上海实验学校2025-2026学年高一数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析.doc

上海实验学校2025-2026学年高一数学第一学期期末学业水平测试模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如果是定义在上的函数，使得对任意的，均有，则称该函数是“- 函数”.若函数是“- 函数”，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
2．设全集，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
3．下列函数既是奇函数，又是在区间上是增函数是
A. B.
C. D.
4．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（ ）

A. B.
C. D.
5．集合，，则（）
A. B.
C. D.
6．已知两条绳子提起一个物体处于平衡状态.若这两条绳子互相垂直，其中一条绳子的拉力为50，且与两绳拉力的合力的夹角为30°，则另一条绳子的拉力为（）
A.100 B.
C.50 D.
7．命题A：命题B：(x＋2)·(x＋a)<0；若A是B的充分不必要条件，则a的取值范围是
A.(－∞，－4) B.[4，＋∞)
C.(4，＋∞) D.(－∞，－4]
8．在正方体中，分别是的中点，则直线与平面所成角的余弦值为
A. B.
C. D.
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是

A. B.
C. D.
10．设，，，则，，的大小关系（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知某扇形的半径为，面积为，那么该扇形的弧长为________.
12．已知，函数，若函数有两个零点，则实数k的取值范围是________
13．已知，则___________.
14．已知圆心为（1,1），经过点（4,5），则圆的标准方程为_____________________.
15．将函数的图象向右平移个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数的图象，则函数的解析式为____________
16．已知甲、乙、丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中恰有两人被录取的概率为___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，边长为的正方形所在平面与正三角形所在平面互相垂直，分别为的中点.

(1)求四棱锥的体积；
(2)求证：平面；
(3)试问：在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，试指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.
18．阅读与探究
人教A版《普通高中课程标准实验教科书数学4（必修）》在第一章小结中写道：
将角放在直角坐标系中讨论不但使角的表示有了统一的方法，而且使我们能够借助直角坐标系中的单位圆，建立角的变化与单位圆上点的变化之间的对应关系，从而用单位圆上点的纵坐标、横坐标来表示圆心角的正弦函数、余弦函数.因此，正弦函数、余弦函数的基本性质与圆的几何性质（主要是对称性）之间存在着非常紧密的联系.例如，和单位圆相关的“勾股定理”与同角三角函数的基本关系有内在的一致性；单位圆周长为与正弦函数、余弦函数的周期为是一致的；圆的各种对称性与三角函数的奇偶性、诱导公式等也是一致的等等.因此，三角函数的研究过程能够很好地体现数形结合思想.

依据上述材料，利用正切线可以讨论研究得出正切函数的性质.
比如：由图1.2-7可知，角的终边落在四个象限时均存在正切线；角的终边落在轴上时，其正切线缩为一个点，值为；角的终边落在轴上时，其正切线不存在；所以正切函数的定义域是.
（1）请利用单位圆中的正切线研究得出正切函数的单调性和奇偶性；
（2）根据阅读材料中途1.2-7，若角为锐角，求证：.
19．如图，正方体的棱长为，连接，，，，，，得到一个三棱锥．求：

（1）三棱锥的表面积；
（2）三棱锥的体积
20．为了做好新冠疫情防控工作，某学校要求全校各班级每天利用课间操时间对各班教室进行药熏消毒.现有一种备选药物，根据测定，教室内每立方米空气中的药含量（单位：mg）随时间（单位：）的变化情况如图所示，在药物释放的过程中与成正比，药物释放完毕后，与的函数关系为（为常数），其图象经过，根据图中提供的信息，解决下面的问题.

