福建省霞浦县第一中学2025-2026学年高一数学第一学期期末学业质量监测试题含解析.doc

福建省霞浦县第一中学2025-2026学年高一数学第一学期期末学业质量监测试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1． “x＝1”是“x2－4x＋3＝0”的
A.充分不必要条件
B必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2．已知函数，则下列区间中含有的零点的是（ ）
A. B.
C. D.
3．若函数和．分别由下表给出：

0
1

1
0

1
2
3

0
1

则不等式的解集为（）
A. B.
C. D.
4．在下列函数中，最小值为2的是（ ）
A.（且） B.
C. D.
5．函数在区间（0,1）内的零点个数是
A.0 B.1
C.2 D.3
6．已知扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角的弧度数是（）
A. B.
C. D.或
7．已知，则的值为（）
A. B.
C.1 D.2
8．函数是（ ）
A.奇函数，且上单调递增 B.奇函数，且在上单调递减
C.偶函数，且在上单调递增 D.偶函数，且在上单调递减
9．设，则“”是“”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
10．已知扇形的周长为8，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的面积为（）
A.2 B.4
C.6 D.8
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．边长为2的菱形中，，将沿折起，使得平面平面，则二面角的余弦值为__________
12．二次函数的部分对应值如下表：

3
4

21
12
5
0
5
则关于x不等式的解集为__________
13．不等式的解集为_____________.
14．如图，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________

15．若函数在上单调递增，则a的取值范围为______
16．已知函数则的值等于____________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米.

（1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值；
（2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.
18．已知函数f(x)＝coscos－sin xcos x＋
(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；
(2)求函数f(x)单调递增区间
19．假设有一套住房从2002年的20万元上涨到2012年的40万元.下表给出了两种价格增长方式，其中是按直线上升的房价，是按指数增长的房价，是2002年以来经过的年数.

0
5
10
15
20
万元
20

40

万元
20

40

（1）求函数的解析式;
（2）求函数的解析式；
（3）完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图像，然后比较两种价格增长方式的差异.
20．某保险公司决定每月给推销员确定具体的销售目标，对推销员实行目标管理.销售目标确定的适当与否，直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性，为此，该公司当月随机抽取了50位推销员上个月的月销售额（单位：万元），绘制成如图所示的频率分布直方图：

（1）①根据图中数据，求出月销售额在小组内的频率；
②根据直方图估计，月销售目标定为多少万元时，能够使的推销员完成任务？并说明理由；
（2）该公司决定从月销售额为和的两个小组中，选取2位推销员介绍销售经验，求选出的推销员来自同一个小组的概率.
21．已知函数，，图象上相邻两个最低点的距离为
（1）若函数有一个零点为，求的值；
（2）若存在，使得（a）（b）（c）成立，求的取值范围
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】将代入可判断充分性,求解方程可判断必要性,即可得到结果.
【详解】将代入中可得,即“”是“”的充分条件；
由可得,即或,所以“”不是“”的必要条件,
故选:A.
【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判定，属于基础题.
2、C
【解析】分析函数的单调性，利用零点存在定理可得出结论.
【详解】由于函数为增函数，函数在和上均为增函数，
所以，函数在和上均为增函数.
对于A选项，当时，，，此时，，
所以，函数在上无零点；
对于BCD选项，当时，，，
由零点存在定理可知，函数的零点在区间内.
故选：C.
3、C
【解析】根据题中的条件进行验证即可.
【详解】当时，有成立，故是不等式的解；
当时，有不成立，故不是不等式的解；
当时，有成立，故是不等式的解.
综上：可知不等式的解集为.
故选：C
4、C
【解析】根据基本不等式的使用条件，对四个选项分别进行判断，得到答案.
【详解】选项A，当时，，所以最小值为不正确；
选项B，因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，而，所以等号不成立，所以不正确；
选项C， 因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以正确；
选项D，因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，而，所以不正确.
故选：C.
【点睛】本题考查基本不等式求和的最小值，基本不等式的使用条件，属于简单题.
5、B
【解析】,在范围内，函数为单调递增函数．又，，，故在区间存在零点，又函数为单调函数，故零点只有一个
考点：导函数，函数零点
6、C
【解析】根据扇形面积公式，求出扇形的半径，再由弧长公式，即可求出结论.
【详解】因为扇形的弧长为4，面积为2，
设扇形的半径为，则，
解得，则扇形的圆心角的弧度数为.
故选:C.
【点睛】本题考查扇形面积和弧长公式应用，属于基础题.
7、A
【解析】先使用诱导公式，将要求的式子进行化简，然后再将带入即可完成求解.
【详解】由已知使用诱导公式化简得：，
将代入即.
故选：A.
8、A
【解析】根据函数奇偶性和单调性的定义判定函数的性质即可.
【详解】解：根据题意，函数，
有，所以是奇函数，选项C，D错误；
设，则有，
又由，则，，
则，则在上单调递增，选项A正确，选项B错误.
故选：A．
9、D
【解析】若，则，故不充分；若，则，而，故不必要，故选D.
考点：本小题主要考查不等式的性质，熟练不等式的性质是解答好本类题目的关键.
10、B
【解析】由给定条件求出扇形半径和弧长，再由扇形面积公式求出面积得解.
【详解】设扇形所在圆半径r，则扇形弧长，而，
由此得，所以扇形的面积.
故选：B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】作，则为中点
由题意得面
作，连
则为二面角的平面角
故，，

