2025年福建省长泰县一中数学高二上期末达标检测试题含解析.doc

2025年福建省长泰县一中数学高二上期末达标检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知抛物线的焦点为F，直线l经过点F交抛物线C于A，B两点，交抛物浅C的准线于点P，若，则为（）
A.2 B.3
C.4 D.6
2．如图所示，某空间几何体的三视图是3个全等的等腰直角三角形，且直角边长为2，则该空间几何体的体积为（）

A. B.
C. D.
3．已知，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
4．已知向量与向量垂直，则实数x的值为（）
A.﹣1 B.1
C.﹣6 D.6
5．已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则此直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
6．已知圆，过点P的直线l被圆C所截，且截得最长弦的长度与最短弦的长度比值为5∶4，若O为坐标原点，则最大值为（）
A.3 B.4
C.5 D.6
7．已知点在平面内，是平面的一个法向量，则下列各点在平面内的是（ ）
A. B.
C. D.
8．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（）
A. B.
C. D.
9．在x轴与y轴上截距分别为，2的直线的倾斜角为（）
A.45° B.135°
C.90° D.180°
10．如图是抛物线拱形桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，若水面上升，则水面宽是（）（结果精确到）

（参考数值：）
A B.
C. D.
11． “”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件
12．已知函数，则等于（ ）
A.0 B.2
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知球的表面积为,则该球的体积为______.
14．若，，，，与，，，，，，均为等差数列，则______
15．已知函数，若在上是增函数，则实数的取值范围是________
16．若双曲线的渐近线为，则其离心率的值为_______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是(为参数
（1）求直线和曲线的普通方程；
（2）直线与轴交于点，与曲线交于，两点，求
18．（12分）已知圆的圆心为，且圆经过点
（1）求圆的标准方程；
（2）若圆：与圆恰有两条公切线，求实数的取值范围
19．（12分）在实验室中，研究某种动物是否患有某种传染疾病，需要对其血液进行检验．现有份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需要检验n次；二是混合检验，将其中k（且）份血液样本分别取样混合在一起检验，如果检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，那么这k份血液的检验次数共为次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的．且每份样本是阳性结果的概率为
（1）假设有5份血液样本，其中只有2份血液样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检测出来的概率；
（2）假设有4份血液样本，现有以下两种方案：
方案一：4个样本混合在一起检验；
方案二：4个样本平均分为两组，分别混合在一起检验
若检验次数的期望值越小，则方案越优
现将该4份血液样本进行检验，试比较以上两个方案中哪个更优？
20．（12分）已知点，直线：，直线m过点N且与垂直，直线m交圆于两点A，B.
（1）求直线m的方程；
（2）求弦AB的长.
21．（12分）已知数列满足
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在正实数a，使得不等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.
22．（10分）某保险公司根据官方公布的历年营业收入，制成表格如下：
表1
年份
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
年份序号x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
营业收入y（亿元）
0.52
9.36
33.6
132
352
571
912
1207
1682
2135
由表1，得到下面的散点图：

根据已有的函数知识，某同学选用二次函数模型（b和a是待定参数）来拟合y和x的关系.这时，可以对年份序号做变换，即令，得，由表1可得变换后的数据见表2.
表2
T
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
Y
0.52
9.36
33.6
132
352
571
912
1207
1682
2135
（1）根据表中数据，建立y关于t的回归方程（系数精确到个位数）；
（2）根据（1）中得到的回归方程估计2021年的营业收入，以及营业收入首次超过4000亿元的年份.
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
参考数据：.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】由题意可知设,由可得，可求得,，根据模长公式计算即可得出结果.
【详解】由题意可知，准线方程为，设,
可知，

，解得：，代入到抛物线方程可得：.
,
故选:C
2、A
【解析】在该空间几何体的直观图中去求其体积即可.
【详解】依托棱长为2的正方体得到该空间几何体的直观图为三棱锥

