湖北省武汉市部分学校2025年数学高一上期末综合测试试题含解析.doc

湖北省武汉市部分学校2025年数学高一上期末综合测试试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知集合，，则（）
A. B.
C. D.
2．设函数的定义域，函数的定义域为，则（ ）
A. B.
C. D.
3．在数学史上，一般认为对数的发明者是苏格兰数学家——纳皮尔（Napier，1550-1617年）．在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科．可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间．纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数．在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法．让我们来看看下面这个例子： 
1
2
3
4
5
6
7
8
…
14
15
…
27
28
29
2
4
8
16
32
64
128
256
…
16384
32768
…
134217728
268435356
536870912
这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂．如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现.比如，计算64×256的值，就可以先查第一行的对应数字:64对应6，256对应8，然后再把第一行中的对应数字加和起来：6＋8＝14；第一行中的14，对应第二行中的16384，所以有：64×256＝16384,按照这样的方法计算：16384×32768=
A.134217728 B.268435356
C.536870912 D.513765802
4．条件p：|x|>x，条件q：，则p是q的（）
A.充要条件 B.既不充分也不必要条件
C.必要不充分条件 D.充分不必要条件
5．在下列四组函数中，与表示同一函数的是（）
A.，
B.，
C.，
D.，
6．如图，在平面四边形ABCD，，，，．若点E为边上的动点，则的取值范围为（）

A. B.
C. D.
7．已知集合，，则
A. B.
C. D.
8．设是两个不同的平面，是直线且，，若使成立，则需增加条件（ ）
A.是直线且， B.是异面直线，
C.是相交直线且， D.是平行直线且，
9．若函数，，则函数的图像经过怎样的变换可以得到函数的图像
①先向左平移个单位，再将横坐标缩短到原来的倍，纵坐标保持不变.
②先向左平移个单位，再将横坐标缩短到原来的倍，纵坐标保持不变.
③将横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位，纵坐标保持不变.
④将横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位，纵坐标保持不变.
A.①③ B.①④
C.②③ D.②④
10．若，，则的终边在（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若，则_____
12．在平行四边形中，为上的中点，若与对角线相交于，且，则__________
13．已知是第四象限角且，则______________.
14．已知是定义在R上的奇函数，当时，，则当时，______
15．函数的图象必过定点___________
16．有下列四个说法：
①已知向量，，若与的夹角为钝角，则；
②若函数的图象关于直线对称，则；
③函数在上单调递减，在上单调递增；
④当时，函数有四个零点
其中正确的是___________（填上所有正确说法的序号）
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数，其中.
（1）当时，求的值域和单调区间；
（2）若存在单调递增区间，求a的取值范围.
18．已知函数，.
（1）设函数，求函数在区间上的值域；
（2）定义表示中较小者，设函数.
①求函数的单调区间及最值；
②若关于的方程有两个不同的实根，求实数的取值范围.
19．设，为两个不共线的向量，若.
（1）若与共线，求实数的值；
（2）若为互相垂直的单位向量，且，求实数的值.
20．已知函数(，且).
（1）判断函数的奇偶性，并予以证明；
（2）求使的x的取值范围.
21．已知函数
（1）求的单调增区间；
（2）当时，求函数最大值和最小值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】解对数不等式求得集合，由此判断出正确选项.
【详解】，所以，
所以没有包含关系，
所以ACD选项错误，B选项正确.
故选：B
2、B
【解析】求出两个函数的定义域后可求两者的交集.
【详解】由得，由得，
故，
故选：B.
【点睛】本题考查函数的定义域和集合的交，函数的定义域一般从以下几个方面考虑：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次根号（，为偶数）中，；
（3）零的零次方没有意义；
（4）对数的真数大于零，底数大于零且不为1.
3、C
【解析】先找到16384与32768在第一行中的对应数字，进行相加运算，再找和对应第二行中的数字即可.
【详解】由已知可知，要计算16384×32768，先查第一行的对应数字: 16384对应14，32768对应15，然后再把第一行中的对应数字加起来：14＋15＝29，对应第二行中的536870912，
所以有：16384×32768＝536870912,
故选C.
【点睛】本题考查了指数运算的另外一种算法，关键是认真审题，理解题意，属于简单题.
4、D
【解析】解不等式得到p：，q：或，根据推出关系得到答案.
【详解】由得：，所以p：，而，解得：或，故q：或，因为或，且或，故p是q的充分不必要条件
故答案为：D
5、B
【解析】根据题意，先看函数的定义域是否相同，再观察两个函数的对应法则是否相同，即可得到结论.
【详解】对于A中，函数的定义域为，而函数的定义域为，所以两个函数不是同一个函数；
对于B中，函数的定义域和对应法则完全相同，所以是同一个函数；
对于C中，函数的定义域为，而函数的定义域为，但是解析式不一样，所以两个函数不是同一个函数；
对于D中，函数的定义域为，
而函数的定义域为，所以不是同一个函数，
故选:B.
6、A
【解析】由已知条件可得，设，则，由，展开后，利用二次函数性质求解即可.
【详解】∵
,
因为，，，
所以，
连接，因为，

