2025年河南省郑州一中数学高一上期末监测模拟试题含解析.doc

2025年河南省郑州一中数学高一上期末监测模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．下列不等式中成立的是（）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
2．函数与的图象（ ）
A.关于轴对称 B.关于轴对称
C.关于原点对称 D.关于直线轴对称
3．下列各组函数中，表示为同一个函数的是　　
A.与 B.与
C.与 D.与且
4．若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（）
A. B.
C. D.
5．已知函数，且，，，则的值
A.恒为正 B.恒为负
C.恒为0 D.无法确定
6．在平面直角坐标系中，直线的斜率是（）
A. B.
C. D.
7．将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移个单位，得到的图像对应的解析式为（）
A. B.
C. D.
8．已知幂函数的图象过点，则的定义域为（）
A.R B.
C. D.
9．若，则错误的是
A. B.
C. D.
10．下列命题中不正确的是（ ）
A.一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数
B.数据6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的分位数为5
C.若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是乙
D.为调查学生每天平均阅读时间，某中学从在校学生中，利用分层抽样的方法抽取初中生20人，高中生10人．经调查，这20名初中生每天平均阅读时间为60分钟，这10名高中生每天平均阅读时间为90分钟，那么被抽中的30名学生每天平均阅读时间为70分钟
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数，R的图象与轴无公共点，求实数的取值范围是_________.
12．若，，且，则的最小值为__________
13．下列命题中正确的是__________．（填上所有正确命题的序号）
①若，，则； ②若，，则；
③若，，则； ④若，，，，则
14．已知向量，，，，则与夹角的余弦值为______
15．已知函数，，对，用表示，中的较大者，记为，则的最小值为______.
16．随机抽取100名年龄在[10，20），[20，30），…，[50，60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示.从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取12人，则在[50，60）年龄段抽取的人数为______.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在区间上的最小值和最大值.
18．已知函数的图象在定义域上连续不断.若存在常数，使得对于任意的，恒成立，称函数满足性质.
（1）若满足性质，且，求的值；
（2）若，试说明至少存在两个不等的正数，同时使得函数满足性质和.（参考数据：）
（3）若函数满足性质，求证：函数存在零点.
19．求下列各式的值：
（1）；
（2）
20．在①f (x)是偶函数；②是f (x)的图象在y轴右侧的第一个对称中心；③f (x)相邻两条对称轴之间距离为.这三个条件中任选两个，补充在下面问题的横线上，并解答.
已知函数f (x) = sin(x +)(> 0，0 <<π)，满足________.
（1）求函数f (x)的解析式；
（2）将函数y = f (x)图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作y = g(x)；若函数F (x) = f (x) + kg(x)在(0，nπ)内恰有2021个零点，求实数k与正整数n的值.
21．牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度之间的函数关系是（且），若牛奶放在0℃的冰箱中，保鲜时间是200小时，而在1℃的温度下则是160小时，而在2℃的温度下则是128小时.
（1）写出保鲜时间关于储藏温度（℃）的函数解析式；
（2）利用（1）的结论，若设置储藏温度为3℃的情况下，某人储藏一瓶牛奶的时间为90至100小时之间，则这瓶牛奶能否正常饮用？（说明理由）
