上海市上海中学2025年数学高一第一学期期末检测试题含解析.doc

上海市上海中学2025年数学高一第一学期期末检测试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如图所示的四个几何体，其中判断正确的是

A.（1）不棱柱
B.（2）是棱柱
C.（3）是圆台
D.（4）是棱锥
2．如图，把边长为4的正方形ABCD沿对角线AC折起，当直线BD和平面ABC所成的角为时，三棱锥的体积为（ ）

A. B.
C. D.
3．长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（ ）
A. B.
C. D.都不对
4．已知平行四边形的对角线相交于点点在的内部(不含边界).若则实数对可以是

A. B.
C. D.
5．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的函数是（）
A. B.
C. D.
6．设集合，则是
A. B.
C. D.有限集
7．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（）
A. B.
C. D.
8．下列选项中，与最接近的数是
A. B.
C. D.
9．数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（ ）．注：重心坐标公式为横坐标：； 纵坐标：
A. B.
C. D.
10．半径为2，圆心角为的扇形的面积为（）
A. B.
C. D.2
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数的最大值与最小值之差为，则______
12．制造一种零件，甲机床的正品率为，乙机床的正品率为．从它们制造的产品中各任抽1件，则两件都是正品的概率是__________
13．已知扇形的弧长为，且半径为，则扇形的面积是__________.
14．直线3x+2y+5＝0在x轴上的截距为_____.
15．已知函数且
（1）若函数在区间上恒有意义，求实数的取值范围；
（2）是否存在实数，使得函数在区间上为增函数，且最大值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由
16．在单位圆中，已知角的终边与单位圆的交点为，则______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设集合，.
（1）若，求；
（2）若，求m的取值范围；
18．已知函数 的图像如图所示.

（1）求函数的解析式；
（2）当时，求函数的最大值和最小值.
19．已知函数.
（1）直接写出的单调区间，并选择一个单调区间根据定义进行证明；
（2）解不等式.
20．已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的值域
21．如图，三棱柱中，侧棱垂直底面，，，点是棱的中点

（1）证明：平面平面；
（2）求三棱锥的体积
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】直接利用多面体和旋转体的结构特征，逐一核对四个选项得答案
解：（1）满足前后面互相平行，其余面都是四边形，且相邻四边形的公共边互相平行，∴（1）是棱柱，故A错误；
（2）中不满足相邻四边形的公共边互相平行，∴（2）不是棱柱，故B错误；
（3）中上下两个圆面不平行，不符合圆台的结构特征，∴（3）不是圆台，故C错误；
（4）符合棱锥的结构特征，∴（4）是棱锥，故D正确
故选D
考点：棱锥的结构特征
2、C
【解析】取的中点为，连接，过作的垂线，垂足为，可以证明平面、平面，求出的面积后利用公式求出三棱锥的体积.
【详解】
取的中点为，连接，过作的垂线，垂足为.
因为为等腰直角三角形，故，同理，
而，故平面，
而平面，故平面平面，
因为平面平面，平面，
故平面，故为直线BD和平面ABC所成的角，
所以.
在等腰直角形中，因为，，故，
同理，故为等边三角形，故.
故.
故选：C.
【点睛】思路点睛：线面角的构造，往往需要根据面面垂直来构建线面垂直，而后者来自线线垂直，注意对称的图形蕴含着垂直关系，另外三棱锥体积的计算，需选择合适的顶点和底面.
3、B
【解析】由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求出球的直径，然后求出球的表面积
【详解】解：长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，
所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为：，
所以球的半径为：；则这个球的表面积是：
故选：
4、B
【解析】分析：根据x,y值确定P点位置，逐一验证.
详解：因为，所以P在线段BD上，不合题意，舍去；
因为，所以P在线段OD外侧，符合题意，
因为，所以P在线段OB内侧，不合题意，舍去；
因为，所以P在线段OD内侧，不合题意，舍去；
选B.
点睛：若，则三点共线,利用这个充要关系可确定点的位置.
5、D
【解析】根据常见函数的单调性和奇偶性可直接判断出答案.
【详解】是奇函数，不满足题意；
的定义域为，是非奇非偶函数，不满足题意；
是非奇非偶函数，不满足题意；
是偶函数，且在区间上单调递增，满足题意；
故选：D
6、C
【解析】根据二次函数和指数函数的图象和性质，分别求出两集合中函数的值域，求出两集合的交集即可
【详解】由集合S中的函数y＝3x＞0，得到集合S＝{y|y＞0}；
由集合T中的函数y＝x2﹣1≥﹣1，得到集合T＝{y|y≥﹣1}，则S∩T＝S
故选C
【点睛】本题属于求函数值域，考查了交集的求法，属于基础题
7、A
【解析】根据基本函数的性质和偶函数的定义分析判断即可
【详解】对于A，因为，所以是偶函数，的图象是开口向下，顶点为原点，对称轴为轴，所以其在区间上单调递减，所以A正确，
对于B，是非奇非偶函数，所以B错误，
对于C，因为，所以是奇函数，所以C错误，
对于D，，可知函数在递增，所以D错误，
故选：A
8、C
【解析】，该值接近，选C.
9、D
【解析】由重心坐标公式得重心的坐标，根据垂直平分线的性质设出外心的坐标为，再由求出，然后求出欧拉线的斜率，点斜式就可求得其方程.
【详解】设的重点为，外心为，则由重心坐标公式得
，并设的坐标为，