所以≌，
所以，
所以，则，
设，则，
∴，，，，
所以，
因为，
所以.
故选：A
7、C
【解析】先写出A的补集，再根据交集运算求解即可.
【详解】因为，所以，故选C.
【点睛】本题主要考查了集合的补集，交集运算，属于容易题.
8、C
【解析】要使成立，需要其中一个面的两条相交直线与另一个面平行，
是相交直线且，，，，
由平面和平面平行的判定定理可得.
故选C.
9、A
【解析】依次判断四种变换方式的结果是否符合题意，选出正确变换
【详解】函数，先向左平移个单位，再将横坐标缩短到原来的倍，函数变为，所以①合题意；先向左平移个单位，再将横坐标缩短到原来的倍，函数变为，所以②不合题意；将横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位，函数变为，所以③合题意；将横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位，函数变为，所以④不合题意，故选择A
【点睛】在进行伸缩变换时，横坐标变为原来的倍；
向左或向右进行平移变换注意平移单位要加或减在“”上
10、D
【解析】根据同角三角函数关系式,化简,结合三角函数在各象限的符号,即可判断的终边所在的象限.
【详解】根据同角三角函数关系式

而
所以
故的终边在第四象限
故选:D
【点睛】本题考查了根据三角函数符号判断角所在的象限,属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】首先求函数，再求的值.
【详解】设，则
所以，即，，
.
故答案为：
12、3
【解析】由题意如图：

根据平行线分线段成比例定理，可知，又因为，所以根据三角形相似判定方法可以知道
∵为的中点
∴相似比为
∴
∴
故答案为3
13、
【解析】直接由平方关系求解即可.
【详解】由是第四象限角，可得.
故答案为：.
14、
【解析】根据奇函数的性质求解
【详解】时，，是奇函数，
此时
故答案为：
15、
【解析】f(x)=k(x－1)－ax－1，x=1时，y=f(x)=-1，∴图象必过定点（1，－1）.
16、②③
【解析】①：根据平面向量夹角的性质进行求解判断；
②：利用函数的对称性，结合两角和（差）的正余弦公式进行求解判断即可；
③：利用导数的性质、函数的奇偶性进行求解判断即可.
④：根据对数函数的性质，结合零点的定义进行求解判断即可
【详解】①：因为与的夹角为钝角，所以有且与不能反向共线，
因此有，当与反向共线时，
，
所以有且，因此本说法不正确；
②：因为函数的图象关于直线对称，
所以有，即，
于是有：
，
化简，得，因为，所以，因此本说法正确；
③：因为，
所以函数偶函数，
，当时，单调递增，
即在上单调递增，又因为该函数是偶函数，所以该在上单调递减，因此本说法正确；
④：，
问题转化为函数与函数的交点个数问题，如图所示：

当时，，此时有四个交点，
当时，，所以交点的个数不是四个，因此本说法不正确，
故答案为：②③

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析（2）
【解析】（1）利用换元法设，求出的范围，再由对数函数的性质得出值域，再结合复合函数的单调性得出的单调区间；
（2）分别讨论，两种情况，结合复合函数的单调性以及二次函数的性质得出a的取值范围.
【详解】（1）当时，
设，由，解得
即函数的定义域为，此时
则，即的值域为
要求单调增（减）区间，等价于求的增（减）区间
在区间上单调递增，在区间上单调递减
在区间上单调递增，在区间上单调递减
（2）当时，存在单调递增区间，则函数存在单调递增区间
则判别式，解得或（舍）
当时，存在单调递增区间，则函数存在单调递减区间
则判别式，解得或，此时不成立
综上，a的取值范围为
【点睛】关键点睛：本题主要考查了对数型复合函数的单调性问题，解题的关键在于利用复合函数单调性的性质进行求解.
18、 (1)；(2)①.答案见解析；②..
【解析】（1）为上的单调增函数，故值域为.（2）计算得，由此得到的单调性和最值，而有两个不同的根则可转化为与的函数图像有两个不同的交点去考虑.
解析：（1）∵函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递增，∴函数在区间上单调递增，故，即，所以函数在区间上的值域为.
（2）当时，有，故；当时，，故，故，由（1）知：在区间上单调递增，在区间上单调递减，故，∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为.有最大值4，无最小值.
②∵在上单调递减，∴.又在上单调递增，∴.∴要使方程有两个不同的实根，则需满足.即的取值范围是.

点睛：求函数值域，优先函数的单调性，对于形如的函数，其图像是两个图像中的较低者.
19、（1）－；
（2）2.
【解析】(1)若与共线，则存在实数，使得，根据，为两个不共线的向量可列出关于k和λ的方程组，求解方程组即可；
(2)若，则，代入，根据向量数量积运算律即可计算.
小问1详解】
若与共线，则存在实数，使得，即，
则且，解得；
小问2详解】
由题可知，，，
若，则，
变形可得：，
即.
20、（1）是奇函数，证明见解析；（2）.
【解析】（1）先根据对数函数的定义得函数的定义域关于原点对称，再根据函数的奇偶性定义判断即可；
（2）由已知条件得，再分与两种情况讨论，结合对数函数的单调性列出不等式组，求出x的取值范围即可.
【详解】（1）函数是奇函数.
证明：要使函数的解析式有意义，
需的解析式都有意义，
即解得，
所以函数的定义域是，
所以函数的定义域关于原点对称.
因为

所以函数是奇函数.
（2）若，
即.
当时，有
解得；
当时，有
解得，
综上所述，当时，x的取值范围是，
当时，x的取值范围是.
【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有本题函数的奇偶性的判断与证明、对数函数的单调性、根据单调性解不等式，不用对参数进行讨论，属于中档题目.
21、（1）单调递增区间为；（2），.
【解析】（1）利用和差公式和倍角公式把化为，然后可解出答案；
（2）求出的范围，然后由正弦函数的知识可得答案.
【详解】（1）

由可得
单调递增区间为
（2），
即时，
即时，