2025年四川省乐山外国语学校高高一上数学期末考试模拟试题含解析.doc

2025年四川省乐山外国语学校高高一上数学期末考试模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设，且，则（ ）
A. B.10
C.20 D.100
2．已知幂函数的图象过点，则的值为（）
A. B.1
C.2 D.4
3．已知，，满足，则（ ）
A. B.
C. D.
4．已知函数的图像如图所示，则函数与在同一坐标系中的图像是（ ）

A. B.
C. D.
5．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，函数是满足的偶函数，且当时，，若函数有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
6．已知集合A={t2+s2|t，s∈Z}，且x∈A，y∈A，则下列结论正确的是
Ax+y∈A
B.x-y∈A
C.xy∈A
D.
7．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若，，则；②若，，，则；
③若，，则；④若，，则.
其中正确命题的序号是
A.① B.②和③
C.③和④ D.①和④
8．已知为常数，函数在内有且只有一个零点，则常数的值形成的集合是
A. B.
C. D.
9．已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
10．已知，则（ ）
A.a<b<c B.a<c<b
C.c<a<b D.b<c<a
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若集合，则满足的集合的个数是___________.
12．函数的定义域为_____________________
13．已知，，则函数的值域为______
14．若，则的最小值是___________，此时___________.
15．圆柱的侧面展开图是边长分别为的矩形，则圆柱的体积为_____________
16．若， ， .，则a，b，c的大小关系用“”表示为________________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知，，求，实数a的取值范围
18．已知函数，图象上两相邻对称轴之间的距离为；_______________；
（Ⅰ）在①的一条对称轴；②的一个对称中心；③的图象经过点这三个条件中任选一个补充在上面空白横线中，然后确定函数的解析式；
（Ⅱ）若动直线与和的图象分别交于、两点，求线段长度的最大值及此时的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19．现有三个条件：①对任意的都有；②不等式的解集为；③函数的图象过点.请你在上述三个条件中任选两个补充到下面的问题中，并求解(请将所选条件的序号填写在答题纸指定位置)
已知二次函数，且满足________(填所选条件的序号).
（1）求函数的解析式；
（2）设，若函数在区间上的最小值为3，求实数m的值.
20．已知，，计算：
（1）
（2）
21．某大学为了解学生对两家餐厅的满意度情况，从在两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行满意指数打分（满意指数是指学生对餐厅满意度情况的打分，分数设置为分.根据打分结果按，分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中餐厅满意指数在中有30人.

（1）求餐厅满意指数频率分布直方图中的值；
（2）利用样本估计总体的思想，估计餐厅满意指数和餐厅满意指数的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）；
参考公式：，其中为的平均数，分别为对应的频率.
（3）如果一名新来同学打算从两家餐厅中选择一个用餐，你建议选择哪个餐厅？说明理由.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】根据指数式与对数的互化和对数的换底公式，求得，，进而结合对数的运算公式，即可求解.
【详解】由，可得，，
由换底公式得，，
所以，
又因为，可得
故选：A.
2、C
【解析】设出幂函数的解析式，利用给定点求出解析式即可计算作答.
【详解】依题意，设，则有，解得，于得，
所以.
故选：C
3、A
【解析】将转化为是函数的零点问题，再根据零点存在性定理即可得的范围，进而得答案.
【详解】解：因为函数在上单调递减，所以；
；
因为满足，即是方程的实数根，
所以是函数的零点，
易知函数f(x)在定义域内是减函数，
因为，，
所以函数有唯一零点，即.
所以.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小，函数零点的取值范围，考查化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于将满足转化为是函数的零点，进而根据零点存在性定理即可得的范围.
4、B
【解析】由函数的图象可得，函数的图象过点 ，分别代入函数式， ，解得 ，函数与都是增函数，只有选项符合题意，故选B.
【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
5、B
【解析】把函数有3个零点，转化为有3个不同根，画出函数与的图象，转化为关于的不等式组求解即可.
【详解】由函数的图象与函数的图象关于直线对称，得，函数是最小正周期为2的偶函数，当时，，函数有3个零点，即有3个不同根，
画出函数与的图象如图：

要使函数与的图象有3个交点，则，且，即.∴ 实数的取值范围是.
故选：B.
6、C
【解析】∵集合A={t2+s2∣∣t,s∈Z}，
∴1∈A，2∈A，1+2=3∉A，故A“x+y∈A”错误；
又∵1−2=−1∉A，故B“x−y∈A”错误；
又∵,故D“∈A”错误；
对于C,由，设，且.
则
.
且，所以.
故选C.
7、A
【解析】结合直线与平面垂直的性质和平行判定以及平面与平面的位置关系，逐项分析，即可.
【详解】①选项成立，结合直线与平面垂直的性质，即可；②选项，m可能属于，故错误；③选项，m,n可能异面，故错误；④选项，该两平面可能相交，故错误，故选A.
【点睛】本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了平面与平面的位置关系，难度中等.
8、C
【解析】分析：函数在内有且只有一个零点，等价于，有一个根，函数与只有一个交点，此时，，
详解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，令，
，，

