57离散时间信号和离散时间系统.pptx

第二章离散时间信号和离散时间系统The Analysis of the Discrete Time Signal&System问题：是模拟信号还是数字信号？2.5信号的取样2.5.1 2.5.1 连续时间信号的取样连续时间信号的取样(The Sampling of Continuous(The Sampling of Continuous(The Sampling of Continuous(The Sampling of Continuous Time Signal)Time Signal)Time Signal)Time Signal)如图所示，模拟信号经过取样器，其输出的取样信号为：其中：1.1.理想取样理想取样2.频谱的周期延拓模拟信号 经过取样得到取样信号 ，其频谱为：即其中p(t)的FT为：结结论论：取取样样信信号号的的频频谱谱 是是模模拟拟信信号号的的频频谱谱 的的周期延拓，延拓周期为取样角频率周期延拓，延拓周期为取样角频率 。由左图可知，为使取样后的信号频谱不产生“混叠”，在信号的频带受限的情况下，取取取取样样样样频频频频率率率率应应应应等等等等于于于于或或或或大大大大于于于于信信信信号号号号最最最最高高高高频频频频率率率率的的的的两两两两倍，即：倍，即：倍，即：倍，即：称为奈奎斯特频率，称为奈奎斯特频率，称为折叠频率。称为折叠频率。3.频率归一化频率归一化讨论离散时间信号 的频谱 和取样信号 的频谱 之间的关系。假设离散时间信号 是模拟信号 通过周期性取样得到的，即：取样信号 的频谱为：离散时间信号的FT为则：则有：在 的条件下，离散时间信号 的频谱 与取样信号 的频谱 相等。由于 是 对 归一化的结果，因此可认为离散时间信号的频谱是取样信号的频谱经频率归一化后的结果。综综上上所所述述：离离散散时时间间信信号号的的频频谱谱是是模模拟拟信信号号的的频频谱谱的的周周期期延延拓拓，且且在在频频率率轴轴上上进进行行归归一一化化（对对 归归一一化）。化）。4.信号重建如果取样信号的频谱不存在混叠，则取样信号可以通过一理想低通滤波器后完全重建。让取样信号通过一理想低通滤波器，其特性为：其输出信号的频谱为：输出信号为：结结论论：取取样样信信号号通通过过理理想想LPFLPF后后，完完全全可可以以将将信信号号还还原原，而而不不损损失失任任何何信信息息。由由于于插插值值的的唯唯一一性性，还还原原的信号也是唯一的。的信号也是唯一的。2.5.2离散时间信号的取样（The Sampling The Sampling of Discrete Time Signalof Discrete Time Signal）1.时域表示上式可以看成一个信号调制的过程，即：结论：离散时间序列 的FT 是原序列 的FT 的周期延拓，周期为取样频率 。因此，在离散时间信号取样中，为了不发生频谱混叠失真，取样频率应满足条件：2.频域描述其中：式中，为取样频率，代入上式得：3.序列的恢复在序列 的频谱没有混叠失真的情况下，用一个增益为N，截止频率大于 而小于 的低通滤波器，对 进行滤波，可恢复出原信号 。图中，取低通滤波器的截止频率为 ，其频率特性为：对应的冲激响应为：恢复的序列为：2.5.3离散时间信号的抽取和内插（The The Decimation and Interpolation of the Decimation and Interpolation of the Discrete Time SignalDiscrete Time Signal）1.1.离散时间信号的抽取离散时间信号的抽取/减采样减采样序列取样和序列抽取之间的关系 的FT为：由于在N的整倍数点外的取样值均为0，上式可写成：结论：取样序列 和抽取序列 的频谱只是频率尺度不同。只有进行“过采样”，才允许进一步降低采样率，即进行“减采样”。