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】A，如时，，所以该选项错误；BCD，利用作差法比较大小分析得解.
【详解】A.若，则错误，如时，，所以该选项错误；
B.若，则，所以该选项正确；
C.若，则，所以该选项错误；
D.若，则，所以该选项错误.
故选：B
2、D
【解析】函数与互为反函数，然后可得答案.
【详解】函数与互为反函数，它们的图象关于直线轴对称
故选：D
3、D
【解析】A，B两选项定义域不同，C选项对应法则不同，D选项定义域和对应法则均相同，即可得选项.
【详解】A.，，两个函数的定义域不同，不是同一函数，
B.，，两个函数的定义域不同，不是同一函数，
C.，两个的对应法则不相同，不是同一函数
D.，，两个函数的定义域和对应法则相同是相同函数，
故选D
【点睛】此题是个基础题．本题考查函数的三要素：定义域、值域、对应关系，相同的函数必然具有相同的定义域、值域、对应关系．要使数与的同一函数，必须满足定义域和对应法则完全相同即可，注意分析各个选项中的个函数的定义域和对应法则是否相同，通常的先后顺序为先比较定义域是否相同，其次看对应关系或值域..
4、A
【解析】根据奇偶性，可得在上单调递增，且，根据的奇偶性及单调性，可得，根据一元二次不等式的解法，即可得答案.
【详解】由题意得在上单调递增，且，
因为，
所以，解得，
所以不等式的解集是.
故选：A
5、A
【解析】根据题意可得函数是奇函数，且在上单调递增．然后由，
可得，结合单调性可得，所以，以上三式两边分别相加后可得结论
【详解】由题意得，
当时，，于是
同理当时，可得，
又，
所以函数是上的奇函数
又根据函数单调性判定方法可得在上为增函数
由，
可得，
所以，
所以，
以上三式两边分别相加可得，
故选A.
【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断及应用，考查函数性质的应用，具有一定的综合性和难度，解题的关键是结合题意得到函数的性质，然后根据单调性得到不等式，再根据不等式的知识得到所求
6、A
【解析】将直线转化成斜截式方程，即得得出斜率.
【详解】解：由题得，原式可化为，斜率.
故选：A.
7、B
【解析】由三角函数的平移变换即可得出答案.
【详解】函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得，再将所得的图象向左平移个单位可得
故选：B.
8、C
【解析】设，点代入即可求得幂函数解析式，进而可求得定义域.
【详解】设，因为的图象过点，
所以，解得，则，
故的定义域为
故选：C
9、D
【解析】对于，由，则，故正确；对于，，故正确；对于，，故正确；对于，，故错误
故选D
10、A
【解析】由中位数以及众数判断A；由百分位数的定义计算判断B；计算乙组数据的方差判断C；计算被抽中的30名学生每天平均阅读时间从而判断D.
【详解】对于A，中位数为和众数相等，故A错误；
对于B，将该组数据从小到大排列为，，则该组数据的分位数为5，故B正确；
对于C，乙组数据，方差为，则这两组数据中较稳定的是乙，故C正确；
对于D，被抽中的30名学生每天平均阅读时间为，故D正确；
故选：A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】令＝t＞0，则g(t)＝>0对t＞0恒成立，即对t＞0恒成立，再由基本不等式求出的最大值即可.
【详解】，R，
令＝t＞0，则f(x)＝g(t)＝，
由题可知g(t)在t＞0时与横轴无公共点，
则对t＞0恒成立，
即对t＞0恒成立，
∵，当且仅当，即时，等号成立，
∴，
∴.
故答案为：.
12、##
【解析】运用均值不等式中“1”的妙用即可求解.
【详解】解：因为，，且，
所以，当且仅当时等号成立，
故答案为：.
13、③
【解析】对于①，若，，则与可能异面、平行，故①错误；对于②，若，，则与可能平行、相交，故②错误；对于③，若，，则根据线面垂直的性质，可知，故③正确；对于④，根据面面平行的判定定理可知，还需添加相交，故④错误，故答案为③.
【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定与性质、面面平行的性质及线面垂直的性质，属于难题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.
14、
【解析】运用平面向量的夹角公式可解决此问题．
【详解】根据题意得，，
，
，

