吉林省吉林市第一中学2025-2026学年数学高一第一学期期末检测模拟试题含解析.doc

吉林省吉林市第一中学2025-2026学年数学高一第一学期期末检测模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．cos600°值等于
A. B.
C. D.
2．的值为（ ）
A. B.1
C. D.2
3．设，，则（）
A. B.
C. D.
4．若关于的函数的最大值为，最小值为，且，则实数的值为（）
A.2020 B.2019
C.1009 D.1010
5．函数，则的大致图象是（）
A. B.
C. D.
6．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，下列说法正确的是（）
A.是奇函数 B.的周期是
C.的图象关于直线对称 D.的图象关于点对称
7．若“”是假命题，则实数m的最小值为（）
A.1 B.-
C. D.
8．如果，且，那么下列命题中正确的是（）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
9．植物研究者在研究某种植物1-5年内的植株高度时，将得到的数据用下图直观表示.现要根据这些数据用一个函数模型来描述这种植物在1-5年内的生长规律，下列函数模型中符合要求的是（ ）

A.(且 )
B.(，且 )
C.
D.
10．已知函数（其中为自然对数的底数，…），若实数满足，则（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数.若，则x的取值范围是___________.
12．已知集合A＝{﹣1，2，3}，f：x→2x是集合A到集合B的映射，则写出一个满足条件的集合B_____
13．已知函数，又有定义在R上函数满足：（1），
，均恒成立；
（2）当时，，则_____，
函数在区间中的所有零点之和为_______.
14．若，，，则的最小值为____________.
15．已知与是两个不共线的向量，且向量(+λ)与(-3)共线，则λ的值为_____.
16．已知函数有两个零点分别为a，b，则的取值范围是_____________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，已知直角梯形中，且，又分别为的中点，将△沿折叠，使得.

（Ⅰ）求证：AE⊥平面CDE；
（Ⅱ）求证：FG∥平面BCD；
（Ⅲ）在线段AE上找一点R，使得平面BDR⊥平面DCB，并说明理由
18．计算
（1）
（2）
19．已知函数是偶函数.
（1）求实数的值；
（2）当时，函数存在零点，求实数的取值范围；
（3）设函数，若函数与的图像只有一个公共点，求实数的取值范围.
20．定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界，已知函数
（Ⅰ）若是奇函数，求的值
（Ⅱ）当时，求函数在上的值域，判断函数在上是否为有界函数，并说明理由
（Ⅲ）若函数在上是以为上界的函数，求实数的取值范围
21．在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点A，已知点A的纵坐标为.
（1）求的值；
（2）求的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】利用诱导公式化简即可得到结果.
【详解】cos600°
故选B
【点睛】本题考查利用诱导公式化简求值，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.
2、B
【解析】根据正切的差角公式逆用可得答案
【详解】，
故选：B
3、D
【解析】解出不等式，然后可得答案.
【详解】因为，
所以
故选：D
4、D
【解析】化简函数，构造函数，再借助函数奇偶性，推理计算作答.
【详解】依题意，当时，，，则，
当时，，，即函数定义域为R，
，令，，
显然，即函数是R上的奇函数，
依题意，，，而，即，而，解得，
所以实数的值为.
故选：D
5、D
【解析】判断奇偶性，再利用函数值的正负排除三个错误选项，得正确结论
【详解】，为偶函数，排除BC，
又时，，时，，排除A，
故选：D
6、D
【解析】利用三角函数图象变换可得函数的解析式，然后利用余弦型函数的基本性质逐项判断可得出正确选项.
【详解】由题意可得，
对于A，函数是偶函数，A错误：
对于B，函数最小周期是，B错误；
对于C，由，则直线不是函数图象的对称轴，C错误；
对于D，由，则是函数图象的一个对称中心，D正确.
故选：D.
7、C
【解析】根据题意可得“”是真命题，故只要即可，求出的最大值，即可求出的范围，从而可得出答案.
【详解】解：因为“”是假命题，
所以其否定“”是真命题，
故只要即可，
因为的最大值为，
所以，解得，
所以实数m的最小值为.
故选：C.
8、D
【解析】根据不等式的性质逐项分析判断即可.
【详解】对于A，若，，满足，但不成立，错误；
对于B，若，则，错误；
对于C，若，，满足，但不成立，错误；
对于D，由指数函数的单调性知，正确.
故选：D.
9、B
【解析】由散点图直接选择即可.
【详解】解：由散点图可知，植物高度增长越来越缓慢，故选择对数模型，
即B符合.
故选：B.
10、B
【解析】化简得到，得到，进而得到，即可求解.
【详解】由题意，函数，可得，
可得，即，
因为，所以.
故选：B.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】结合函数的定义域求出的范围，分，以及三种情况进行讨论即可.
【详解】因为的定义域为，所以，即，
当时，，不合题意，
当时，，则等价于，所以，因此，即，所以，因此，方程无解；
当时，，则等价于，所以，因此，即，所以，因此，即，则符合；
所以x的取值范围是.
故答案为：.
12、{﹣2，4，6}
【解析】先利用应关系f：x→2x，根据原像求像的值，像的值即是满足条件的集合B中元素
【详解】∵对应关系为f：x→2x，={-1，2，3}，
∴2x=-2，4，6共3个值，
则-2，4，6这三个元素一定在集合B中，
根据映射的定义集合B中还可能有其他元素，
我们可以取其中一个满足条件的集合B，
不妨取集合B={-2，4，6}.
故答案为：{-2，4，6}
【点睛】本题考查映射的概念，像与原像的定义，集合A中所有元素的集合即为集合B中元素集合.
13、 ①.1 ②.42
【解析】求出的周期和对称轴，再结合图象即可.
【详解】由条件可知函数的图象关于对称轴对称，
由可知，，则周期，
即，
函数在区间中的所有零点之和即为函数与函数
图象的交点的横坐标之和，
当时，为单调递增函数，，
，且区间关于对称，
又∵由已知得也是的对称轴，∴只需用研究直线左侧部分即可，
由图象可知左侧有7个交点，则右侧也有7个交点，将这14个交点的横坐标从小到大排列，第个数记为，由对称性可知，则，
同理，…，，
∴.
故答案为：，.