先在 的每相邻两个序列之间插入N-1个零值，得到序列 ，然后用一个低通滤波器从 得到内插后的序列 。2.离散时间信号的内插/增采样这是抽取的逆过程。如图所示是对序列 增采样得到 的过程。2.6Z变换2.6.1 Z变换的定义序列x(n)的Z变换定义为极坐标形式：式中，z是一个复变量。由上式定义的Z变换称为双边Z变换。另有一种单边Z变换定义1.X(z)是Laurent级数，x(n)是Laurent级数的系数,一般情况下为 有理分式：Z变换的收敛域：使X(z)收敛的z值，一般为某个环域：Z变换的零点：使X(z)=0的z值，在Z平面上用“o”表示；Z变换的极点：使X(z)=的z值，在Z平面上用“x”表示。如图所示为X(z)的收敛域和零极点分布图：2.序列的Z变换与傅里叶变换的关系：当r=1时，则：r=|z|1表示一个单位圆，因此，序列在单位圆上的Z变换等于序列的傅里叶变换。显然，系统的单位取样响应在单位圆上的Z变换就是系统的频率响应。3.当x(n)为实序列时，对于傅里叶变换，有：对于Z变换，有：例：求序列 的Z变换。解：当|az|1，即 时，上列级数收敛，且有2.6.2几种序列的Z变换及其收敛域1.1.有限长序列有限长序列有限长序列是指序列的值在有限长度(n1n2)内不为零，而在长度外都为零的序列，即它的Z变换为：在nlnn2内，X(z)是有限项级数和，只要级数的每一项都有界，有限项的和也就有界。因此，只要|x(n)|，那么，级数X(z)在z平面上除去0和两个特殊点外的整个区域上都是收敛的，即有限长序列的Z变换的收敛域为：当n10时，X(z)无z的正幂项，其收敛域为：当n20时，X(z)无z的负幂项，其收敛域为：因为X(z)为有限项，当X(z)展开时，既有z的正幂项，又有z的负幂项，故z0，z。2.右边序列右边序列是指x(n)在nn1时有非零值，而在nn1时均为零值的序列，即它的Z变换为：该级数的收敛域是以Rx-为半径的圆的外部区域，即右边序列中最重要的一种序列是因果序列，它在n0时有非零值，而在n0时均为零。因果序列的Z变换没有正幂项，因此收敛域可包括，即注意：因果序列的Z变换无正幂项；对于右边序列，如 存在，则该序列为因果序列。n1n2时取值均为零的序列，即它的Z变换为：其收敛域是以Rx+为半径的圆的内部区域，即 。当n20的左边序列称为非因果序列，如下图：4.双边序列双边序列是指n从-到+都有非零值的序列，它可被看做是一个右边序列和一个左边序列的和。因此它的Z变换为X1(Z)和X2(Z)分别是左边序列和右边序列的Z变换。双边序列的Z变换的收敛域是这两个序列的Z变换的收敛域的公共部分，即为一个环域，如图所示：如果Rx+Rx-，则X(Z)的收敛域为：如果Rx+Rx-，则X(z)无收敛域，即Z变换不存在。例：求序列的Z变换及其收敛域。解：该序列为双边序列，其Z变换为这是一个有理分式。可以看出，极点为z1=a和z2=b，零点为z1=0和z2=(a+b)/2，收敛域为一个环域。该例题说明，有理分式Z变换的收敛域以极点为边界(0和也可作为边界)，收敛域内不包含任何极点，但可以包含零点，这才能保证Z变换的解析性。利用这个结论，就能够比较容易地确定在有多个极点情况下的收敛域。一些结论：Z变换一般为有理分式，收敛域以极点的模为边界，可以包含0或；收敛域内可以有零点但一定不包括极点；多个极点存在时，右边序列取最大极点的模，左边序列取最小极点的模为收敛域的边界；双边序列的收敛域在两个极点之间，存在与否由序列参数决定；相同的零极点分别可能对应不同的收敛域，即不同的序列可能有相同的Z变换。2.6.3Z变换的逆变换1.幂级数法Z变换的逆变换是由X(z)求序列x(n)的变换。如果一个Z变换X(z)能表示成幂级数的形式，那么可直接看出序列x(n)是幂级数中的z-n的系数。