甘肃省白银市会宁县四中2025年数学高二第一学期期末调研模拟试题含解析.doc

甘肃省白银市会宁县四中2025年数学高二第一学期期末调研模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知椭圆的离心率为.双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为
A. B.
C. D.
2．直线的斜率为（）
A.135° B.45°
C.1 D.-1
3．已知函数，则（）
A. B.
C. D.
4．在平面直角坐标系中，直线+的倾斜角是（）
A. B.
C. D.
5．接种疫苗是预防控制新冠疫情最有效的方法，我国自2021年1月9日起实施全民免费接种新冠疫苗并持续加快推进接种工作．某地为方便居民接种，共设置了A、B、C三个新冠疫苗接种点，每位接种者可去任一个接种点接种．若甲、乙两人去接种新冠疫苗，则两人不在同一接种点接种疫苗的概率为（）
A. B.
C. D.
6．执行如图所示的程序框图，如果输入，那么输出的a值为（）

A.3 B.27
C.-9 D.9
7．设，，且，则等于（）
A. B.
C. D.
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，半焦距为c，过点作一条渐近线的垂线，垂足为P，若的面积为，则该双曲线的离心率为（ ）
A.3 B.2
C. D.
9．现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重（）斤
A.6 B.7
C.9 D.15
10．设曲线在点处的切线与x轴、y轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则的面积等于（）
A.1 B.2
C.4 D.6
11．若x，y满足约束条件，则的最大值为（ ）
A.1 B.0
C.−1 D.−3
12．已知是上的单调增函数，则的取值范围是
A.﹣1b2 B.﹣1b2
C.b﹣2或b2 D.b﹣1或b2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．等差数列的公差，是其前n项和，给出下列命题：若，且，则和都是中的最大项；‚给定n，对于一些，都有；ƒ存在使和同号；„.其中正确命题的序号为___________.
14．函数，则函数在处切线的斜率为_______________.
15．已知O为坐标原点，椭圆T：，过椭圆上一点P的两条直线PA，PB分别与椭圆交于A，B，设PA，PB的中点分别为D，E，直线PA，PB的斜率分别是，，若直线OD，OE的斜率之和为2，则的最大值为_______
16．某学生到某工厂进行劳动实践，利用打印技术制作模型.如图，该模型为一个大圆柱中挖去一个小圆柱后剩余部分（两个圆柱底面圆的圆心重合），大圆柱的轴截面是边长为的正方形，小圆柱的侧面积是大圆柱侧面积的一半，打印所用原料的密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.（取）

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆：过点，且离心率
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设的左、右焦点分别为，，过点作直线与椭圆交于，两点，，求的面积
18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线：，点，过点的直线l与抛物线交于A，B两点：当l与抛物线的对称轴垂直时，

（1）求抛物线的标准方程；
（2）若点A在第一象限，记的面积为，的面积为，求的最小值
19．（12分）已知圆C：
（1）若点，求过点的圆的切线方程；
（2）若点为圆的弦的中点，求直线的方程
20．（12分）在棱长为的正方体中，、分别为线段、的中点.

