河南省顶尖名校2025年高一数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析.doc

河南省顶尖名校2025年高一数学第一学期期末学业水平测试模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
2．设集合，，则集合
A. B.
C. D.
3．已知函数的图像如图所示，则

A. B.
C. D.
4．已知集合 ，则
A B.
C. D.
5．已知是锐角三角形，，，则
A. B.
C. D.与的大小不能确定
6．将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，则函数的图象的一条对称轴为
A. B.
C. D.
7．已知函数，则下列结论正确的是（）
A.
B.的值域为
C.在上单调递减
D.的图象关于点对称
8．下列命题中是真命题的个数为（）
①函数的对称轴方程是；
②函数的一个对称轴方程是；
③函数的图象关于点对称；
④函数的值域为
A1 B.2
C.3 D.4
9．已知函数，则
A.是奇函数，且在R上是增函数 B.是偶函数，且在R上是增函数
C.是奇函数，且在R上是减函数 D.是偶函数，且在R上是减函数
10．函数，的图象大致是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．命题“”的否定为___________.
12．幂函数的图象过点，则___________.
13．命题“，使关于的方程有实数解”的否定是_________.
14．终边上一点坐标为，的终边逆时针旋转与的终边重合，则______.
15．______.
16．如图，、、、分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线与是异面直线的图形有______.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知
（1）当时，解关于的不等式；
（2）当时，解关于的不等式
18．已知函数为二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最小值为-12
（1）求的解析式；
（2）设函数在上的最小值为，求的表达式
19．参加劳动是学生成长的必要途径，每个孩子都要抓住日常生活中的劳动实践机会，自觉参与、自己动手，坚持不懈进行劳动，掌握必要的劳动技能．在劳动中接受锻炼、磨炼意志，培养正确的劳动价值观和良好的劳动品质．大家知道，用清水洗衣服，其上残留的污渍用水越多，洗掉的污渍量也越多，但是还有污渍残留在衣服上，在实验基础上现作如下假定：用单位的水清洗1次后，衣服上残留的污渍与本次清洗前残留的污渍之比为函数
（1）①试解释与的实际意义；
②写出函数应该满足的条件或具有的性质（写出至少2条，不需要证明）；
（2）现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次．哪种方案清洗后衣服上残留的污渍比较少？请说明理由
20．（1）设，求与的夹角；
（2） 设且与的夹角为，求的值.
21．已知函数.若函数在区间上的最大值为，最小值为.
（1）求函数的解析式；
（2）求出在上的单调递增区间.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】原命题等价于恒成立，故即可，解出不等式即可.
【详解】因为命题“，使”是假命题，
所以恒成立，
所以，
解得，
故实数的取值范围是
故选：B
2、D
【解析】并集由两个集合所有元素组成，排除重复的元素，故选.
3、B
【解析】本题首先可以通过图像得出函数的周期，然后通过函数周期得出的值，再然后通过函数过点求出的值，最后将带入函数解析式即可得出结果
【详解】因为由图像可知，解得，
所以，，
因为由图像可知函数过点，
所以，解得，
取，，，
所以，故选B
【点睛】本题考查了三角函数的相关性质，主要考查了三角函数图像的相关性质，考查了三角函数的周期性的求法，考查计算能力，考查数形结合思想，是中档题
4、C
【解析】分析：先解指数不等式得集合A，再根据偶次根式被开方数非负得集合B，最后根据补集以及交集定义求结果.
详解：因为，所以,
因为，所以
因此，
选C.
点睛：合的基本运算的关注点
(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提
(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决
(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图
5、A
【解析】分析：利用作差法，根据“拆角”技巧，由三角函数的性质可得.
详解：将，
代入，，
可得，
，
由于是锐角三角形，
所以，
，
，，
所以，
，
综上，知．故选A
点睛：本题主要考查三角函数的性质，两角和与差的三角函数以及作差法比较大小，意在考查学生灵活运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.解答本题的关键是运用好“拆角”技巧.
6、C
【解析】，
所以，所以，所以是一条对称轴
故选C
7、C
【解析】利用分段函数化简函数解析式，再利用函数图像和性质，从而得出结论.
【详解】
故函数的周期为，即，故排除A,
显然函数的值域为，故排除B,
在上，函数为单调递减，故C正确，
根据函数的图像特征，可知图像不关于点对称，故排除D.
故选：C.
【点睛】本题解题时主要利用分段函数化简函数的解析式，在化简的过程中注意函数的定义域，以及充分利用函数的图像和性质解题.
8、B
【解析】根据二次函数的性质、三角函数的性质以及图象，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对①：函数的对称轴方程是，故①是假命题；
对②：函数的对称轴方程是：，
当时，其一条对称轴是，故②正确；
对函数，
其函数图象如下所示：