则
故选：A
3、D
【解析】根据对数函数的性质和幂函数的单调性可得正确的选项.
【详解】因为，故，故，
又，在上的增函数，故，
故，
故选：D.
4、B
【解析】根据数量积的坐标计算公式代入可得的值
【详解】解：向量，与向量垂直，则，
由数量积的坐标公式可得：，
解得，
故选：
【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，以及数量积的坐标公式，属于基础题
5、D
【解析】求出直线的斜率，利用斜截式可得出直线的方程.
【详解】直线的斜率为，由题意可知，所求直线的方程为.
故选：D.
6、C
【解析】由题意，点P在圆C内，且最长弦的长度为直径长10，则最短弦的长度为8，
进而可得，所以点P的轨迹为以C为圆心，半径为3的圆，从而即可求解.
【详解】解：由题意，圆，所以圆C是以为圆心，半径为5的圆，
因为过点P的直线l被圆C所截，且截得最长弦的长度与最短弦的长度比值为5∶4，
所以点P在圆C内，且最长弦的长度为直径长10，则最短弦的长度为8，
所以由弦长公式有，
所以点P的轨迹为以C为圆心，半径为3的圆，
所以，
故选：C.
7、B
【解析】设平面内的一点为，由可得，进而可得满足的方程，
将选项代入检验即可得正确选项.
【详解】设平面内的一点为(不与点重合)，则，
因为是平面的一个法向量，
所以，所以，
即，
对于A：，故选项A不正确；
对于B：，故选项B正确；
对于C：，故选项C不正确；
对于D：，故选项D不正确，
故选：B.
8、B
【解析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为，可得圆的半径为，写出圆的标准方程，利用点在圆上，求得实数的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离.
【详解】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为，则圆的半径为，
圆的标准方程为.
由题意可得，
可得，解得或，
所以圆心的坐标为或，
圆心到直线的距离均为；
圆心到直线的距离均为
圆心到直线的距离均为；
所以，圆心到直线的距离为.
故选：B.
【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
9、A
【解析】按照斜率公式计算斜率，即可求得倾斜角.
【详解】由题意直线过，设直线斜率为，倾斜角为，
则，故.
故选：A.
10、C
【解析】先建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝my，将点坐标代入抛物线方程求出m，从而可得抛物线方程，再令y＝代入抛物线方程求出x，即可得到答案
【详解】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝my，