（1）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
（2）求直线到平面的距离.
21．（12分）已知命题p：函数有零点；命题，
（1）若命题p，q均为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若为真命题，为假命题，求实数a的取值范围
22．（10分）已知抛物线C的方程是.
（1）求C的焦点坐标和准线方程；
（2）直线l过抛物线C的焦点且倾斜角为，与抛物线C的交点为A，B，求的长度.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】由题意，双曲线的渐近线方程为，
∵以这四个交点为顶点的四边形为正方形，其面积为16，故边长为4，
∴（2，2）在椭圆C：上，
∴，
∵，∴，∴，
∴
∴椭圆方程为：.
故选D.
考点：椭圆的标准方程及几何性质；双曲线的几何性质.
2、D
【解析】由斜截式直接看出直线斜率.
【详解】由题意得：直线斜率为-1，
故选：D
3、B
【解析】求出，代值计算可得的值.
【详解】因为，则，故.
故选：B.
4、B
【解析】由直线方程得斜率，从而得倾斜角
【详解】由直线方程知直角斜率为，在上正切值为1的角为，即为倾斜角
故选：B
5、C
【解析】利用古典概型的概率公式可求出结果
【详解】由题知,基本事件总数为
甲、乙两人不在同一接种点接种疫苗的基本事件数为
由古典概型概率计算公式可得所求概率
故选:
6、B
【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环累乘值，并判断满足时输出的值
【详解】解：模拟执行程序框图，可得
，时，不满足条件，；
不满足条件，；
不满足条件，；
满足条件，退出循环，输出的值为27
故选：
7、A
【解析】由空间向量垂直的坐标表示可求得实数的值.
【详解】由已知可得，解得.
故选：A.
8、D
【解析】根据给定条件求出，再计算面积列式计算作答.
【详解】依题意，点，由双曲线对称性不妨取渐近线，即，
则，令坐标原点为O，中，，
又点O是线段的中点，因此，，则有，即，，，
所以双曲线的离心率为
故选：D
9、D
【解析】设该等差数列为，其公差为，根据题意和等差数列的性质可得，进而求出结果.
【详解】设该等差数列为，其公差为，
由题意知，，
由，解得，
所以.
故选：D
10、C
【解析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，写出切线方程，分别求得切线在两坐标轴上的坐标，再由三角形面积公式求解
【详解】由，得，
，又切线过点，
曲线在点处的切线方程为，
取，得，取，得
的面积等于
故选：C
11、B
【解析】先画出可行域，由，得，作出直线，过点时，取得最大值，求出点的坐标代入目标函数中可得答案
【详解】不等式组表示的可行域如图所示，由，得，作出直线，过点时，取得最大值，
由，得，即，
所以的最大值为，
故选：B

12、A
【解析】利用三次函数的单调性，通过其导数进行研究，求出导数，利用其导数恒大于0即可解决问题
【详解】∵
∴
∵函数是上的单调增函数
∴在上恒成立
∴，即.
∴
故选A.
【点睛】可导函数在某一区间上是单调函数，实际上就是在该区间上（或）（在该区间的任意子区间都不恒等于0）恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围，本题是根据相应的二次方程的判别式来进行求解.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、‚
【解析】对，根据数列的单调性和可判断；对‚和ƒ，利用等差数列的通项公式可直接推导；对„，利用等差数列的前项和可直接推导.
【详解】不妨设等差数列的首项为
对，，可得：，解得：，即
又，则是递减的，则中的前5项均为正数，
所以和都是中的最大项，故正确；
对‚，
，故有：，故‚正确；
对ƒ，，又，则，说明不存在使和同号，故ƒ错误；
对„，有：

故并不是恒成立的，故„错误
故答案为：‚
14、
【解析】根据导数的几何意义求解即可.
【详解】解：因为，所以，
所以，
所以函数在处切线的斜率为
故答案为：
15、
【解析】设的坐标，用点差法求和与的关系同，与的关系，然后表示出，求得最大值
【详解】设，，，
则，两式相减得，
∴，，则，
同理，，
又，
∴，
，当且仅当，即时等号成立，
∴，
故答案为：
【点睛】方法点睛：本题考查直线与椭圆相交问题，考查椭圆弦中点问题．椭圆中涉及到弦的中点时，常常用点差法确定关系，即设弦端点为，弦中点为，
把两点坐标代入椭圆方程，相减后可得
16、4500
【解析】根据题意可知大圆柱底面圆的半径，两圆柱的高，设小圆柱的底面圆的半径为，再根据小圆柱的侧面积是大圆柱侧面积的一半，求出小圆柱的底面圆的半径，然后求出该模型的体积，从而可得出答案.
【详解】解：根据题意可知大圆柱的底面圆的半径，两圆柱的高，
设小圆柱的底面圆的半径为，
则有，即，解得，
所以该模型的体积为，
所以制作该模型所需原料的质量为.
故答案为：4500.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）根据已知点，离心率以及列方程组，解方程组可得的值即可求解；
（Ⅱ）设，，直线的方程为，联立直线与椭圆方程消去，可得，，利用向量数量积的坐标表示列方程可得的值，计算，利用面积公式计算即可求解.
【详解】（Ⅰ）将代入椭圆方程可得，即①
因为离心率，即，②
由①②解得，，
故椭圆的标准方程为
（Ⅱ）由题意可得，，设直线的方程为
将直线的方程代入中，得，
设，，则，
所以，，
所以

