2026届江门市重点中学数学高一第一学期期末联考试题含解析.doc

2026届江门市重点中学数学高一第一学期期末联考试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．下列关于向量的叙述中正确的是（）
A.单位向量都相等
B.若，，则
C.已知非零向量，，若，则
D.若，且，则
2．方程的解所在区间是（ ）
A. B.
C. D.
3． “”是“为第二象限角”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4．设集合，若，则a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
5．已知命题，则p的否定为（）
A. B.
C. D.
6．已知函数的图象关于直线对称，且，则的最小值为 （ ）
A. B.
C. D.
7．在某次测量中得到的样本数据如下：.若样本数据恰好是样本数据都加2后所得数据，则两样本的下列数字特征对应相同的是（）
A.众数 B.平均数
C.标准差 D.中位数
8．圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0的半径为（ ）
A.1 B.
C.2 D.4
9．设函数f（x）=asinx+bcosx，其中a，b∈R，ab≠0，若f（x）≥f（）对一切x∈R恒成立，则下列结论中正确的是（　　）
A.
B.点是函数的一个对称中心
C.在上是增函数
D.存在直线经过点且与函数的图象有无数多个交点
10．若直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程是
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若，，且，则的最小值为__________
12．已知幂函数的图象经过点，则___________.
13．角的终边经过点，则的值为______
14．若函数在区间上单调递减，在上单调递增，则实数的取值范围是_________
15．tan22°+tan23°+tan22°tan23°=_______
16．正三棱柱的侧面展开图是边长为6和12的矩形，则该正三棱柱的体积是_____.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在中，已知，，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：
顶点C的坐标； 
直线MN的方程
18．设函数的定义域为，函数的定义域为.
（1）求；
（2）若，且函数在上递减，求的取值范围.
19．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2-12x+32=0的圆心为Q，过点P（0，2）且斜率为k的直线l与圆Q相交于不同的两点A，B，记AB的中点为E
（Ⅰ）若AB的长等于，求直线l的方程；
（Ⅱ）是否存在常数k，使得OE∥PQ？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由
20．如图，已知平面，四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，.

（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.
21．已知集合A＝{x|}，B＝{x||x－a|＜2}，其中a＞0且a≠1
（1）当a＝2时，求A∪B及A∩B；
（2）若集合C＝{x|logax＜0}且C⊆B，求a的取值范围
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】A选项：单位向量方向不一定相同，故A错误；B选项：当时，与不一定共线，故B错误；C选项：两边平方可得，故C正确；D选项：举特殊向量可知D错误.
【详解】A选项：因为单位向量既有大小又有方向，但是单位向量方向不一定相同，故A错误；
B选项：当时，，，但与不一定共线，故B错误；
C选项：对两边平方得，，所以，故C正确；
D选项：比如：，，，所以，，所以，但，故D错误.
故选：C.
2、C
【解析】判断所给选项中的区间的两个端点的函数值的积的正负性即可选出正确答案.
【详解】∵,
∴,,，,∴,
∵函数的图象是连续的,
∴函数的零点所在的区间是.
故选C
【点睛】本题考查了根据零存在原理判断方程的解所在的区间,考查了数学运算能力.
3、B
【解析】利用辅助角公式及正弦函数的性质解三角形不等式，再根据集合的包含关系判断充分条件、必要条件即可；
【详解】解：由，即，所以，，解得，，即，又第二象限角为，因为真包含于，所以“”是“为第二象限角”的必要不充分条件；
故选：B
4、D
【解析】根据，由集合A，B有公共元素求解.
【详解】集合，
因为，
所以集合A，B有公共元素，
所以
故选：D
5、D
【解析】全称命题的否定为存在命题，利用相关定义进行判断即可
【详解】全称命题的否定为存在命题，
命题，
则为.
故选：D
6、D
【解析】由辅助角公式可得，由函数关于直线对称，可得，可取．从而可得，由此结合，可得一个最大值一个最小值，从而可得结果.
