2025年邯郸市重点中学高二数学第一学期期末监测试题含解析.doc

2025年邯郸市重点中学高二数学第一学期期末监测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在正方体中，分别是线段的中点，则点到直线的距离是（）
A. B.
C. D.
2．已知抛物线上的一点，则点M到抛物线焦点F的距离等于（ ）
A.6 B.5
C.4 D.2
3．设、是椭圆：的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为
A. B.
C. D.
4．若变量x，y满足约束条件，则目标函数最大值为（）
A.1 B.-5
C.-2 D.-7
5．在中，已知角A，B，C所对边为a，b，c，，，，则（）
A. B.
C. D.1
6．如图所示，直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值为（ ）

A. B.
C. D.
7．设是双曲线的两个焦点,是双曲线上的一点,且,则的面积等于（ ）
A. B.
C.24 D.48
8．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
A. B.
C. D.
9．已知平面，的法向量分别为，，且，则（ ）
A. B.
C. D.
10．已知命题,，则
A.， B.，
C.， D.，
11．下列求导不正确的是（ ）
A B.
C. D.
12．在平面区域内随机投入一点P，则点P的坐标满足不等式的概率是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知数列中，，，则_______.
14．如图，用四种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法的种数为______（用数字作答）

15．椭圆的右焦点为，过原点的直线与椭圆交于两点、，则的面积的最大值为___________.
16．已知是椭圆的一个焦点，为椭圆上一点，为坐标原点，若为等边三角形，则椭圆的离心率为__________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知
（1）求角B的大小；
（2）若△不为钝角三角形，且，，求△的面积
18．（12分）阿基米德（公元前年—公元前年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积.已知平面直角坐标系中，椭圆：的面积为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与交于不同的两点，求面积的最大值.
19．（12分）在数列中，，，且对任意的，都有.
（1）数列的通项公式；
（2）设数列，求数列的前项和.
20．（12分）2021年7月29日，中国游泳队获得了女子米自由泳接力决赛冠军并打破世界纪录.受奥运精神的鼓舞，某游泳俱乐部组织100名游泳爱好者进行自由泳1500米测试，并记录他们的时间（单位：分钟），将所得数据分成5组：，，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求出直方图中m的值；
（2）利用样本估计总体的思想，估计这100位游泳爱好者1500米自由泳测试时间的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）.
21．（12分）如图1，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，将△BCD沿对角线BD折起到△BDC′的位置，如图2所示，并使得平面BDC′⊥平面ABD，E是BD的中点，FA⊥平面ABD，且FA=.

图1 图2
（1）求平面FBC′与平面FBA夹角的余弦值；
（2）在线段AD上是否存在一点M，使得⊥平面?若存在，求 的值；若不存在，说明理由.
22．（10分）已知数列的前项和
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，然后，列出计算公式进行求解即可
【详解】
如图，以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系.因为，所以，所以，则点到直线的距离
故选：A
2、B
【解析】将点代入抛物线方程求出，再由抛物线的焦半径公式可得答案.
详解】将点代入抛物线方程可得，解得
则
故选：B
3、C
【解析】如下图所示，是底角为的等腰三角形，则有
所以，所以
又因为，所以，，所以
所以答案选C.

考点：椭圆的简单几何性质.
4、A
【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可
【详解】解：由得
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分

平移直线，由图象可知当直线，过点时取得最大值，
由，解得，所以
代入目标函数，得，
故选：A
5、B
【解析】利用正弦定理求解.
【详解】在中，由正弦定理得，
解得，
故选：B.
6、A
【解析】取的中点为，的中点为，然后可得或其补角即为与所成角，然后在中求出答案即可.
【详解】取的中点为，的中点为，
，，所以或其补角即为与所成角，

设，则，，
在，，
故选：A
7、C
【解析】双曲线的实轴长为2,焦距为.根据题意和双曲线的定义知
,所以,,
所以,所以.所以.
故选：C
【点睛】本题主要考查了焦点三角形以及椭圆的定义运用,属于基础题型.
8、A
【解析】每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为p=选A
9、D
【解析】由题得，解方程即得解.
【详解】解：因为，所以
所以，
所以，
所以.
故选：D
10、A
【解析】根据全称命题与特称命题互为否定的关系，即可求解，得到答案
【详解】由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题,，
则，，故选A
【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与特称性命题的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题
11、C
【解析】由导数的运算法则、复合函数的求导法则计算后可判断
【详解】A：；
B：；
C：；
D：
故选：C
12、A
【解析】根据题意作出图形，进而根据几何概型求概率的方法求得答案.
【详解】根据题意作出示意图，如图所示：