因此，若能用现有的幂级数公式将X(z)展开，便可很容易地求得x(n)。注意：这种方法只对某些特殊的Z变换有效。例：求Z变换的逆变换。解：利用ln(1+x)的幂级数展开式，得到由收敛域，|a|3 为右边序列，且收敛域包含点，是因果序列。2.部分分式展开法对有理Z变换求逆变换常用的另一种方法是将其展成部分分式，然后求各简单分式的逆变换(可利用教科书47页表2.2中的基本公式)。如果X(z)是两个多项式P(z)和Q(z)的比，设P(z)和Q(z)的阶次分别为M和N。当MN且X(z)只有一阶极点时，则X(z)可以表示成下列形式式中，dk(k=1,2,N)是X(z)的极点。X(z)的收敛域是以最大极点的模为半径的圆的外部区域，即Ak可由极点上的留数求得，即如果MN，则X(z)可展开成如下形式式中，Bn可直接用长除法得到，Ak仍由前式求得。例：求的逆Z变换。解：由|a|z|，则第一项为右边序列，且z=包含在收敛域内，即因果序列，由|z|b|，则第二项为左边序列，且z=0包含在收敛域内，即逆因果序列，3.留数定理法使用柯西积分公式可以方便地导出求逆Z变换的公式，柯西积分公式为：式中，c是反时针方向环绕原点的围线。对Z变换表达式 两边同乘以zk-1，并作围线积分：当n=k时，由柯西积分公式得：该式对正的n和负的n均成立，该式便是逆Z变换计算公式。式中c是X(z)收敛域中反时针方向环绕原点的闭合曲线,n为整数。留数定义：是f(z)在Z0的留数；Cauchy留数定理(Residue Theorem)/积分定理(Integral Theorem)设函数f(z)在区域D内除有效个奇点z1、z2、z3、zn 外处处解析，C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭合曲线，则：设在有限的z平面上，ak(k1,2,N)是X(z)zn-1在围线c内部的极点集，bk(k1,2,M)是X(z)zn-1在c外部的极点集。根据柯西留数定理，有或当X(z)zn-1在z=处有二阶或二阶以上得零点时，即 X(z)zn-1的分母多项式的阶数比分子多项式的阶数高二阶或二阶以上时，无穷远处的留数为零，故有：围线c内的极点一般对应于一个因果序列，而c外的极点对应于一个逆因果序列，因此当n0时使用(2.99)，当n0时使用(2.101)。如果X(z)zn-1是z的有理函数，且z=z0处有s阶极点，即式中，(z)在z=z0处无极点，那么X(z)zn-1在z=z0处的留数可用下式计算特别，当s=1时，有例：求下列Z变换的逆变换解：围线积分的被积函数为当n0时，两个极点z11和z2a都包含在围线c之内应用式(2.99)和(2.104)得当n0时，因为X(z)zn-1在c外无极点，且X(z)zn-1的分母与分子多项式阶数之差为2-n-11-n2(因为，n为负值)，所以应用式(2.101)得最后得：或表示为：2.6.4Z变换的性质与定理1.线性Z变换是一种线性变换，对它可以使用叠加原理。设则线性组合序列ax(n)+by(n)的收敛域是x(n)和y(n)的Z变换的收敛域的重叠部分。一般情况下，收敛域变小。但在组合Z变换可能出现新的零极点抵消的情况时，则收敛域可能增大。如：x(n)=anu(n)-anu(n-N)。anu(n)和anu(n-N)都是无限长的右边序列，它们的z变换都有一个极点在z=a，因此它们各自的收敛域都是|z|a|。然而，在za的极点与在z=a零点相消，因此收敛域除z0外，就引伸至整个z平面。2.序列的移位设则一般情况下，x(n-m)和x(n)的Z变换收敛域相同，只在z=0或z=处有例外。如(n)收敛域为整个Z平面。但(n-1)在z=0处不收敛，(n+1)在z=处不收敛。3.乘以指数an设则此性质可使Z变换的极-零点移动。如果X(z)在z=zl处有极点，则X(a-1z)在z=az1处有极点。