2026届吉林省吉林市三校联考高一上数学期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

2026届吉林省吉林市三校联考高一上数学期末学业质量监测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．正方形中，点，分别是，的中点，那么
A. B.
C. D.
2．函数，则的大致图象是（）
A. B.
C. D.
3．已知，，则在方向上的投影为（）
A. B.
C. D.
4．已知函数在上是增函数，则的取值范围是（）
A.， B.，
C.， D.，
5．图1是南北方向、水平放置的圭表（一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成）示意图，其中表高为h，日影长为l.图2是地球轴截面的示意图，虚线表示点A处的水平面.已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻（太阳直射点的纬度为南纬）在某地利用一表高为的圭表按图1方式放置后，测得日影长为，则该地的纬度约为北纬（）（参考数据：，）

A. B.
C. D.
6．下列四个命题:①三点确定一个平面;②一条直线和一个点确定一个平面;③若四点不共面,则每三点一定不共线;④三条平行直线确定三个平面.其中正确有
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
7．将函数的图像向右平移个单位后得到的图像关于直线对称，则的最小正值为
A. B.
C. D.
8．等边三角形ABC的边长为1，则（）
A. B.
C. D.
9．最小正周期为，且在区间上单调递增的函数是（）
A.y = sinx + cosx B.y = sinx - cosx
C.y = sinxcosx D.y =
10．关于的不等式的解集为，且，则（）
A.3 B.
C.2 D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在用二分法求方程的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可以断定该根所在区间为___________.
12．直线与直线的距离是__________
13．已知函数，若，则______.
14．已知角的终边过点，则__________
15．已知函数，若，则___________；若存在，满足，则的取值范围是___________.
16．设向量不平行，向量与平行，则实数_________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知为奇函数，为偶函数，且.
（1）求及的解析式及定义域；
（2）如果函数，若函数有两个零点，求实数的取值范围.
18．（1）计算：.
（2）化简：.
19．在国家大力发展新能源汽车产业政策下，我国新能源汽车的产销量高速增长．某地区年底新能源汽车保有量为辆，年底新能源汽车保有量为辆，年底新能源汽车保有量为辆
（1）根据以上数据，试从（，且），，（，且），三种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势（不必说明理由），设从年底起经过年后新能源汽车保有量为辆，求出新能源汽车保有量关于的函数关系式；
（2）假设每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，且传统能源汽车保有量每年下降的百分比相同，年底该地区传统能源汽车保有量为辆，预计到年底传统能源汽车保有量将下降．试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量．（参考数据：，）
20．有三个条件：①；②且；③最小值为2且.从这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知二次函数满足_________，.
（1）求的解析式；
（2）设函数，求的值域.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
21．设函数.
（1）求关于的不等式的解集；
（2）若是偶函数，且，，，求的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】由题意点，分别是，中点，求出，，然后求出向量即得
【详解】解：因为点是的中点，所以，
点得是的中点，所以，
所以，
故选：
【点睛】本题考查向量加减混合运算及其几何意义，注意中点关系与向量的方向，考查基本知识的应用。属于基础题。
2、D
【解析】判断奇偶性，再利用函数值的正负排除三个错误选项，得正确结论
【详解】，为偶函数，排除BC，
又时，，时，，排除A，
故选：D
3、A
【解析】利用向量数量积的几何意义以及向量数量积的坐标表示即可求解.
【详解】，，
在方向上的投影为：
.
故选：A
【点睛】本题考查了向量数量积的几何意义以及向量数量积的坐标表示，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
4、D
【解析】先根据题意建立不等式组，再求解出，最后给出选项即可.
【详解】解：因为函数在上是增函数，
所以，解得，则
故选：D.
【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数范围，是基础题
5、B
【解析】由题意有，可得，从而可得
【详解】由图1可得，又，
所以，所以，

所以，
该地的纬度约为北纬，
故选：
6、A
【解析】利用三个公理及其推论逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对于①，三个不共线的点可以确定一个平面，所以①不正确；
对于②，一条直线和直线外一点可以确定一个平面，所以②不正确；
对于③，若三点共线了，四点一定共面，所以③正确；
对于④，当三条平行线共面时，只能确定一个平面，所以④不正确.
故选：A.
7、C
【解析】函数，将其图像向右平移个单位后得到
∵这个图像关于直线对称
∴，即
∴当时取最小正值为
故选C
点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.
8、A
【解析】直接利用向量的数量积定义进行运算，即可得到答案；
详解】，
故选：A
9、B
【解析】选项、先利用辅助角公式恒等变形，再利用正弦函数图像的性质判断周期和单调递增区间即可，选项先利用二倍角的正弦公式恒等变形，再利用正弦函数图像的性质判断周期和单调递增区间即可，选项直接利用正切函数图象的性质去判断即可.
【详解】对于选项,，最小正周期为,
单调递增区间为，即，
该函数在上单调递增，则选项错误；
对于选项,，最小正周期为,
单调递增区间为，即，
该函数在上为单调递增，则选项正确；
对于选项,，最小正周期为,
单调递增区间为，即，
该函数在上为单调递增，则选项错误；
对于选项,，最小正周期为,在为单调递增，则选项错误；
故选：.
10、A
【解析】根据一元二次不等式与解集之间的关系可得、，结合
计算即可.
【详解】由不等式的解集为，
得，不等式对应的一元二次方程为，
方程的解为，由韦达定理，得，，
因为，所以，
即，整理，得.
故选：A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据二分法，取区间中点值，而，，所以，故判定根区间
考点：二分法
【方法点睛】本题主要考察了二分法，属于基础题型，对于零点所在区间的问题，不管怎么考察，基本都要判断端点函数值的正负，如果异号，那零点必在此区间，如果是几个零点，还要判定此区间的单调性，这个题考查的是二分法，所以要算区间的中点值，和两个端点值的符号，看是否异号．零点肯定在异号的区间
12、
【解析】
13、16或-2
【解析】讨论和两种情况讨论，解方程，求的值.
【详解】当时，，成立，
当时，，成立，
所以或.
故答案为：或
14、
【解析】∵角的终边过点（3，-4），∴x=3，y=-4，r=5，∴cos=
故答案为
15、 ①. ②.
【解析】若，则，然后分、两种情况求出的值即可；画出的图象，若存在，满足，则，其中，然后可得，然后可求出答案.
【详解】因为，所以
若，则，
当时，，解得，满足
当时，，解得，不满足
所以若，则
的图象如下：