（1）求从药物释放开始，与的函数关系式；
（2）据测定，当空气中每立方米的药物含量降低到mg以下时，才能保证对人身无害，若该校课间操时间为分钟，据此判断，学校能否选用这种药物用于教室消毒？请说明理由.
21．已知定义域为的函数是奇函数.
（1）求实数a的值；
（2）若不等式在有解，求实数m取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】根据题中的新定义转化为，即，根据的值域求的取值范围.
【详解】，，
函数是“- 函数”，
对任意，均有，即，
，即，又，
或.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，关键是读懂新定义，并使用新定义，并能转化为函数值域解决问题.
2、A
【解析】根据补集定义计算
【详解】因为集合，又因为全集，所以，.
故选：A.
【点睛】本题考查补集运算，属于简单题
3、A
【解析】对于，函数，定义域是，有，且在区间是增函数，故正确；
对于，函数的定义域是，是非奇非偶函数，故错误；
对于，函数的定义域是，有，在区间不是增函数，故错误；
对于，函数的定义域是，有，是偶函数不是奇函数，故错误
故选A
4、C
【解析】先还原几何体为一直四棱柱，再根据柱体体积公式求结果.
【详解】根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为，底面为直角梯形，上下底分别为、，梯形的高为，因此几何体的体积为，选C.
【点睛】先由几何体的三视图还原几何体的形状，再在具体几何体中求体积或表面积等.
5、B
【解析】解不等式可求得集合，由交集定义可得结果.
【详解】，，
.
故选：B.
6、D
【解析】利用向量的平行四边形法则求解即可
【详解】
如图，两条绳子提起一个物体处于平衡状态，不妨设，
根据向量的平行四边形法则，

故选：D
7、A
【解析】记根据题意知，所以故选A
8、C
【解析】设正方体的棱长为，如图，连接，它们交于，连接，则平面，而，故就是直线与平面所成的余角，又为直角三角形且，所以，，设直线与平面所成的角为，则，选C.

点睛：线面角的计算往往需要先构造面的垂线，必要时还需将已知的面的垂线适当平移才能构造线面角，最后把该角放置在容易计算的三角形中计算其大小.
9、A
【解析】由三视图可知几何体是一个底面为梯形的棱柱,再求几何体的表面积得解.
【详解】由三视图可知几何体是一个底面为直角梯形的棱柱,梯形的上底为1，下底为2，高为2，棱柱的高为2.由题可计算得梯形的另外一个腰长为.
所以该几何体的表面积=.
故答案为A
【点睛】本题主要考查三视图找原图，考查几何体的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理能力.
10、A
【解析】根据指数函数和对数函数的单调性比大小.
【详解】由已知得，，且，
，所以.
故选：A.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据扇形面积公式可求得答案.
【详解】设该扇形的弧长为,由扇形的面积,可得,解得.
故答案.
【点睛】本题考查了扇形面积公式的应用,考查了学生的计算能力,属于基础题.
12、
【解析】由题意函数有两个零点可得,
得,令与，
作出函数与的图象如图所示：
由图可知，函数有且只有两个零点，
则实数的取值范围是.
故答案为：.

【点睛】本题考查分段函数的应用，函数零点的判断等知识，解题时要灵活应用数形结合思想
13、##-0.75
【解析】将代入函数解析式计算即可.
【详解】令，则，
所以.
故答案为：
14、
【解析】设出圆的标准方程，代入点的坐标，求出半径，求出圆的标准方程
【详解】设圆的标准方程为（x-1）2+（y-1）2=R2，
由圆经过点（4,5）得R2=25，从而所求方程为（x-1）2+（y-1）2=25，
故答案为（x-1）2+（y-1）2=25
【点睛】本题主要考查圆的标准方程，利用了待定系数法，关键是确定圆的半径
15、
【解析】利用函数的图象变换规律，即可得到的解析式
【详解】函数的图象向右平移个单位，可得到，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍，可得到.
故.
【点睛】本题考查了三角函数图象的平移变换，属于基础题
16、##0.15
【解析】利用相互独立事件概率乘法公式分别求出甲和乙被录取的概率、甲和丙被录取的概率、乙和丙被录取的概率，然后即可求出他们三人中恰有两人被录取的概率.
【详解】因为甲、乙、丙三人被该公司录取的概率分别是，且三人录取结果相互之间没有影响，甲和乙被录取的概率为，
甲和丙被录取的概率为，
乙和丙被录取的概率为
则他们三人中恰有两人被录取的概率为，
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）证明见解析；（3）存在，为中点，证明见解析.
【解析】（1）由等腰三角形三线合一性质和面面垂直性质定理可证得平面，由棱锥体积公式可求得结果；
（2）连结交于点，由三角形中位线性质可证得，由线面平行判定定理可得到结论；
（3）当为中点时，由正方形的性质、线面垂直的性质，结合线面垂直的判定可证得平面，由面面垂直的判定定理可证得结论.
【详解】（1）为中点，为正三角形，.
平面平面，平面平面，平面，
平面.
,,.
（2）证明：连结交于点，连结.
由四边形为正方形知点为的中点，又为的中点，，
平面，平面，平面.
（3）存在点，当为中点时，平面平面.
证明如下：因为四边形是正方形，为的中点，
，
由(1)知：平面，平面，，
又，平面.
平面，平面平面.

