2025年内蒙古太仆寺旗宝昌一中数学高二第一学期期末联考试题含解析.doc

2025年内蒙古太仆寺旗宝昌一中数学高二第一学期期末联考试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等差数列的公差，是与的等比中项，则（）
A. B.
C. D.
2．《米老鼠和唐老鸭》这部动画给我们的童年带来了许多美好的回忆，令我们印象深刻.如图所示，有人用3个圆构成米奇的简笔画形象.已知3个圆方程分别为：圆圆，圆若过原点的直线与圆、均相切，则截圆所得的弦长为（）

A B.
C. D.
3．在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（）
A. B.1
C. D.
4．已知双曲线，且三个数1，，9成等比数列，则下列结论正确的是（）
A.的焦距为 B.的渐近线方程为
C.的离心率为 D.的虚轴长为
5． “”是“函数在上有极值”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6．若两条直线与互相垂直，则的值为（　　）
A.4 B.-4
C.1 D.-1
7．若直线与平行，则实数m等于（ ）
A.1 B.
C.4 D.0
8．将一枚均匀的骰子先后抛掷3次，至少出现两次点数为3的概率为（）
A. B.
C. D.
9．已知双曲线＝1的一条渐近线方程为x－4y＝0，其虚轴长为（）
A.16 B.8
C.2 D.1
10．将一枚骰子先后抛掷两次，若先后出现的点数分别记为a，b，则直线到原点的距离不超过1的概率是（ ）
A. B.
C. D.
11．双曲线的两个焦点坐标是（ ）
A.和 B.和
C.和 D.和
12．椭圆的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知实数x，y满足约束条件，则的最小值为______.
14．已知圆，则圆心坐标为______.
15．某教师组织本班学生开展课外实地测量活动，如图是要测山高.现选择点A和另一座山顶点C作为测量观测点，从A测得点M的仰角，点C的仰角，测得，，已知另一座山高米，则山高_______米.

16．已知双曲线左、右焦点分别为，，点P是双曲线左支上一点且，则______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆经过点，椭圆E的一个焦点为.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若直线l过点且与椭圆E交于两点.求的最大值.
18．（12分）设a，b是实数，若椭圆过点，且离心率为.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过椭圆E的上顶点P分别作斜率为，的两条直线与椭圆交于C，D两点，且，试探究过C，D两点的直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；否则，说明理由.
19．（12分）设点，动圆P经过点F且和直线相切，记动圆的圆心P的轨迹为曲线W
（1）求曲线W的方程；
（2）直线与曲线W交于A、B两点，其中O为坐标原点，已知点T的坐标为，记直线TA，TB的斜率分别为，，则是否为定值，若是求出，不是说明理由
20．（12分）已知函数.
（1）若在上单调递增，求的取值范围；
（2）若在上存在极值点，证明：.
21．（12分）某校高二年级共有男生490人和女生510人，现采用分层随机抽样的方法从该校高二年级中抽取100名学生，测得他们的身高数据
（1）男生和女生应各抽取多少人？
（2）若样本中男生和女生的平均身高分别为173.6、162.2厘米，请估计该校高二年级学生的平均身高
22．（10分）已知斜率为的直线与椭圆：交于，两点
（1）若线段的中点为，求的值；
（2）若，求证：原点到直线的距离为定值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】由等比中项的性质及等差数列通项公式可得即可求.
【详解】由，则，可得.
故选：C.
2、A
【解析】设直线，利用直线与圆相切，求得斜率，再利用弦长公式求弦长
【详解】设过点的直线.由直线与圆、圆均相切，得解得 (1).设点到直线的距离为则 (2).又圆的半径直线截圆所得弦长结合(1)(2)两式，解得
3、B
【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量点到直线的距离公式进行求解即可
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知，得，，，
，，
所以在上的投影为，
所以点到直线的距离为
故选：B

4、D
【解析】先求得的值，然后根据双曲线的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】方程表示双曲线，则，
成等比数列，则，
所以双曲线方程为，
所以，
故双曲线的焦距为，A选项错误.
渐近线方程为，B选项错误.
离心率，C选项错误.
虚轴长，D选项正确.
故选：D
5、B
【解析】对求导，取得函数在上有极值的等价条件，再根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可
【详解】解：，则，
令，可得，
当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，
所以，函数在处取得极小值，
若函数在上有极值，则，，
因为，但是由推不出，
因此是函数在上有极值的必要不充分条件
故选：B
6、A
【解析】根据两直线垂直的充要条件知：，即可求的值.
【详解】由两直线垂直，可知：，即.
故选：A
7、B
【解析】两直线平行的充要条件
【详解】由于 ，则 ， .
故选：B
8、D
【解析】利用次独立重复试验中事件A恰好发生次的概率计算公式直接求解.
【详解】解：将一枚均匀的筛子先后抛掷3次，每次出现点数为3的概率都是
至少出现两次点数为3的概率为：
故选：D
9、C
【解析】根据双曲线的渐近线方程的特点，结合虚轴长的定义进行求解即可.
【详解】因为双曲线＝1的一条渐近线方程为x－4y＝0，
所以，因此该双曲线的虚轴长为，
故选：C
10、C
【解析】先由条件得出a，b满足，得出满足的基本事件数，再求出总的基本事件数，从而可得答案.
【详解】直线到原点的距离不超过1，则
所以
当时，可以为5，6
当时，可以为4，5，6
当时，可以为4，5，6
当时，可以为2，3，4，5，6
当时，可以为1，2，3，4，5，6
当时，可以为1，2，3，4，5，6
满足的共有25种结果.
将一枚骰子先后抛掷两次，若先后出现的点数分别记为a，b，共有种结果
所以满足条件的概率为
故选：C
11、C
【解析】由双曲线标准方程可得到焦点所在轴及半焦距的长，进而得到两个焦点坐标.
【详解】双曲线中，，则
又双曲线焦点在y轴，故双曲线的两个焦点坐标是和
故选：C
12、A
【解析】由椭圆标准方程求得，再计算出后可得离心率
【详解】在椭圆中，，，，因此，该椭圆的离心率为.
故选：A.
【点睛】本题考查求椭圆的离心率，根据椭圆标准方程求出即可