点睛：本题考查了由平面图形经过折叠得到立体图形，并计算二面角的余弦值，本题关键在于先找出二面角的平面角，依据定义先找出平面角，然后根据各长度，计算得结果
12、
【解析】根据所给数据得到二次函数的对称轴，即可得到，再根据函数的单调性，即可得解；
【详解】解：∵，∴对称轴为，
∴，
又∵在上单调递减，在上单调递增，
∴的解集为
故答案为：
13、
【解析】将不等式转化为，利用指数函数的单调性求解.
【详解】不等式为，
即，
解得，
所以不等式的解集为，
故答案为：
14、2
【解析】证明平面得到，故与以为直径的圆相切，计算半径得到答案.
详解】PA⊥平面ABCD，平面ABCD，故，PQ⊥QD，，
故平面，平面，故，
在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，即与以为直径的圆相切，
，故间的距离为半径，即为1，故.
故答案为：2
15、
【解析】根据函数的单调性得到，计算得到答案.
【详解】函数在上单调递增，则
故答案为：
【点睛】本题考查了函数的单调性，意在考查学生的计算能力.
16、18
【解析】根据分段函数定义计算
【详解】
故答案为：18

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）最大值为16米；（2）最小值为平方米.
【解析】（1）设草坪的宽为x米，长为y米，依题意列出不等关系，求解即可；
（2）表示，利用均值不等式，即得最小值.
【详解】（1）设草坪的宽为x米，长为y米，由面积均为400平方米，得.
因为矩形草坪的长比宽至少大9米，所以，所以，解得.
又，所以.
所以宽的最大值为16米.
（2）记整个的绿化面积为S平方米，由题意可得
（平方米）
当且仅当米时，等号成立.
所以整个绿化面积的最小值为平方米.
18、（1）最小正周期为T＝π，最大值为（2），k∈Z
【解析】（Ⅰ）

函数的最小正周期为 ，
函数的最大值为
（II）由
得
函数的 单调递增区间为
19、（1）（2）（3）详见解析
【解析】（1）因为是按直线上升的房价,设,由表格可知,,进而求解即可；
（2）因为是按指数增长的房价,设,由表格可知,,进而求解即可；
（3）由（1）（2）补全表格,画出图像,进而分析即可
【详解】（1）因为是按直线上升的房价,设,
由,,
可得,
即.
（2）因为是按指数增长的房价,设,
由,
可得,
即.
（3）由（1）和（2）,当时,；
当时,；当时,,
则表格如下:

0
5
10
15
20
万元
20
30
40
50
60
万元
20

40

80
则图像为:

根据表格和图像可知:
房价按函数呈直线上升,每年的增加量相同,保持相同的增长速度；按函数呈指数增长,每年的增加量越来越大,开始增长慢,然后会越来越快,但保持相同的增长比例.
【点睛】本题考查一次函数、指数型函数在实际中的应用,考查理解分析能力
20、（1）①；②17，理由见解析
（2）
【解析】（1）①利用各组的频率和为1求解，②由题意可得的推销员不能完成该目标，而前两组的频率和，前三组的频率和为，所以月销售目标应在第3组，从而可求得结果，
（2）由频率分布直方图结合题意可得待选的推销员一共有4人，然后利用列举法求解概率
【小问1详解】
①月销售额在小组内的频率为
.
②若要使的推销员能完成月销售额目标，则意味着的推销员不能完成该目标.根据题图所示的频率分布直方图知，和两组的频率之和为0.18，故估计月销售额目标应定为（万元）.
【小问2详解】
根据直方图可知，月销售额为和的频率之和为0.08，由可知待选的推销员一共有4人.
设这4人分别为，则样本空间为{}，一共有6种情况
其中2人来自同一组的情况有2种
所以选出的推销员来自同一个小组的概率.
21、（1）；（2）.
【解析】（1）化简函数解析式，根据周期计算，根据零点计算；
（2）求出在，上的最值，解不等式得出的范围
【详解】（1），
的图象上相邻两个最低点的距离为，
的最小正周期为：，故
是的一个零点，
，，
（2），
若，，则，，
，
故在，上的最大值为，最小值为，
若存，使得（a）（b）（c）成立，
则，

【点睛】关键点点睛：本题第二问属于存在，使不等式成立，即转化为，转化为三角函数求最值.