【点睛】关键点点睛：本题第三问考查了与面面垂直有关的存在性问题的处理，解题关键是能够根据平面确定只要在上，必有，由此只需找到与面中的另一条与相交的直线垂直即可，进而锁定的位置.
18、（1）见解析（2）见解析
【解析】（1）在单位圆中画出角的正切线，观察随增大正切线的值得变化情况，再观察时，正切线的值随增大时的变化情况，发现正切函数在区间上单调递增.（2）当是锐角时，有，由此得到.
解析：（1）当时， 增大时正切线的值越来越大；当时，正切线与区间上的情况完全一样；随着角的终边不停旋转，正切线不停重复出现，故可得出正切函数在区间上单调递增；由题意知正切函数的定义域关于原点对称，在坐标系中画出角 和，它们的终边关于轴对称，在单位圆中作出它们的正切线，可以发现它们的正切线长度相等，方向相反，即，得出正切函数为奇函数.
（2）如图，当为锐角时，在单位圆中作出它的正弦线，正切线，又因为，所以，又 ，而，故即.

点睛：三角函数线是研究三角函数性质（如定义域、值域、周期性、奇偶性等）的重要工具，它体现了数形结合的数学思想，是解三角不等式、三角方程等不可或缺的工具.
19、（1）
（2）
【解析】（1）直接按照锥体表面积计算即可；
（2）利用正方体体积减去三棱锥，，，的体积即可.
【小问1详解】
∵是正方体，
∴，
∴三棱锥的表面积为
【小问2详解】
三棱锥，，，是完全一样的
且正方体的体积为，故
20、（1）；
（2）可以，理由见解析.
【解析】(1)将图象上给定点的坐标代入对应的函数解析式计算作答.
(2)利用(1)的结论结合题意，列出不等式求解作答.
【小问1详解】
依题意，当时，设，因函数的图象经过点A，即，解得，
又当时，，解得，而图象过点，则，因此，
所以与的函数关系式是.
【小问2详解】
由(1)知，因药物释放完毕后有，，
则当空气中每立方米的药物含量降低到mg以下，有，解得：，
因此至少需要36分钟后才能保证对人身无害，而课间操时间为分钟，
所以学校可以选用这种药物用于教室消毒.
【点睛】思路点睛：涉及实际应用问题，在理解题意的基础上，找出分散的数量关系，联想与题意有
关的数学知识和方法，将实际问题转化、抽象为数学问题作答.
21、（1）；（2）.
【解析】（1）函数是上的奇函数，利用，注意检验求出的是否满足题意；（2）由（1）得，把不等式在有解转化为在有解，构造函数，利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）由为上的奇函数，
所以，
则，检验如下：
当，，
，
则函数为上的奇函数.
所以实数a的值.
（2）由（1）知，
则，
由得：，
因为，
等价于在有解，
则，
令，
设
，
当且仅当或（舍）取等号；
则，
所以实数m取值范围.
【点睛】关键点睛：把不等式在有解转化为在有解，构造函数出是解决本题的关键.