，
，

，
，
，
，
∵零点只有一个，
∴函数与只有一个交点，
此时，，
．故选C.
点睛：函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数有零点函数在轴有交点方程有根函数与有交点.
9、A
【解析】函数有三个零点，转化为函数的图象与直线有三个不同的交点，画出的图象，结合图象求解即可
【详解】因为函数有三个零点，
所以函数的图象与直线有三个不同的交点，
函数的图象如图所示，

由图可知，，
故选：A
10、A
【解析】
找中间量0或1进行比较大小，可得结果
【详解】，所以，
故选：A.
【点睛】此题考查利用对数函数、指数函数的单调性比较大小，属于基础题

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、4
【解析】求出集合，由即可求出集合的个数
【详解】因为集合，，
因为，故有元素0，3，且可能有元素1或2，
所以或或或
故满足的集合的个数为，
故答案为：
12、
【解析】，区间为.
考点：函数的定义域
13、
【解析】，
又，∴，∴
故答案为
14、 ①.1 ②.0
【解析】利用基本不等式求解.
【详解】因为，
所以,
当且仅当，即时，等号成立，
所以其最小值是1，此时0，
故答案为：1，0
15、或
【解析】有两种形式的圆柱的展开图,分别求出底面半径和高,分别求出体积.
【详解】圆柱的侧面展开图是边长为2a与a的矩形,
当母线为a时,圆柱的底面半径是,此时圆柱体积是；
当母线为2a时,圆柱的底面半径是,此时圆柱的体积是,
综上所求圆柱的体积是:或，
故答案为或;
本题考查圆柱的侧面展开图,圆柱的体积,容易疏忽一种情况,导致错误.
16、cab
【解析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果
【详解】，即；
，即；
，即，
综上可得，
故答案为：.
【点睛】方法点睛：解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、
【解析】由题意利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性，求出实数的取值范围
【详解】解：因为，所以，所以
因为，所以，所以
又因为，所以．因为，所以
又因为，所以．综上，实数a取值范围是
18、（Ⅰ）选①或②或③，；（Ⅱ）当或时，线段的长取到最大值.
【解析】（Ⅰ）先根据题中信息求出函数的最小正周期，进而得出.
选①，根据题意得出，结合的取值范围可求出的值，进而得出函数的解析式；
选②，根据题意得出，结合的取值范围可求出的值，进而得出函数的解析式；
选③，根据题意得出，结合的取值范围可求出的值，进而得出函数的解析式；
（Ⅱ）令，利用三角恒等变换思想化简函数的解析式，利用正弦型函数的基本性质求出在上的最大值和最小值，由此可求得线段长度的最大值及此时的值.
【详解】（Ⅰ）由于函数图象上两相邻对称轴之间的距离为，则该函数的最小正周期为，，此时.
若选①，则函数的一条对称轴，则，
得，，当时，，
此时，；
若选②，则函数的一个对称中心，则，
得，，当时，，
此时，；
若选③，则函数的图象过点，则，
得，，，
，解得，此时，.
综上所述，；
（Ⅱ）令，，
，，当或时，即当或时，
线段的长取到最大值.
【点睛】本题考查利用三角函数的基本性质求解析式，同时也考查了余弦型三角函数在区间上最值的计算，考查计算能力，属于中等题.
19、（1）；（2）.
【解析】（1）条件①，求出代入根据恒成立可得；条件②由一元二次不等式解的性质可得；条件③代入可得；分别根据选择①②，①③，②③，均可通过联立方程组可得结果；
（2）求出函数的对称轴，将对称轴和区间的端点进行比较，根据函数的单调性列出关于的方程解出即可.
【详解】（1）条件①：因为，
所以
，
即对任意的x恒成立，
所以，解得.
条件②：因为不等式的解集为，
所以，即.
条件③：函数的图象过点，所以.
选择条件①②：，，，此时；
选择条件①③：，
则，，，此时；
选择条件②③：，
则，，，此时.
（2）由（1）知，其对称轴为，
①当，即时，
，解得；
②当，即时，
，解得(舍)；
③当，即时，
，无解.
综上所述，所求实数m的值为.
【点睛】二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析.
20、（1）；（2）.
【解析】（1）先把化为，然后代入可求；
（2）先把化为，然后代入可求.
【详解】（1）；
（2）
.
【点睛】本题主要考查齐次式的求值问题，齐次式一般转化为含有正切的式子，结合正切值可求.
21、（1），
（2）餐厅满意指数的平均数和方差分别为，；餐厅满意指数的平均数和方差分别为，
（3）答案见解析
【解析】（1）根据频率的含义和性质列方程，即可解得：，；
（2）根据平均数和方差的定义，然后运算即可；
（3）平均数和方差在实际生活中的应用，平均满意度越高，就越会受到欢迎.
【小问1详解】
因为餐厅满意指数在中有30人，则有：
解得：
根据总的频率和为1，则有：
解得：
综上可得：，
【小问2详解】
设餐厅满意指数的平均数和方差分别为餐厅满意指数的平均数和方差分别为，则有：
，
，
，
，
综上可得：餐厅满意指数的平均数和方差分别为，；餐厅满意指数的平均数和方差分别，
【小问3详解】
答案一：餐厅满意指数的平均数为，方差为，餐厅满意指数的平均数为，方差为，因为，所以推荐餐厅；
答案二：餐厅满意指数在的频率为，在的频率为，餐厅满意指数在和的频率都为，所以推荐餐厅；
（答案不唯一，符合实际情况即可）