解得，即

欧拉方程为：，即：
故选：D
【点睛】本题考查直线方程，两点之间的距离公式，三角形的重心、垂心、外心的性质，考查了理解辨析能力及运算能力.
10、D
【解析】利用扇形的面积公式即得.
【详解】由题可得.
故选：D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、或.
【解析】根据幂函数的性质，结合题意，分类讨论，利用单调性列出方程，即可求解.
【详解】由题意，函数，
当时，函数在上为单调递增函数，可得，解得；
当时，显然不成立；
当时，函数在上为单调递减函数，可得，解得，
综上可得，或.
故答案为：或.
12、
【解析】由独立事件的乘法公式求解即可.
【详解】由独立事件的乘法公式可知，两件都是正品的概率是.
故答案为：
13、##
【解析】由扇形面积公式可直接求得结果.
【详解】扇形面积.
故答案为：.
14、
【解析】直接令，即可求出
【详解】解：对直线令，得
可得直线在轴上截距是，
故答案：
【点睛】本题主要考查截距的定义，需要熟练掌握，属于基础题
15、（1）
（2）存在；（或）
【解析】（1）由题意，得在上恒成立，参变分离得恒成立，再令新函数，判断函数的单调性，求解最大值，从而求出的取值范围；（2）在（1）的条件下，讨论与两种情况，利用复合函数同增异减的性质求解对应的取值范围，再利用最大值求解参数，并判断是否能取到.
【小问1详解】
由题意，在上恒成立，即在恒成立，令，则在上恒成立，令所以函数在在上单调递减，故
则，即的取值范围为.
【小问2详解】
要使函数在区间上为增函数，首先在区间上恒有意义，于是由（1）可得，①当时，要使函数在区间上为增函数，
则函数在上恒正且为增函数，
故且，即，此时的最大值为即，满足题意
②当时，要使函数在区间上为增函数，
则函数在上恒正且为减函数，
故且，即，
此时的最大值为即，满足题意
综上，存在（或）
【点睛】一般关于不等式在给定区间上恒成立的问题都可转化为最值问题，参变分离后得恒成立，等价于；恒成立，等价于成立.
16、
【解析】先由三角函数定义得，再由正切的两角差公式计算即可.
【详解】由三角函数的定义有，
而.
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】（1）时，求出集合，，从而求出，由此能求出
（2）由，，当时，，当时，，由此能求出取值范围
【详解】解：（1） 时，集合，

∴，
∴或
（2）∵集合，，
，∴，
∴当时，，解得，
当时，，解得
综上，的取值范围是
18、（1）；（2）最大值，最小值为-1.
【解析】（1）由图可知，，可得，再将点代入得，结合，可得的值，即可求出函数的解析式；（2）根据函数的周期，可求 时函数的最大值和最小值就是转化为求函数在区间上的最大值和最小值，结合三角函数图象，即可求出函数的最大值和最小值.
试题解析：（1）由图可知：，则
∴，
将点代入得，，
∴，，即，
∵
∴
∴函数的解析式为.
（2）∵函数的周期是
∴求时函数的最大值和最小值就是转化为求函数在区间上的最大值和最小值.
由图像可知，当时，函数取得最大值为，
当时，函数取得最小值为.
∴函数在上的最大值为，最小值为-1.
点睛：已知图象求函数解析式的方法
（1）根据图象得到函数的周期，再根据求得
（2）可根据代点法求解，代点时一般将最值点的坐标代入解析式；也可用“五点法”求解，用此法时需要先判断出“第一点”的位置，再结合图象中的点求出的值
（3）在本题中运用了代点的方法求得的值，一般情况下可通过观察图象得到的值
19、（1）在区间，上单调递增，在区间上单调递减，证明见解析
（2）
【解析】(1)根据增减函数的定义，利用作差法比较与0的大小即可；
(2)根据三角函数的性质可得、，利用函数的单调性列出三角不等式，解不等式即可.
【小问1详解】

在区间，上单调递增，在区间上单调递减.
①选区间进行证明.
，，且，有

，
由，所以，由，所以，
所以，，
所以在区间上单调递增.
②选区间进行证明.
，，且，有
，
由，，所以，，
所以在区间上单调递减.
③选区间进行证明.
参考②的证明，在区间上单调递增.
【小问2详解】
，
因为，，在区间上单调递减，
所以，（），
所以，所求解集为.
20、（1）增区间为；减区间为
（2）
【解析】(1)利用正弦型函数的单调性直接求即可.
(2)整体代换后利用正弦函数的性质求值域.
【小问1详解】
令，有，
令，有，
可得函数的增区间为；减区间为；
【小问2详解】
当时，，，
有，
故函数在区间上的值域为
21、（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）由题意得，，即可得到平面，从而得到⊥，再根据，得到，证得平面，即可得证；
（2）首先求出，利用勾股定理求出，即可求出，再根据锥体的体积公式计算可得
【详解】解：（1）证明：由题设知，，，平面，
所以平面，
又因为平面，所以
因为，
所以，即
因为，平面，
所以平面，又因为平面，
所以平面平面
（2）由，得，所以，
所以，
所以的面积，
所以