，
由，解得，
所以，，
因此
18、（1）.
（2）8.
【解析】（1）将点代入抛物线方程可解得基本量.
（2）设直线AB为，代入联立得关于的一元二次方程，运用韦达定理，得到关于的函数关系，再求函数最值.
【小问1详解】
当l与抛物线的对称轴垂直时，，，
则代入抛物线方程得，
所以抛物线方程是
【小问2详解】
设点，，直线AB方程为，
联立抛物线整理得：，
，
∴，，
有，由A在第一象限，则，即，
∴，可得
，
又O到AB的距离，
∴，而，
∴，
，
当，，单调递减；
，，单调递增；
∴的最小值为,此时，.
19、（1）或
（2）
【解析】（1）求出圆的圆心与半径，分过点的直线的斜率不存和存在两种情况，利用圆心到直线距离等于半径，即可求出切线方程；
（2）根据圆心与弦中点的连线垂直线，可求出直线的斜率，进而求出结果.
【小问1详解】
解：由题意知圆心的坐标为，半径，
当过点的直线的斜率不存在时，方程为
由圆心到直线的距离知，此时，直线与圆相切
当过点的直线的斜率存在时，设方程为，
即．由题意知，
解得，∴方程为
故过点的圆的切线方程为或
【小问2详解】
解：∵圆心，，即，
又，
∴，则.
20、（1）；
（2）.
【解析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面所成锐二面角的余弦值；
（2）证明出平面，利用空间向量法可求得直线到平面的距离.
【小问1详解】
解：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，

则、、、、，
设平面的法向量为，，，
由，取，可得，
易知平面的一个法向量为，，
因此，平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【小问2详解】
解：，则，所以，，
因为平面，所以，平面，
，所以，直线到平面的距离为.
21、（1）；
（2）.
【解析】（1）根据二次函数的性质求p为真时a的取值范围，根据的性质判断与有交点求q为真时a的取值范围，进而求p，q均为真时a的取值范围.
（2）根据复合命题的真假可得p，q一真一假，讨论p、q的真假分别求a的取值范围，最后取并集即可.
【小问1详解】
若p为真，，解得或，所以
若q为真，因为在上为增函数，所以，故，所以
若p，q均为真命题，a的取值范围为
【小问2详解】
由题设，易知：p，q两命题一真一假
当p真q假时，p为真，则或，q为假，则或，此时a的取值范围为；
当p假q真时，p为假，则，q为真，则，此时a的取值范围为
综上，实数a的取值范围为.
22、（1）焦点为，准线方程：
（2）
【解析】（1）抛物线的标准方程为，焦点在轴上，开口向右，，即可求出抛物线的焦点坐标和准线方程；
（2）现根据题意给出直线的方程，代入抛物线，求出两交点的横坐标的和，然后利用焦半径公式求解即可
【小问1详解】
（1）抛物线的标准方程是，焦点在轴上，开口向右，，
∴，∴焦点为，准线方程：.
【小问2详解】
∵直线l过抛物线C的焦点且倾斜角为，，
∴直线L的方程为，
代入抛物线化简得，
设，则，
所以
故所求的弦长为12