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2026届辽宁省辽宁省营口市开发区第一高级中学数学高一上期末学业水平测试试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．将函数的图像向左、向下各平移1个单位长度，得到的函数图像，则（）
A. B.
C. D.
2．空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为点，关于原点的对称点为点，则间的距离为
A. B.
C. D.
3．将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心（　　）
A. B.
C. D.
4．已知函数，则下列结论正确的是（）
A.
B.的值域为
C.在上单调递减
D.的图象关于点对称
5．已知平面向量，，若，则实数值为（ ）
A.0 B.-3
C.1 D.-1
6．在中，“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7．如图，正方形ABCD的边长为2，动点E从A开始沿A→B→C的方向以2个单位长/秒的速度运动到C点停止，同时动点F从点C开始沿CD边以1个单位长/秒的速度运动到D点停止，则的面积y与运动时间x（秒）之间的函数图像大致形状是（）

A. B.
C. D.
8．《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其外形由圆柱和长方体组合而成.已知某组合体由圆柱和长方体组成，如图所示，圆柱的底面直径为1寸，长方体的长、宽、高分别为3.8寸，3寸，1寸，该组合体的体积约为12.6立方寸，若取3.14，则圆柱的母线长约为（）

A.0.38寸 B.1.15寸
C.1.53寸 D.4.59寸
9．已知正实数满足，则的最小值是（）
A B.
C. D.
10．已知向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数，则下列说法正确的有________.
①的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
②在上单调递增
③在内有2个零点
④在上的最大值为
12．已知，则__________.
13．=_______________.
14．函数的定义域为D，给出下列两个条件：
①对于任意，当时，总有；
②在定义域内不是单调函数.
请写出一个同时满足条件①②的函数，则______________.
15．直线关于定点对称的直线方程是_________
16．已知函数.

（1）当函数取得最大值时，求自变量x的集合；
（2）完成下表，并在平面直角坐标系内作出函数在的图象.
x
0

y

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数的部分图象如图所示.

（1）求函数f（x）的解析式，并求出该函数的单调递增区间；
（2）若，且，求的值.
18．（1）已知方程，的值
（2）已知是关于的方程的两个实根，且，求的值
19．已知函数且
（1）判断函数的奇偶性；
（2）判断函数在上的单调性，并给出证明；
（3）当时，函数值域是，求实数与自然数的值
20．如图，在同一平面上，已知等腰直角三角形纸片的腰长为3，正方形纸片的边长为1，其中B、C、D三点在同一水平线上依次排列.把正方形纸片向左平移a个单位，.设两张纸片重叠部分的面积为S.

（1）求关于a的函数解析式；
（2）若，求a的值.
21．已知与都是锐角，且，
（1）求的值；
（2）求证：
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】根据函数的图象变换的原则，结合对数的运算性质，准确运算，即可求解.
【详解】由题意，将函数的图像向左、向下各平移1个单位长度，
可得.
故选：B.
2、C
【解析】分析：求出点关于平面的对称点，关于原点的对称点，直接利用空间中两点间的距离公式，即可求解结果.
详解：在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点，
关于原点的对称点，
则间的距离为，故选C.
点睛：本题主要考查了空间直角坐标系中点的表示，以及空间中两点间的距离的计算，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
3、A
【解析】先根据三角函数图象变换规律写出所得函数的解析式，再求出其对称中心，确定选项
【详解】解：函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍得到图象的解析式为
再向右平移个单位得到图象的解析式为
令，得，所以函数的对称中心为
观察选项只有A符合
故选A
【点睛】本题考查了三角函数图象变换规律，三角函数图象、性质．是三角函数中的重点知识，在试题中出现的频率相当高
4、C
【解析】利用分段函数化简函数解析式，再利用函数图像和性质，从而得出结论.
【详解】
故函数的周期为，即，故排除A,
显然函数的值域为，故排除B,
在上，函数为单调递减，故C正确，
根据函数的图像特征，可知图像不关于点对称，故排除D.
故选：C.
【点睛】本题解题时主要利用分段函数化简函数的解析式，在化简的过程中注意函数的定义域，以及充分利用函数的图像和性质解题.
5、C
【解析】根据，由求解.
【详解】因为向量，，且，
所以，
解得，
故选：C.
6、C
【解析】根据三角函数表，在三角形中，当时，即可求解
【详解】在三角形中，，故在三角形中，“”是“”的充分必要条件
故选：C
【点睛】本题考查充要条件的判断，属于基础题
7、A
【解析】先求出时，的面积y的解析式，再根据二次函数的图象分析判断得解.
详解】由题得时，，
所以的面积y，
它图象是抛物线的一部分，且含有对称轴.
故选：A
【点睛】本题主要考查函数的解析式的求法，考查二次函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
8、C
【解析】先求出长方体的体积，进而求出圆柱的体积，利用求出的圆柱体体积和圆柱的底面半径为0.5寸，求出圆柱的母线长
【详解】由题意得，长方体的体积为(立方寸)，故圆柱的体积为(立方寸).
设圆柱的母线长为l，则由圆柱的底面半径为0.5寸，得，计算得：(寸).
故选：C
9、B
【解析】根据题中条件，得到，展开后根据基本不等式，即可得出结果.
【详解】因为正实数满足，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：B.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
10、B
【解析】因为与夹角为锐角，所以cos<,>>0，且与不共线，由得，k>－2且，故选B
考点：本题主要考查平面向量的坐标运算，向量夹角公式
点评：基础题，由夹角为锐角，可得到k得到不等式，应注意夹角为0°时，夹角的余弦值也大于0.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、②③
【解析】化简函数，结合三角函数的图象变换，可判定①不正确；根据正弦型函数的单调的方法，可判定②正确；令，求得，可判定③正确；由，得到，结合三角函数的性质，可判定④正确.
【详解】由函数，
对于①中，将函数的图象向右平移个单位长度，
得到，所以①不正确；
对于②中，令，解得，
当时，可得，即函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，所以②正确；
对于③中，令，可得，解得，
当时，可得；当时，可得，
所以内有2个零点，所以③正确；
对于④中，由，可得，
当时，即时，函数取得最大值，最大值为，所以④不正确.
故答案为：②③.
12、##
【解析】首先根据同角三角函数的基本关系求出，再利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得；
【详解】解：因为，所以，所以