14、9
【解析】“1”的代换法去求的最小值即可.
【详解】
（当且仅当时等号成立）
则的最小值为9
故答案为：9
15、-
【解析】由向量共线可得+λ=k((-3)，计算即可.
【详解】由向量共线可得+λ=k((-3)，
即+λ=k-3 k，∴解得λ=-.
故答案为：-
16、
【解析】根据函数零点可转化为有2个不等的根，利用对数函数的性质可知，由均值不等式求解即可.
详解】不妨设，
因为函数有两个零点分别为a，b，
所以，
所以，
即，且，
，
当且仅当，即时等号成立，此时不满足题意，
，
即，
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）见解析
【解析】（Ⅰ）（Ⅱ）利用判定定理证明线面平行时，关键是在平面内找一条与已知直线平行的直线，解题时可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过平行线分线段成比例等．证明直线和平面垂直的常用方法：（1）利用判定定理．（2）利用判定定理的推论．（3）利用面面平行的性质．（4）利用面面垂直的性质.（Ⅲ）判定面面垂直的方法（1）面面垂直的定义，即证两平面所成的二面角为直角；（2）面面垂直的判定定理
试题解析：（1）由已知得DE⊥AE，AE⊥EC.
∵DE∩EC＝E，DE、EC⊂平面DCE.
∴AE⊥平面CDE.
（2）取AB中点H，连接GH、FH，
∴GH∥BD，FH∥BC，

又GH∩FH＝H，
∴平面FHG∥平面BCD，

∴GF∥平面BCD.
（3）取线段AE的中点R，则平面BDR⊥平面DCB
取线段DC的中点M,取线段DB中点H,连接MH,RH,BR,DR
在△DEC中，

∵M为线段DC,H为线段DB中点，R为线段AE中点
又,
∴ RH⊥DC 10分

∴RH⊥面DCB
∵RH⊂平面DRB
平面DRB⊥平面DCB
即 取AE中点R时，有平面DBR⊥平面DCB 12分
（其它正确答案请酌情给分）
考点：立体几何综合应用
18、（1）6（2）
【解析】（1）将根式转化为分数指数幂，然后根据幂的运算性质即可化简求值；
（2）利用对数的运算性质即可求解.
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：.
19、（1）
（2）
（3）
【解析】（1）函数是偶函数, 所以得出值检验即可；
（2），因为时，存在零点，即关于的方程有解，求出的值域即可；
（3）因为函数与的图像只有一个公共点，所以关于的方程有且只有一个解，所以，换元，研究二次函数图象及性质即可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
解：因为是上偶函数，
所以，即
解得，
此时，
则是偶函数，满足题意，
所以.
【小问2详解】
解：因为，所以
因为时，存在零点，
即关于的方程有解，
令，则
因为，所以，所以，
所以，实数的取值范围是.
【小问3详解】
因为函数与的图像只有一个公共点，
所以关于的方程有且只有一个解，
所以
令，得…（*），
记，
①当时，函数图像开口向上，又因为图像恒过点，方程（*）有一正一负两实根，所以符合题意；
②当时，因为，所以只需，
解得，
方程（*）有两个相等的正实根，所以满足题意，
综上，的取值范围是.
20、（1）（2）是（3）或
【解析】（1）根据奇函数定义得，解得的值（2）先分离得再根据单调性求值域，最后根据值域判定是否成立（3）转化为不等式恒成立，再分离变量得最值，最后根据最值求实数的取值范围
试题解析：解：（）由是奇函数，则，
得，即，
∴，
（）当时，
∵，∴，∴，满足
∴在上为有界函数
（）若函数在上是以为上界的有界函数，则有在上恒成立
∴，
即，
∴，化简得：，
即，
上面不等式组对一切都成立，
故，
∴或
21、（1）
（2）
【解析】（1）根据点A的纵坐标，可求得点A的横坐标，根据正切函数的定义，即可得答案.
（2）利用诱导公式进行化简，结合（1）即可得答案.
【小问1详解】
因为点A纵坐标为，且点A在第二象限，
所以点A的横坐标为，
所以；
【小问2详解】
由诱导公式可得：.