【详解】，
，
函数关于直线对称，
，
即，，故可取
故，，
即可得：
，
故可令，，
，，即，，其中，，
，
故选D
【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用、三角函数的最值、三角函数的对称性，转化与划归思想的应用，属于难题.由函数可求得函数的周期为；由可得对称轴方程；由可得对称中心横坐标.
7、C
【解析】分别求两个样本的数字特征，再判断选项.
【详解】A样本数据是：，
样本数据是：，
A样本的众数是48，B样本的众数是50，故A错；
A样本的平均数是，
B样本的平均数是，故B错；
A样本的标准差
B样本的标准差，
，故C正确；
A样本的中位数是，B样本的中位数是，故D错.
故选：C
8、C
【解析】将圆的方程化为标准方程即可得圆的半径.
【详解】由圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0化为标准方程有：
，
所以圆的半径为2.
故选：C
【点睛】本题考查圆的一般方程与标准方程的互化，并由此得出圆的半径大小，属于基础题.
9、D
【解析】根据f（x）≥f（）对一切x∈R恒成立，那么x=取得最小值．结合周期判断各选项即可
【详解】函数f（x）=asinx+bcosx= 周期T=2π
由题意x=取得最小值，a，b∈R，ab≠0，∴f（）=0不正确；x=取得最小值，那么+=就是相邻的对称中心，∴点（,0）不是函数f（x）的一个对称中心；因为x=取得最小值，根据正弦函数的性质可知，f（x）在是减函数
故选D
【点睛】本题考查三角函数的性质应用，排除法求解，考查转化思想以及计算能力
10、B
【解析】直线l的斜率等于tan45°=1，
由点斜式求得直线l的方程为y-0=，
即
故选：B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、##
【解析】运用均值不等式中“1”的妙用即可求解.
【详解】解：因为，，且，
所以，当且仅当时等号成立，
故答案为：.
12、##
【解析】根据题意得到，求出的值，进而代入数据即可求出结果.
【详解】由题意可知，即，所以，即，所以，
因此，
故答案为：.
13、
【解析】以三角函数定义分别求得的值即可解决.
【详解】由角的终边经过点，可知
则，，
所以
故答案为：
14、
【解析】反比例函数在区间上单调递减，要使函数在区间上单调递减，则，还要满足在上单调递增，故求出结果
【详解】函数
根据反比例函数的性质可得：在区间上单调递减
要使函数在区间上单调递减，则
函数在上单调递增
则，解得
故实数的取值范围是
【点睛】本题主要考查了函数单调性的性质，需要注意反比例函数在每个象限内是单调递减的，而在定义域内不是单调递减的
15、1
【解析】解：因为tan22°+tan23°+tan22°tan23°=tan(22°+23°)(1- tan22°tan23°)+ tan22°tan23°=tan45°=1
16、或
【解析】分两种情况来找三棱柱的底面积和高，再代入体积计算公式即可
【详解】因为正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和12的矩形，所以有以下两种情况，
①6是下底面的周长，12是三棱柱的高，此时，下底面的边长为2，面积为，所以正三
棱柱的体积为12
②12是下底面的周长，6是三棱柱的高，此时，下底面的边长为4，面积为，所以正三
棱柱的体积为24，
故答案为或
【点睛】本题的易错点在于只求一种情况，应该注意考虑问题的全面性．分类讨论是高中数学的常考
思想，在运用分类讨论思想做题时，要做到不重不漏

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】（1）边AC中点M在y轴上，由中点公式得，A，C两点的横坐标和的平均数为0，同理，B，C两点的纵坐标和的平均数为0．构造方程易得C点的坐标
（2）根据C点的坐标，结合中点公式，我们可求出M，N两点的坐标，代入两点式即可求出直线MN的方程
解：（1）设点C（x，y），
∵边AC的中点M在y轴上得=0，
∵边BC的中点N在x轴上得=0，
解得x=﹣5，y=﹣3
故所求点C的坐标是（﹣5，﹣3）
（2）点M的坐标是（0，﹣），
点N的坐标是（1，0），
直线MN的方程是=，
即5x﹣2y﹣5=0
点评：在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况
18、（1）；（2）.