故答案为：
13、
【解析】解：
14、
【解析】根据题意写出一个同时满足①②的函数即可.
【详解】解：易知：，上单调递减，上单调递减，
故对于任意，当时，总有；
且在其定义域上不单调.
故答案为：.
15、
【解析】先求出原直线上一个点关于定点的对称点，然后用对称后的直线与原直线平行
【详解】在直线上取点，点关于的对称点为
过与原直线平行的直线方程为，即为对称后的直线
故答案为：
16、（1）
（2）答案见解析
【解析】( 1 )由三角恒等变换求出解析式，再求得最大值时的x的集合,
( 2)由五点法作图,列出表格,并画图即可.
【小问1详解】

令，函数取得最大值，
解得，
所以此时x的集合为.
【小问2详解】
表格如下：
x
0

y
1

1
作图如下，

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）答案见解析；
（2）.
【解析】（1）根据函数图象可得A，周期T，即可求出，再由图象过点即可求出，得到函数解析式，求出单调区间；
（2）由求出，再由两角差的正弦公式直接计算即可.
小问1详解】
由图象可知，A=2， 且，解得
所以，
因为，
所以
则,
则仅当时，符合题意，
所以，
令，解得
综上，解析式为，
单调增区间为；
【小问2详解】
因为，
所以，
所以，又，
所以
所以.
18、（1）；（2）
【解析】（1）由已知利用诱导公式化简得到的值，再利用诱导公式化简为含有的形式，代入即可；
（2）由根与系数的关系求出的值，结合的范围求出，进一步求出，即可求的值
【详解】解：（1）由得：，
即，
，

；
（2），是关于的方程的两个实根，
，
解得：，
又，
，
，
即，
解得：，
，
.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是化弦为切.
19、（1）奇函数，证明见解析；
（2）答案见解析，证明见解析；
（3），.
【解析】（1）利用奇偶性定义判断奇偶性.
（2）利用单调性定义，结合作差法、分类讨论思想求的单调性.
（3）由题设得且，结合（2）有在上递减，结合函数的区间值域，求参数a、n即可.
【小问1详解】
由题设有，可得函数定义域为，
，
所以为奇函数.
【小问2详解】
令，则，
又，则，
当时，，即，则在上递增.
当时，，即，则在上递减.
【小问3详解】
由，则，即，
结合（2）知：在上递减且值域为，
要使在值域是，则且，即，
所以，又，故.
综上，，
【点睛】关键点点睛：第三问，注意，即有在上递减，再根据区间值域求参数.
20、（1）；
（2）或.
【解析】（1）讨论、、分别求对应的，进而写出函数解析式的分段形式.
（2）根据（1）所得解析式，将代入求a值即可.
【小问1详解】
如下图，延长到上的，又，则，
∴，

当时，；
当时，；
当时，.
综上，.
小问2详解】
由（1）知：在上，；
在上，，整理得，解得（舍）或.
综上，或时，.
21、（1）
（2）见解析
【解析】（1）先确定的取值范围，再利用同角三角函数的平方关系，求得和的值，然后根据，并结合两角和的正弦公式，得解；
（2）由，，结合两角和差的正弦公式，分别求出和的值，即可得证
【小问1详解】
解：因为与都是锐角，
所以，，
又，，
所以，，
所以，，
所以；
【小问2详解】
证明：因为，所以①，
因为，所以②，
①②得，，
①②得，，
故