2026届河南省开封高级中学数学高一第一学期期末联考模拟试题含解析.doc

2026届河南省开封高级中学数学高一第一学期期末联考模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．下列各组中的两个函数表示同一函数的是（　　）
A. B.y＝lnx2，y＝2lnx
C D.
2．已知集合，．则（）
A. B.
C. D.
3．不论a取何正实数，函数恒过点（　　）
A. B.
C. D.
4．函数的零点个数为（）
A.0 B.1
C.2 D.3
5．已知函数部分图象如图所示，则

A. B.
C. D.
6．若第三象限角，且，则（）
A. B.
C. D.
7．已知的定义域为，则函数的定义域为
A. B.
C. D.
8．若，则（）
A. B.
C.或1 D.或
9．已知点在函数的图象上，则下列各点也在该函数图象上的是（）
A. B.
C. D.
10．已知，是两个不同的平面，给出下列四个条件：
①存在一条直线，使得，；
②存在两条平行直线，，使得，，，；
③存在两条异面直线，，使得，，，；
④存在一个平面，使得，
其中可以推出的条件个数是
A.1 B.2
C.3 D.4
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域是，则称为“倍缩函数”．若函数为 “倍缩函数”，则实数的取值范围是_______
12．定义域为上的函数满足，且当时，，若，则a的取值范围是______
13．已知函数，若a、b、c互不相等，且，则abc的取值范围是______
14．已知，若，则________
15．幂函数的图象过点，则___________.
16．已知正四棱锥的高为4，侧棱长为3，则该棱锥的侧面积为___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知由方程kx2－8x＋16＝0的根组成的集合A只有一个元素，试求实数k的值
18．已知函数，且的图象经过点
（1）求的值；
（2）求在区间上的最大值；
（3）若，求证：在区间内存在零点
19．已知函数，.
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.
20．已知直线经过直线与直线的交点，并且垂直于直线
（Ⅰ）求交点的坐标；
（Ⅱ）求直线的方程
21．计算：
（1）
（2）
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】逐项判断函数的定义域与对应法则是否相同，即可得出结果.
【详解】对于A， 定义域为，而定义域为，定义域相同，但对应法则不同，故不是同一函数，排除A；
对于B，定义域，而定义域为，所以定义域不同，不是同一函数，排除B；
对于C，  定义域为，而定义域为，所以定义域不同，不是同一函数，排除C；
对于D，与的定义域均为，且，对应法则一致，所以是同一函数，D正确.
故选：D
2、C
【解析】直接利用交集的运算法则即可.
【详解】∵，，
∴.
故选：.
3、A
【解析】令指数为0，即可求得函数恒过点
【详解】令x+1=0，可得x=-1，则
∴不论取何正实数，函数恒过点（-1，-1）
故选A
【点睛】本题考查指数函数的性质，考查函数恒过定点，属于基础题
4、B
【解析】作出函数图像，数形结合求解即可.
【详解】解：根据题意，，故，
故函数与的图像如图，

由于函数与的图像只有一个交点，
所以方程有且只有一个实数根，
所以函数的零点个数为1个.
故选：B
5、C
【解析】由图可以得到周期，然后利用周期公式求，再将特殊点代入即可求得的表达式，结合的范围即可确定的值.
【详解】由图可知，，则，所以，
则.将点代入得，
即 ，解得，
因为，所以.答案为C.
【点睛】已知图像求函数解析式的问题：
（1）：一般由图像求出周期，然后利用公式求解.
（2）：一般根据图像的最大值或者最小值即可求得.
（3）：一般将已知点代入即可求得.
6、D
【解析】由已知结合求出即可得出.
【详解】因为第三象限角，所以，
因为，且，
解得或，
则.
故选：D.
7、B
【解析】因为函数的定义域为，故函数有意义只需即可，解得，选B
考点：1、函数的定义域的概念；2、复合函数求定义域
8、A
【解析】将已知式同分之后，两边平方，再根据可化简得方程，解出或1，根据，得出.
【详解】由，
两边平方得

