北京市2025年数学高一上期末学业水平测试试题含解析.doc

北京市2025年数学高一上期末学业水平测试试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数的零点个数为（  ）
A.1 B.2
C.3 D.4
2．设a是方程的解,则a在下列哪个区间内(　　)
A.(0,1) B.(3,4)
C.(2,3) D.(1,2)
3．某工厂生产的30个零件编号为01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测.若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为（ ）
34 57 07 86 36 04 68 96 08 23 23 45 78 89 07 84 42 12 53 31 25 30 07 32 86
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
A. B.
C. D.
4．30°的弧度数为（　　）
A. B.
C. D.
5．已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度是，则扇形的周长为（）
A. B.
C. D.
6．在下列区间中，函数f（x）＝ex+2x﹣5的零点所在的区间为（　　）
A.（﹣1，0） B.（0，1）
C.（1，2） D.（2，3）
7．直线过点且与以点为端点的线段恒相交，则的斜率取值范围是（　 　）.
A. B.
C. D.
8．已知角的终边与单位圆的交点为，则（ ）
A. B.
C. D.
9．下列直线中，倾斜角为45°的是（）
A. B.
C. D.
10．设为上的奇函数，且在上单调递增，，则不等式的解集是（）
A B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．________
12．在四边形ABCD中，若，且，则的面积为_______.
13．函数的值域是__________.
14．已知函数的部分图象如图所示，则___________

15．的边的长分别为，且，，，则__________.
16．给出如下五个结论：
①存在使 ② 函数是偶函数
③最小正周期为 ④若是第一象限的角，且，则
⑤函数的图象关于点对称
其中正确结论序号为______________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数.
（1）若函数在上至少有一个零点，求的取值范围；
（2）若函数在上最大值为3，求的值.
18．（1）已知，，求的值；
（2）若，求的值.
19．已知是定义在上的奇函数，，当时的解析式为.
（1）写出在上的解析式；
（2）求在上的最值.
20．已知函数的图象关于原点对称，且当时，
（1）试求在R上的解析式；
（2）画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间.
21．已知函数
（1）求的单调递增区间；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】函数的定义域为，
且，
即函数为偶函数，
当时，，
设，则：

，
据此可得：，据此有：，
即函数是区间上的减函数，
由函数的解析式可知：，
则函数在区间上有一个零点，
结合函数的奇偶性可得函数在R上有2个零点.
本题选择B选项.
点睛：函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点
2、C
【解析】设，再分析得到即得解.
【详解】由题得设
，
由零点定理得a∈(2,3).
故答案为C
【点睛】本题主要考查函数的零点和零点定理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
3、C
【解析】根据随机数表依次进行选取即可
【详解】解：根据随机数的定义，1行的第5列数字开始由左向右依次选取两个数字，
大于30的数字舍去，重复的舍去，取到数字依次为07，04，08，23，12，
则抽取的第5个零件编号为12.
故选：
【点睛】本题考查简单随机抽样的应用，同时考查对随机数表法的理解和辨析
4、B
【解析】根据弧度与角度之间的转化关系进行转化即可．
详解】解：，
故选．
【点睛】本题考查了将角度制化为弧度制，属于基础题．
5、A
【解析】根据扇形的面积公式和弧长的计算公式，求得弧长和半径，即可求得结果.
【详解】设扇形的半径为，弧长为.
由题意：，解得，
所以扇形的周长为，
故选：A.
【点睛】本题考查扇形的弧长和面积公式，属基础题.
6、C
【解析】由零点存在性定理即可得出选项.
【详解】由函数为连续函数，
且，
，
所以，
所以零点所在的区间为，
故选：C
【点睛】本题主要考查零点存在性定理，在运用零点存在性定理时，函数为连续函数，属于基础题.
7、D
【解析】详解】∵
∴
根据如下图形可知，