在a为正实数的情况下，该性质可被解释为z平面尺度的缩小或扩大，即极点和零点的位置在z平面上沿径向移动；如果a是模为1的复数，则相当于z平面的旋转，即极点和零点的位置沿着以原点为中心的圆周移动。4.序列的折叠设则5.序列的复共轭设则6.X(z)的微分设则例：求下列序列的z变换解：有微分性质和幂指数乘积性质，可得所以7.初值定理对于因果序列x(n)，有对于逆因果序列x(n)，有8.终值定理若x(n)是因果序列，而且X(z)除在z1处可以有一阶极点外，其它极点都在单位圆内，则9.序列的卷积设则W(z)的收敛域为X(z)和Y(z)的收敛域的公共部分，即10.复卷积定理设则式中，c是v平面收敛域中任一条环绕原点的反时针方向的闭合围线，v平面的收敛域为如果x(n)和y(n)都是因果序列，则有Rx+=Ry+=，因此得到11.帕塞瓦尔(Parseval)公式设且则式中，c是X(v)Y*(1/v*)收敛域中环绕原点的反时针方向的围线，在v平面的收敛域由下式确定：Parseval公式的物理意义：在时域中对序列求能量与在频域中对频谱求能量是一致的。当x(n)=y(n)时，有：2.6.5Z变换与拉普拉斯变换的关系1.1.模拟信号、取样信号与离散时间信号的傅里叶变换模拟信号、取样信号与离散时间信号的傅里叶变换的关系的关系取样信号的频谱 是模拟信号频谱 沿轴的周期延拓（周期为取样频率 ）；而离散时间信号的频谱 是取样信号频谱 的频率归一化。2.2.序列的序列的Z Z变换和傅里叶变换的关系变换和傅里叶变换的关系序列在单位圆上的Z变换等于序列的傅里叶变换。3.3.模拟信号模拟信号(连续时间信号连续时间信号)和取样信号的拉氏变换的关系和取样信号的拉氏变换的关系上式两边取LT得：其中：连续时间信号xa(t)经理想取样得到的取样信号 的拉氏变换，是连续时间信号xa(t)的拉氏变换在s平面上沿虚轴的周期延拓。4.取样信号的拉氏变换与离散时间信号的Z变换的关系取样信号的拉氏变换：离散时间信号的Z变换为：由于x(n)=xa(nT)，由上面两式比较可得：上式表明，在zesT的条件下，离散时间信号的Z变换等于取样信号的拉氏变换。设由zesT得：由 可知：当=0时，r=1，S平面的j轴映射成Z平面的单位圆；当0时，r0时，r1，S平面的右半平面映射成Z平面的单位圆外部；由T可知：当=-/T时，有T-，当=0时，有0，当=/T时有=。因此，当从-/T增加到/T时，则由-增加到，即辐角旋转一周，或将整个z平面映射一次。这样，当再增加2/T(一个取样频率)时，则相应地又增加2，即辐角再次旋转一周，或将整个z平面又映射一次。结论：S平面上宽度为2/T的水平带映射成整个Z平面。左半带映射成单位圆内部，右半带映射成单位圆外部，长度为2/T的虚轴映射成单位圆。S平面可分为无穷个宽度为2/T的水平带，可映射成无穷个Z平面，不过这无穷个Z平面重叠在一起。2.7系统函数描述线性非移变系统的方式：线性常系数差分方程、单位取样响应、频率响应描述、系统函数。设x(n)、y(n)和h(n)分别是线性非移变系统的输入、输出和单位取样响应，X(z)、Y(z)和H(z)分别表示相应的Z变换。系统函数定义为它是单位取样响应h(n)的Z变换。1.1.系统函数的定义系统函数的定义线性非移变系统可以用线性常系数差分方程描述：对上式两边求Z变换，利用线性性质和时不变性质，得 因此 可见系统函数的系数也正是其差分方程的系数。2.2.系统函数与系统差分方程的关系系统函数与系统差分方程的关系系统函数还可以进一步分解成：式中，dk)和cr分别表示H(z)在z平面上的极点和零点。这样，系统函数可以用z平面上的极点、零点和常数A来确定。例：根据系统函数求差分方程求该系统的差分方程。为了求满足该系统输入输出的差分方程，可以将H(z)的分子和分母各因式乘开，而得到如下的形式：于是，其差分方程就是已知线性非移变系统稳定的充要条件：当|z|=1时，上式变成这就是系统稳定的充要条件。