故答案为．
【点睛】本题考查平面向量夹角公式的简单应用．平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.
15、
【解析】作出函数的图象，结合图象即可得的最小值.
【详解】如图，在同一直角坐标系中分别作出函数和的图象，

因为对，，故函数的图象如图所示：

由图可知，当时，函数取得最小值.
故答案为：.
16、3
【解析】根据频率分布直方图，求得不小于40岁的人的频率及人数，再利用分层抽样的方法，即可求解，得到答案
【详解】根据频率分布直方图，得样本中不小于40岁的人的频率是0.015×10+0.005×10=0.2，
所以不小于40岁的人的频数是100×0.2=20；
从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取12人，
在[50，60）年龄段抽取人数为
【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的性质，以及频率分布直方图中概率的计算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）最大值为，最小值为..
【解析】（1）根据最小正周期的计算公式求解出的最小正周期；
（2）先求解出的取值范围，然后根据正弦函数的单调性求解出在区间上的最值.
【详解】（1）因为，所以；
（2）因为，所以，
当时，，此时，
当时，，此时，
故在区间上的最大值为，最小值为.
18、（1）
（2）答案见解析（3）证明见解析
【解析】（1）由满足性质可得恒成立，取可求，取可求，取可求，取求，由此可求的值；
（2）设满足，利用零点存在定理证明关于的方程至少有两个解，证明至少存在两个不等的正数，同时使得函数满足性质和；
（3）分别讨论，，时函数的零点的存在性，由此完成证明.
【小问1详解】
因为满足性质，
所以对于任意的x，恒成立.
又因为，
所以，，
，
由可得，
由可得，
所以，.
【小问2详解】
若正数满足，等价于，
记，
显然，，
因为，所以，，即.
因为的图像连续不断，
所以存在，使得，
因此，至少存在两个不等的正数，使得函数同时满足性质和.
【小问3详解】
若，则1即为零点；
因为，若，则，矛盾，故，
若，则，，，
可得.
取即可使得，又因为的图像连续不断，
所以，当时，函数上存在零点，
当时，函数在上存在零点，
若，则由，可得，
由，可得，
由，可得.
取即可使得，又因为的图像连续不断，
所以，当时，函数在上存在零点，
当时，函数在上存在零点，
综上，函数存在零点.
19、（1）-2；（2）18.
【解析】（1）利用对数的运算性质化简求值即可.
（2）由有理数指数幂与根式的关系及指数幂的运算性质化简求值.
【小问1详解】
原式
【小问2详解】
原式
20、（1）
（2），
【解析】（1）根据三角函数的图象和性质，求出和的值即可，
（2）根据函数图象变换关系，求出以及的解析式，根据函数零点性质建立方程进行讨论求解即可
【小问1详解】
解：①是偶函数；
②，是的图象在轴右侧的第一个对称中心；
③相邻两条对称轴之间距离为
若选择①②，
由①是偶函数，
即，
由②，是的图象在轴右侧的第一个对称中心；
则，得，即
选择①③：
由①是偶函数，
即，
由③知：相邻两条对称轴之间距离为
，即，则，则，则
若选②③：
③知：相邻两条对称轴之间距离为
，即，则，则，则，
由②，是的图象在轴右侧的第一个对称中心；
，得，则，
综上
【小问2详解】
解：依题意，将函数的图象向右平移个单位，得，
再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到，
可得，
所以，
当时，，则在内的零点个数为偶数个，
在内恰有2021个零点，为奇数个零点，故，
令，可得，令，，则，△，
则关于的二次方程必有两个不等的实根，，，且，则，异号，
①当，且时，则方程和在区间，均有偶数个根，从而在区间，有偶数个根，不符合题意；
②当，且时，则方程在区间有偶数个根，无解，从而方程在有偶数个根，不合题意
同理，当且时，从而方程在有偶数个根，不合题意
③当，，当时，只有一根，有两根，所
以关于的方程在有三个根，由于，
则方程在只有一个根，在区间上无实解，方程在区间上无实解，在区间上有两个根
所以关于的方程在区间上有2020个根．在区间上有2022个根．不合题意
④当时，则，当时，只有一根，有两根，所以关于的方程在上有三个根，
由于，则方程在上有个根
由于方程在区间上无实数根，在区间上只有一个实数根
由于方程在区间上有两个实数根，在区间上只有一个实数根
因此关于的方程在上有2021个根，
在区间上有2022个根，
因此
所以解得，
21、（1）
（2）可以正常饮用
【解析】（1）利用题中条件，列出等式，求解即可；
（2）利用（1）中结论，当时，即可计算出保鲜时间，判断即可
【小问1详解】
由题意可知
解得

【小问2详解】
由（1）知温度为3℃时保鲜的时间为：小时
故可以正常饮用