使直线与线段相交的斜率取值范围是
故选：D.
8、A
【解析】利用三角函数的定义得出和的值，由此可计算出的值.
【详解】由三角函数的定义得，，因此，.
故选：A.
【点睛】本题考查三角函数的定义，考查计算能力，属于基础题.
9、C
【解析】由直线倾斜角得出直线斜率，再由直线方程求出直线斜率，即可求解.
【详解】由直线的倾斜角为45°，可知直线的斜率为，
对于A，直线斜率为，
对于B，直线无斜率，
对于C，直线斜率，
对于D，直线斜率，
故选：C
10、D
【解析】根据函数单调性结合零点即可得解.
【详解】为上的奇函数，
且在上单调递增，，
得：或
解得.
故选：D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据对数运算、指数运算和特殊角的三角函数值，整理化简即可.
【详解】.
故答案为：.
12、
【解析】由向量的加减运算可得四边形为平行四边形，再由条件可得四边形为边长为4的菱形，由三角形的面积公式计算可得所求值
【详解】
在四边形中，，即为，即，
可得四边形为平行四边形，又，
可得四边形为边长为4的菱形，
则的面积为正的面积，即为，
故答案为：
13、
【解析】首先换元，再利用三角变换，将函数转化为关于二次函数，再求值域.
【详解】设，因为，所以，
则，
，
当时，函数取得最小值，当时，函数取得最大值，
所以函数的值域是
故答案为：
14、
【解析】由图象可得最小正周期的值，进而可得，又函数图象过点，
利用即可求解.
【详解】解：由图可知，因为，所以，解得，
因为函数的图象过点，
所以，又，
所以，
故答案为：.
15、
【解析】由正弦定理、余弦定理得
答案：
16、②③
【解析】利用正弦函数的图像与性质，逐一判断即可.
【详解】对于①，，，故错误；
对于②，，显然为偶函数，故正确；
对于③，∵y＝sin（2x）的最小正周期为π，
∴y＝|sin（2x）|最小正周期为．故正确；
对于④，令 α，β，满足，但，故错误；
对于⑤，令则故对称中心为，故错误.
故答案为：②③
【点睛】本题主要考查三角函数图象与性质，考查辅助角公式和诱导公式、正弦函数的图象的对称性和单调性，属于基础题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) ；（2）或.
【解析】（1）由函数在至少有一个零点，方程至少有一个实数根，，解出即可；（2）通过对区间端点与对称轴顶点的横坐标的大小比较，再利用二次函数的单调性即可得出函数在上的最大值，令其等于可得结果.
试题解析：（1）由.
（2）化简得，当，即时，；当，即时，，
，（舍）；当，即时，，综上，或.
18、（1）；（2）.
【解析】(1)由条件利用同角三角函数的基本关系求出,即可求得的值；
(2)把要求的式子利用诱导公式化为,进而而求得结果.
【详解】解：（1）∵，，
∴

∴
（2）若，
则.
19、（1）
（2）最大值为0，最小值为
【解析】（1）先求得参数，再依据奇函数性质即可求得在上的解析式；
（2）转化为二次函数在给定区间求值域即可解决.
【小问1详解】
因为是定义在上的奇函数，所以，即，
由，得，由，解得，
则当时，函数解析式为
设，则，，
即当时，
【小问2详解】
当时，
，
所以当，即时，的最大值为0，
当，即时，的最小值为.
20、（1）
（2）函数图象见解析，单调递增区间为和，单调递减区间为；
【解析】（1）依题意是上的奇函数，即可得到，再设，根据时的解析式及奇函数的性质计算可得；
（2）由（1）中的解析式画出函数图形，结合图象得到函数的单调区间；
【小问1详解】
解：的图象关于原点对称，
是奇函数，
又的定义域为，，解得
设，则，
当时，，

，
所以；
【小问2详解】
解：由（1）可得的图象如下所示：

由图象可知的单调递增区间为和，单调递减区间为；
21、（1）
（2）
【解析】（1）由三角恒等变换化简，利用正弦型函数的单调性求解；
（2）分离参数转化为恒成立，求出的最大值即可得解.
【小问1详解】

由,
的单调递增区间为.
【小问2详解】
因为不等式在上恒成立，
所以，
，
，
，即