因此，若系统函数在单位圆上收敛，则系统是稳定的。这也意味着，如果系统函数H(z)的收敛域包括单位圆，则系统是稳定的。反之，如果系统稳定，则系统函数H(z)的收敛域一定也包括单位圆。3.3.系统函数的收敛域与系统的稳定性系统函数的收敛域与系统的稳定性显然，一个稳定的因果系统的系统函数的收敛域应该是 例2.21设一个线性非移变系统的系统函数为试画出极-零点分布图，并确定H(z)的收敛域和稳定性。解对H(z)的分母进行因式分解得 极点为z1=-1/4,z2=-1/2；零点为z1=0,z2=1/2。(1)若收敛域是极点z2=-1/2所在的圆的外部区域，且说明该系统的Z变换没有正幂项，根据z变换的定义式，说明n0时x(n)才有定义，那么系统是因果的。(2)若收敛域选的是极点z1=-1/4所在的圆的内部区域，且那么系统是逆因果的，系统的收敛域为因为收敛域没有包含单位圆，所以系统是不稳定的。(3)若收敛域是极点z1=-1/4与z2=-1/2所在的两个圆之间的环域，即则因为单位圆没有包含在收敛域中，所以系统是不稳定的。系统的收敛域为因为该收敛域包含了单位圆，所以系统是稳定的。说明Z变换没有负幂项，根据z变换的定义式，说明n0时x(n)才有定义，从上例可以看出，因果性和稳定性不一定是互为兼容的。要使输入输出满足标准差分方程的线性时不变系统既因果又稳定，相应系统函数的收敛域必须是位于最外面极点的外面，又包括单位圆。很显然，这就等于要求该系统函数的全部极点都在单位圆内。系统的描述方法小结系统的描述方法小结用系统的数学定义描述：y(n)=Tx(n)用系统的单位取样响应h(n)来描述但并不是每个系统都能写出其单位取样响应。差分方程描述系统需附加初始条件，一些瞬态响应求解困难，系统的频率特性不清楚。系统函数描述系统易于定性分析，了解系统的稳定性，系统的频率特性清楚，但不易分析其瞬态响应。系统的稳定性判别方法系统的稳定性判别方法直接由定义判别：若|x(n)|M，则|y(n)|对于线性非移变系统，可由其单位取样响应绝对可和 或系统函数的收敛域包含单位圆判别。对于因果线性非移变系统，由其系统函数的收敛域或其极点位置判别。2.8全通系统与最小相位系统1.全通系统全通系统幅度响应 恒为常数（通常为1）的系统。一阶全通系统的系统函数具有如下的形式：上式中*表示复共轭。令 ，代入上式可得对该式两边取模，可以发现右边分子和分母因式互为共轭，显然有 。全通系统的特点：输入信号中所有频率分量以恒定的增益或衰减通过该系统。推而广之，具有实值单位冲激响应的全通系统可表示如下：式中A为正常数，dk为实数极点，ek为复数极点。如要全通系统因果且稳定，有 和 。不难看出，全通系统的零极点都是以共轭倒数对出现的。2.全通系统的相位响应全通系统的相位响应一阶全通系统的相位响应如下：对上式求导可以证明，该相位响应是单调递减的，当 从0变化到 时，相位响应 减少 。3.最小相位系统最小相位系统系统函数所有零、极点都在单位圆内的系统。等价条件：最小相位系统存在一个稳定的因果逆系统，即 。最小相位序列：其z变换的所有零极点都在单位圆内。最大相位系统（序列）：z变换的所有零极点都在单位圆外。一个因果系统不一定是最小相位的，但所有稳定的最小相位系统都是因果的。任何系统都可以表示成一个最小相位系统和一个全通系统的级联，即 ，证明略。4.相位延迟和群延迟相位延迟和群延迟考虑信号x(n)经过某一系统延迟了时间m，即为y(n)=x(n-m)，求这一系统的频率响应。对y(n)求DTFT可得 ，可得该系统为 ，那么其相位谱为 ，那么 反映了信号的延迟时间。推而广之，相位延迟定义为：，表示输入频率为 的单一正弦波的延迟时间；群延迟或包络延迟定义为：，表示频率 的邻域内的延迟性质，或者说反映了对某一频率包络的延迟时间。