于，所求概率.
故选：A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】根据递推公式一一计算即可；
【详解】解：因为，
所以，，，
故答案为：
14、48
【解析】由已知按区域分四步，然后给，，，区域分步选择颜色，由此即可求解
【详解】解：由已知按区域分四步：第一步区域有4种选择，第二步区域有3种选择，
第三步区域有2种选择，第四步区域也有2种选择，
则由分步计数原理可得共有种，
故答案为：48
15、
【解析】分析可知点、关于原点对称，可知当、为椭圆短轴的端点时，的面积取得最大值.
【详解】椭圆中，，，则，则，
由题意可知，、关于原点对称，
当、为椭圆短轴的端点时，的面积取得最大值，且最大值为.
故答案为：.
16、##
【解析】根据题中几何关系，求得点坐标，代入椭圆方程求得齐次式，整理化简即可求得离心率.
【详解】根据题意，取点为第一象限的点，过点作的垂线，垂足为，如下所示：

因为△为等边三角形，又，
故可得
则点的坐标为，代入椭圆方程可得：，
又，整理得：，
即，解得（舍）或.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）或；
（2）.
【解析】（1）根据正弦定理边角关系可得，再由三角形内角的性质求其大小即可.
（2）由（1）及题设有，应用余弦定理求得、，最后利用三角形面积公式求△的面积
【小问1详解】
由正弦定理得：，又，
所以，又B为△的一个内角，则，
所以或；
【小问2详解】
由△不为钝角三角形，即，又，，
由余弦定理，，得（舍去负值），则
∴
18、 (1)；(2).
【解析】（1）根据题意计算得到，得到椭圆方程.
（2）设直线的方程为，联立方程，根据韦达定理得到，，表示出，解得答案.
【详解】(1)依题意有解得所以椭圆的标准方程是.
(2)由题意直线的斜率不能为，设直线的方程为，
由方程组得，
设，，
所以，，
所以，
所以，
令（），则，，
因为在上单调递增，
所以当，即时，面积取得最大值为.
【点睛】本题考查了椭圆方程，椭圆内三角形面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
19、（1）；
（2）.
【解析】（1）由递推式可得，根据等比数列的定义写出通项公式，再由累加法求的通项公式；
（2）由（1）可得，再应用裂项相消法求前项和
【小问1详解】
由可得：，又， ，
∴，则数列是首项为2，公比为2的等比数列，
∴.
∴ .
【小问2详解】
∵，
∴
∴.
20、（1）
（2），
【解析】（1）利用频率之和也即各矩形的面积和为1即可求解.
（2）利用平均数和中位数的计算方法求解即可.
【小问1详解】
由，
可得 .
【小问2详解】
平均数为：
，
设中位数为，
则，
解得 .
21、（1）
（2）不存在，理由见解析
【解析】（1）利用垂直关系，以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量和，利用公式，即可求解；
（2）若满足条件，，利用向量的坐标表示，判断是否存在点满足.
【小问1详解】
∵，E为BD的中点
∴CE⊥BD，
又∵平面⊥平面ABD，平面平面，⊥平面，
∴⊥平面ABD，
如图以E原点，分别以EB、AE、EC′所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则B(1，0，0)，A(0，-，0)，D(-1，0，0)，F(0，-，2)，(0，0，)，
∴=(-1，-，2)，=(-1，0，)，=(1，，0)，
设平面的法向量为=(x，y，z)，
则，
取z=1，得平面的一个法向量=(，1，1)，
设平面FBA的法向量为=(a，b，c)，
则
取b=1，得平面FBA的一个法向量为=(-，1，0)，
∴
设平面ABD与平面的夹角为θ，则
∴平面ABD与平面夹角的余弦值为.
【小问2详解】
假设在线段AD上存在M(x，y，z)，使得平面，
设(0≤λ≤1)，则(x，y+，z)=(-1，，0)，即(x，y+，z)=(-λ，，0)，
∴，，z=0，
∴，
是平面的一个法向量
由∥，得，此方程无解.
∴线段AD上不存点M，使得平面.

22、（1）
（2）
【解析】（1）利用与的关系求数列的通项公式；
（2）利用错位相减法求和即可.
【小问1详解】
因为，故当时，，
两式相减得，
又由题设可得，
从而的通项公式为：；
【小问2详解】
因为，
，
两式相减得：
所以.