由题意，将代入x2＝my，得m＝，所以抛物线的方程为x2＝，
令y＝，解得，
所以水面宽度为2.24×817.9m
故选：C
11、D
【解析】根据充分条件、必要条件的判定方法，结合不等式的性质，即可求解.
【详解】由，可得，即，
当时，，但的符号不确定，所以充分性不成立；
反之当时，也不一定成立，所以必要性不成立，
所以是的即不充分也不必要条件.
故选：D.
12、D
【解析】先通过诱导公式将函数化简，进而求出导函数，然后算出答案.
【详解】由题意，，
故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】设球半径为，由球表面积求出，然后可得球的体积
【详解】设球半径为，
∵球的表面积为，
∴，
∴，
∴该球的体积为
故答案为
【点睛】解答本题的关键是熟记球的表面积和体积公式，解题时由条件求得球的半径后可得所求结果
14、##
【解析】由题意利用等差数列的定义和通项公式，求得要求式子的值
【详解】设等差数列，，，，的公差为，
等差数列，，，，，，的公差为，
则有，且，
所以，
则，
故答案为：
15、
【解析】根据函数在上是增函数，分段函数在整个定义域内单调，则在每个函数内单调，注意衔接点的函数值.
【详解】解：因为函数在上是增函数，
所以在区间上是增函数且在区间上也是增函数，
对于函数在上是增函数，
则；①
对于函数，
（1）当时，，
外函数为定义域内的减函数，
内函数在上是增函数，
根据复合函数“同增异减”可得时函数在区间上是减函数，不符合题意，故舍去，
（2）当时，
外函数为定义域内的增函数，要使函数在区间上是增函数，
则内函数在上也是增函数，
且对数函数真数大于0，即在上也要恒成立，
所以，
又，所以，②
又在上是增函数则在衔接点处函数值应满足：
，
化简得，③
由①②③得，，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：利用单调性求参数方法如下：
（1）依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；
（2）需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；
（3）分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值
16、
【解析】利用渐近线斜率为和双曲线的关系可构造关于的齐次方程，进而求得结果.
【详解】由渐近线方程可知：，即，，
，（负值舍掉）.
故答案为：.
【点睛】本题考查根据双曲线渐近线方程求解离心率的问题，关键是利用渐进线的斜率构造关于的齐次方程.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），
（2）4
【解析】（1）根据，即可将直线的极坐标方程转化为普通方程；消参数，即可求出曲线的普通方程；
（2）由题意易知，求出直线的参数方程，将其代入曲线的普通方程，利用一元二次方程根和系数关系式的应用，即可求出结果
【小问1详解】
解：直线极坐标方程为，
即，
又，可得的普通方程为，
曲线的参数方程是(为参数，消参数，
所以曲线的普通方程为
【小问2详解】
解：在中令得，
，倾斜角，
的参数方程可设为，即（为参数），将其代入，
得，，
设，对应的参数分别为，，则，，
，异号，.
18、（1）；
（2）.
【解析】(1)根据给定条件求出圆C的半径，再直接写出方程作答.
(2)由给定条件可得圆C与圆O相交，由此列出不等式求解作答.
【小问1详解】
依题意，圆C的半径，
所以圆的标准方程是：.
【小问2详解】
圆：的圆心，半径为，
因圆与圆恰有两条公切线，则有圆O与圆C相交，即，而，
因此有，解得，
所以实数的取值范围是.
19、（1）
（2）方案一更优
【解析】（1）分两类，由古典概型可得;
（2）分别求出两种方案的数学期望，然后比较可知.
【小问1详解】
恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检测出来分为两种情况：
第一种：前两次检测中出现一次阳性一次阴性且第三次为阳性

第二种：前三次检测均阴性，所以概率为
【小问2详解】
方案一：混在一起检验，记检验次数为X，则X的取值范围是，
，，
方案二：每组的两个样本混合在一起检验，
若结果呈阴性，则检验次数为1，其概率为，
若结果呈阳性，则检验次数为3，其概率为
设检验次数为随机变量Y，则Y的取值范围是，
，，
，，
所以，方案一更优
20、（1）
（2）
【解析】（1）求出斜率，用点斜式求直线方程；
（2）利用垂径定理求弦长.
【小问1详解】
因为直线：，所以直线的斜率为.
因为直线m过点N且与垂直，所以直线的斜率为，
又过点，所以直线：，即
【小问2详解】
直线与圆相交，则圆心到直线的距离为：，
圆的半径为，所以弦长
21、（1）
（2）
【解析】（1）通过构造新数列求解；
（2）由（1）得，再研究其单调性，从而得到最值，再解不等式即可求解.
【小问1详解】
由，假设其变形为，则有，所以，又.
所以，即.
【小问2详解】
由（1），
所以，
令，则，
所以，所以是递减数列，
所以，
所以使得不等式对一切正整数n都成立，
则，即，
因为为正实数，所以.
22、（1）；（2）估计2021年的营业收入约为2518亿元，估计营业收入首次超过4000亿元的年份为2024年.
【解析】（1）根据的公式，将题干中的数据代入，即得解；
（2）代入，可估计2021年的营业收入；令，可求解的范围，继而得到的范围，即得解
【详解】（1），
，
故回归方程为.
（2）2021年对应的t的值为121，营业收入，
所以估计2021年的营业收入约为2518亿元.
依题意有，解得，故.
因为，
所以估计营业收入首次超过4000亿元的年份序号为14，即2024年.