，
或1，
，
.
故选：A.
【点睛】本题考查了同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正弦函数公式，属于中档题，要注意对范围的判断.
9、D
【解析】由题意可得，再依次验证四个选项的正误即可求解.
【详解】因为点在函数的图象上，
所以，
，故选项A不正确；
，故选项B不正确；
，故选项C不正确；
，故选项D正确.
故选：D
10、B
【解析】当，不平行时，不存在直线与，都垂直，，，故正确；
存在两条平行直线，，，，，，则，相交或平行，所以不正确；
存在两条异面直线，，，，，，由面面平行的判定定理得，故正确；
存在一个平面，使得，，则，相交或平行，所以不正确；
故选

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】由题意得，函数是增函数，构造出方程组，利用方程组的解都大于0，求出t的取值范围.
【详解】因为函数为“倍缩函数”，即满足存在，使在上的值域是，
由复合函数单调性可知函数在上是增函数
所以，则，即
所以方程有两个不等实根，且两根都大于0.
令，则，所以方程变为：.
则，解得
所以实数的取值范围是.
故答案为：
12、
【解析】根据，可得函数图象关于直线对称，当时，，可设，根据，即可求解；
【详解】解：，的函数图象关于直线对称，
函数关于y轴对称，
当时，，
那么时，，
可得，
由，
得

解得：；
故答案为.
【点睛】本题考查了函数的性质的应用及不等式的求解，属于中档题.
13、
【解析】画出函数的图象，根据互不相等，且，我们令，我们易根据对数的运算性质，及c的取值范围得到abc的取值范围，即可求解
【详解】由函数函数，可得函数的图象，
如图所示：
若a，b，c互不相等，且，
令，则，，
故，
故答案为

【点睛】本题主要考查了对数函数图象与性质的综合应用，其中画出函数图象，利用图象的直观性，数形结合进行解答是解决此类问题的关键，着重考查了数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题
14、1
【解析】由已知条件可得，构造函数，求导后可判断函数在上单调递增，再由，得，从而可求得答案
【详解】由题意得，
，
令，则，
所以在上单调递增，
因为，
所以，所以，
故答案为：1
15、
【解析】将点的坐标代入解析式可解得结果.
【详解】因为幂函数的图象过点，
所以，解得.
故答案为：
16、
【解析】由高和侧棱求侧棱在底面射影长，得底面边长，从而可求得斜高，可得侧面积
【详解】如图，正四棱锥，是高，是中点，则是斜高，
由已知，，则，
是正方形，∴，，，
侧面积侧
故答案为：

【点睛】关键点点睛：本题考查求正棱锥的侧面积．在正棱锥计算中，解题关键是掌握四个直角三角形：如解析中图中，正棱锥的几乎所有量在这四个直角三角形中都有反应

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、k＝0或1.
【解析】讨论当k＝0时和当k≠0时，两种情况，其中当k≠0时，只需Δ＝64－64k＝0即可.
试题解析：
当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，
所以x＝2，此时集合A中只有一个元素2.
当k≠0时，要使一元二次方程kx2－8x＋16＝0有一个实根，
需Δ＝64－64k＝0，即k＝1.
此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A中只有一个元素4.
综上可知k＝0或1.
18、（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】（1）将点代入解析式求解；（2）根据函数单调性求解最大值；（3）零点存在性定理证明在区间内存在零点.
【小问1详解】
因为函数，且的图象经过点，
所以.
所以.
【小问2详解】
因为，所以.
所以在区间上单调递减.
所以在区间上的最大值是.
所以.
所以在区间上的最大值是.
【小问3详解】
因为，
所以.
因为，，
所以，又在区间上的图象是一条连续不断的曲线，由零点存在性定理可得：在区间内存在零点
19、 (1) ;(2) ,.
【解析】（1）将函数化为的形式后可得最小正周期．（2）由，可得，将作为一个整体，结合图象可得函数的最值
试题解析：
（1）

∴的最小正周期.
（2）∵，
∴
∴当，即时，，
当，即时，.
20、 (Ⅰ) ；（Ⅱ）.
【解析】（I）联立两条直线的方程，解方程组可求得交点坐标，已知直线的斜率为，和其垂直的直线斜率是，根据点斜式可写出所求直线的方程.
试题解析：（Ⅰ）由得
所以(，).
（Ⅱ）因为直线与直线垂直，
所以，
所以直线的方程为.
21、（1）
（2）
【解析】（1）根据分数指数幂的运算法则计算可得；
（2）根据对数的运算法则及对数恒等式计算可得；
【小问1详解】
解：

【小问2详解】
解：