若存在，满足，则，其中
所以
因为，所以，，所以
故答案为：；
16、-2
【解析】因为向量与平行，
所以存在，使，
所以， 解得
答案：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），
（2）
【解析】（1）根据是奇函数，是偶函数，结合，以取代入上式得到，联立求解；
（2）易得，，设，转化为，，根据时，与有两个交点，转化为函数，在有一个零点求解.
【小问1详解】
解：因为是奇函数，是偶函数，
所以，，
∵，①
∴令取代入上式得，
即，②
联立①②可得，，

【小问2详解】
，，，可得，
∴，.
设，
∴，，
∵当时，与有两个交点，
要使函数有两个零点，
即使得函数，在有一个零点，（时，只有一个零点）
即方程在内只有一个实根，∵，
令，则使即可，∴或.
∴的取值范围.
18、（1）；（2）
【解析】（1）根据分数指数幂及对数的运算法则计算可得；
（2）利用诱导公式及特殊值的三角函数值计算可得；
【详解】解：（1）

（2）

19、（1）应选择的函数模型是（，且），函数关系式为；
（2）年底.
【解析】（1）根据题中的数据可得出所选的函数模型，然后将对应点的坐标代入函数解析式，求出参数的值，即可得出函数解析式；
（2）设传统能源汽车保有量每年下降的百分比为，根据题意求出的值，可得出设从年底起经过年后的传统能源汽车保有量关于的函数关系式，根据题意得出关于的不等式，解之即可.
【小问1详解】
解：根据该地区新能源汽车保有量的增长趋势知，应选择的函数模型是
（，且），
由题意得，解得，所以.
【小问2详解】
解：设传统能源汽车保有量每年下降的百分比为，
依题意得，，解得，
设从年底起经过年后的传统能源汽车保有量为辆，
则有，
设从年底起经过年后新能源汽车的数量将超过传统能源汽车，则有

化简得，所以，
解得，
故从年底起经过年后，即年底新能源汽车的数量将超过传统能源汽车.
20、（1）；（2）.
【解析】（1）若选择①，设代入，根据恒等式的思想可求得，得到的解析式；
若选择②，设由，得，由，得出二次函数的对称轴即，再代入，解之可得的解析式；
若选择③，设由，得，又恒成立，又，得出二次函数的对称轴解之即可；
（2）由（1）知，根据二次函数的对称轴分析出上的单调性，可求得的值域.
【详解】解：（1）若选择①，设则
又因为即
解得，又，所以解得，所以的解析式为；
若选择②，设由，得，
又，所以二次函数的对称轴即，
又，所以解得
所以的解析式为；
若选择③，设由，得，又恒成立，又，所以二次函数的对称轴即，且解得
所以的解析式为；
（2）由（1）知，所以，因为对称轴所以在上单调递减，在上单调递增，
故在上的值域为.
【点睛】方法点睛：求函数解析式的方法：
一．换元法：已知复合函数的解析式，求原函数的解析式，把看成一个整体t，进行换元，从而求出的方法，注意所换元的定义域的变化.
二．配凑法：使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错.
三．待定系数法：己知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据己知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式的方法.
四．消去法(方程组法)：方程组法求解析式的关键是根据己知方程中式子的特点，构造另一个方程.
五．特殊值法：根据抽象函数的解析式的特征，进行对变量赋特殊值.
21、（1）当时，；当时，；当时，
（2）
【解析】（1）分类讨论，解含参一元二次不等式；（2）先根据是偶函数，得到，再，，转化为在上的最小值小于在上的最小值，进行求解.
【小问1详解】
，令，解得或
当时，，的解集是；
当时，，的解集是；
当时，，的解集是.
【小问2详解】
因为是偶函数，所以，解得：.
设函数，因为在上单调递增，所以.
设函数.
当时，在上单调递增，则，
故，即，结合得：；
当时，在上单调递减，则，
故，即，结合得：
综上，的取值范围为