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】作出该不等式表示的平面区域，由的几何意义结合距离公式得出答案.
【详解】该不等式组表示的平面区域，如下图所示

过点作直线的垂线，垂足为
因为表示原点与可行域中点之间的距离，所以的最小值为.
故答案为：
14、
【解析】将圆的一般方程配方程标准方程即可.
【详解】圆，即，它的圆心坐标是.
故答案为：.
15、
【解析】利用正弦定理可求出各个三角形的边长，进而求出山高.
【详解】解：在中，，，，可得

在中，，
所以
由正弦定理可得：
即，得
在直角中，
所以
故答案为：.
16、3
【解析】根据双曲线方程求出，再根据双曲线的定义可知，即可得到、，再由正弦定理计算可得；
【详解】解：因为双曲线为，所以、，因为点P是双曲线左支上一点且，所以，所以，，在中，由正弦定理可得，所以；
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）设椭圆的左，右焦点分别为，．利用椭圆的定义求出，然后求解，得到椭圆方程；（2）当直线的斜率存在时，设，，，，，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式得到弦长的表达式，再通过换元利用二次函数的性质求解最值即可
【小问1详解】
依题意，设椭圆的左，右焦点分别为，
则，，，，
椭圆的方程为
【小问2详解】
当直线的斜率存在时，设，，，，
由得
由得
由，
得
设，则，
当直线的斜率不存在时，，的最大值为
18、（1）；
（2）过定点，坐标为.
【解析】（1）根据椭圆的离心率公式，结合代入法进行求解即可；
（2）根据直线斜率公式和一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.
【小问1详解】
因为椭圆离心率为，
所以有.
椭圆过点，所以，由可解：
，所以该椭圆方程为：；
【小问2详解】
由（1）可知：，
设直线的方程为：，若，由椭圆的对称性可知：，不符合题意，
当时，
直线的方程与椭圆方程联立得：，
设， ，
，
因为，所以，把代入得：
，
所以有或，
解得：或，
当时，直线，直线恒过定点，
此时与点重合，不符合题意，
当时，，直线恒过点，
当直线不存在斜率时，此时， ，因为，所以
，两点不在椭圆上，不符合题意，
综上所述：过C，D两点的直线过定点，定点坐标为.
【点睛】关键点睛：根据一元二次方程根与系数关系是解题的关键.
19、（1）；
（2）是定值，.
【解析】(1)根据给定条件结合抛物线定义直接求解作答.
(2)联立直线与抛物线方程，借助韦达定理、斜率坐标公式计算作答.
【小问1详解】
过点P作直线的垂线，垂足为点N，依题意，，
则动点P的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，
所以曲线W的方程是.
【小问2详解】
设，，由消去x并整理得：，则，，
因，，则，，
因此
，
所以.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值
20、（1）
（2）证明见解析
【解析】（1）由题得，在，上为单调递增的函数，在，上恒成立，分类讨论，再次利用导数研究函数的最值即可；
（2）由（1）可知，在存在极值点，则且，求得，再两次求导即可得结论.
【小问1详解】
由题得，
在，上为单调递增的函数，
在，上恒成立，
设，
当时，由，得，
在，上为增函数，
则，
在,上恒成立
，满足命题，
当时，由，得，
在上为减函数，
，时，，即，
不满足恒成立，
不成立，
综上：的取值范围为.
小问2详解】
证明：由（1）可知，在存在极值点，则
且即：
要证只需证
即证
又由（1）可知在上为增函数，
且,
成立.
要证只需证

即证：
设
则

即在上增函数

在为增函数
成立.
综上，成立.
21、（1）应抽取男生49人，女生51人；
（2）.
【解析】（1）利用分层抽样计算男生和女生应抽取的人数；
（2）利用平均数的计算公式计算求解.
【小问1详解】
解：应抽取男生人，女生应抽取100-49=51人.
【小问2详解】
解：估计该校高二年级学生的平均身高为.
22、（1）；
（2）证明见解析.
【解析】（1）设出两点的坐标，利用点差法即可求出的值；
（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，写韦达；根据，求出，从而可证明原点到直线的距离为定值
【小问1详解】
设，则，，
两式相减，得，即，
所以，即，
又因为线段的中点为，所以，即；
【小问2详解】
设斜率为的直线为，，
由，得，
所以，
，
因为，所以，
即，所以，
所以，即，
所以，
原点到直线的距离为.
所以原点到直线的距离为定值.