数最小为20人，
而此时人工操作需要的人工数为，
所以可减少
21、（1）
（2）
【解析】（1）根据已知条件，利用判别式小于等于零列不等式可得范围；
（2）根据（1）可得，利用转化分母，把正弦和余弦化为正切值，可得答案.
【小问1详解】
关于x的不等式对恒成立，
所以，解得.
【小问2详解】
由（1）可知，由得
.