【解析】（1）先求出集合，，然后由补集和并集的定义求解即可；
（2）先利用交集求出集合，然后利用二次函数的单调性分析求解即可
【详解】解：（1）由得，∴，
由得，∴，
∴，∴.
（2）∵，，∴.
由在上递减，得，即，∴.
19、（Ⅰ）y=-+2或y=-x+2；（Ⅱ）不存在实数满足题意
【解析】（Ⅰ） 待定系数法，设出直线，再根据已知条件列式，解出即可；
（Ⅱ） 假设存在常数，将转化斜率相等，联立直线与圆，根据韦达定理，由直线与圆相交可求得范围．由斜率相等可求得的值，从而可判断结论
【详解】（Ⅰ）圆Q的方程可写成（x-6）2+y2=4，所以圆心为Q（6，0）
设过P（0，2）且斜率为k的直线方程为y=kx+2
∵|AB|=，∴圆心Q到直线l的距离d==，
∴=，即22k2+15k+2=0，解得k=-或k=-
所以，满足题意的直线l方程为y=-+2或y=-x+2
（Ⅱ）将直线l的方程y=x+2代入圆方程得x2+（kx+2）2-12x+32=0
整理得（1+k2）x2+4（k-3）x+36=0.　　①
直线与圆交于两个不同的点A，B等价于
△=[4（k-3）2]-4×36（1+k2）=42（-8k2-6k）＞0，
解得-＜k＜0，即k的取值范围为（-，0）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则AB的中点E（x0，y0）满足
x0==-，y0=kx0+2=
∵kPQ==-，kOE==-，
要使OE∥PQ，必须使kOE=kPQ=-，解得k=-，
但是k∈（-，0），故没有符合题意的常数k
【点睛】本题考查了圆的标准方程及弦长计算,还考查了直线与圆相交知识，直线平行知识，中点坐标公式，韦达定理的应用，考查了转化思想，属中档题
20、（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）先证明AC⊥BE,再取的中点，连接，经计算，利用勾股定理逆定理得到AC⊥BC,然后利用线面垂直的判定定理证得结论；
（2）利用线面垂直的判定定理证得CM⊥平面BEF,即为所求三棱锥的高，进而计算得到其体积.
【详解】解：（1）证明：∵四边形为矩形∴
∵平面∴平面
∵平面∴.
如图，取的中点，连接，

∴
∵，，
∴四边形是正方形.
∴∴，
∵∴∴是直角三角形∴.
∵，、平面
∴平面
（2）由（1）知：
∵平面，平面∴
∵，、平面
∴平面，∴平面
即：是三棱锥的高
∴
【点睛】本题考查线面垂直的证明，棱锥的体积的计算，属基础题.在利用线面垂直的判定定理证明线面垂直时一定要将条件表述全面，“两个垂直，一个相交”不可缺少.
21、（1）A∪B＝{x|x＞0}，A∩B＝{x|2＜x＜4}；
（2）{a|1＜a≤2},
【解析】（1）化简集合A，B，利用并集及交集的概念运算即得；
（2）分a＞1，0＜a＜1讨论，利用条件列出不等式即得.
【小问1详解】
∵A＝{x|2x＞4}＝{x|x＞2}，B＝{x||x－a|＜2}＝{x|a－2＜x＜a+2}，
∴当a＝2时，B＝{x|0＜x＜4}，
所以A∪B＝{x | x＞0}，A∩B＝{x |2＜x＜4}；
【小问2详解】
当a＞1时，C＝{x|logax＜0}＝{x|0＜x＜1}，
因为C⊆B，所以，解得－1≤ a ≤2，
因为a ＞1，此时1＜a ≤2，
当0＜a＜1时，C＝{x|logax＜0}＝{x|x＞1}，此时不满足C⊆B，
综上，a 的取值范围为{a|1＜a≤2}