对③：数形结合可知，该函数的图象不关于对称，故③是假命题；
对④：数形结合可知，该函数值域为，故④为真命题.
综上所述，是真命题的有2个.
故选：.
9、A
【解析】分析：讨论函数的性质，可得答案.
详解：函数的定义域为，且 即函数 是奇函数，
又在都是单调递增函数，故函数 在R上是增函数
故选A.
点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题.
10、A
【解析】判断函数的奇偶性和对称性，以及函数在上的符号，利用排除法进行判断即可
【详解】解：函数，则函数是奇函数，
排除D，
当时，，则，排除B，C，
故选：A
【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性以及函数值的对应性，结合排除法是解决本题的关键．难度不大

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据特称命题的否定为全称命题求解.
【详解】因为特称命题的否定为全称命题，
所以“”的否定为“”，
故答案：.
12、
【解析】将点的坐标代入解析式可解得结果.
【详解】因为幂函数的图象过点，
所以，解得.
故答案为：
13、，关于的方程无实数解
【解析】直接利用特称命题的否定为全称命题求解即可.
【详解】因为特称命题的否定为全称命题，
否定特称命题是，既要否定结论，又要改变量词，
所以命题“，使关于的方程有实数解”的否定为：
“，关于的方程无实数解”.
故答案为：，关于的方程无实数解
14、
【解析】由题知，进而根据计算即可.
【详解】解：因为终边上一点坐标为，
所以，
因为的终边逆时针旋转与的终边重合，
所以
故答案为：
15、
【解析】首先利用乘法将五进制化为十进制，再利用“倒序取余法”将十进制化为二进制即可.
【详解】，
根据十进制化为二进制“倒序取余法”如下：

可得.
故答案为：
【点睛】本题考查了进位制的转化，在求解过程中，一般都是先把其它进制转化为十进制，再用倒序取余法转化为其它进制，属于基础题.
16、②④
【解析】图①中，直线，图②中面，图③中，图④中，面
【详解】解：根据题意，
在①中，且，则四边形是平行四边形，有，不是异面直线；
图②中，、、三点共面，但面，因此直线与异面；
在③中，、分别是所在棱的中点，所以且，故，必相交，不是异面直线；
图④中，、、共面，但面，与异面
所以图②④中与异面
故答案为：②④.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）或；
（2）答案不唯一，具体见解析.
【解析】（1）先因式分解，进而解出的范围，进而结合指数函数的单调性求得答案；
（2）设，然后因式分解，进而讨论a的取值范围求出t的范围，最后结合指数函数的单调性求得答案.
【小问1详解】
当时，
若可得或，即解集为或
【小问2详解】
令，不等式转化为
①当时，不等式解集为；
②当时，不等式解集为或；
③当时，不等式解集为；
④当时，不等式解集为或.
综上所述，当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为或.
18、（1）；（2）.
【解析】（1）根据不等式的解集是，令，然后由在区间上的最小值为-12，由求解.
（2）由（1）知函数的对称轴是，然后分，两种讨论求解.
【详解】（1）因为不等式的解集是，
令，
因为在区间上的最小值为-12，
所以，
解得，
所以.
（2）当，即时， ，
当，即时，
所以.
【点睛】方法点睛：(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解
19、（1）表示没有用水清洗时，衣服上的污渍不变；表示用1个单位的水清洗时，可清除衣服上残留的污渍的；定义域为，值域为，在区间内单调递减.
（2）当时，，此时两种清洗方法效果相同；
当时，，此时把单位的水平均分成份后，清洗两次，残留的污渍较少；
当时，，此时用单位的水清洗一次后残留的污渍较少.
【解析】（1）①根据函数的实际意义说明即可；
②由实际意义可得出函数的定义域，值域，单调性.
（2）求出两种清洗方法污渍的残留量，并进行比较即可.
【小问1详解】
①表示没有用水清洗时，衣服上的污渍不变；
表示用1个单位的水清洗时，可清除衣服上污渍的.
②函数的定义域为，值域为，在区间内单调递减.
【小问2详解】
设清洗前衣服上的污渍为1，用单位的水，清洗一次后残留的污渍为，
则；
用单位的水清洗1次，则残留的污渍为，
然后再用单位的水清洗1次，则残留的污渍为，
因为，
所以当时，，此时两种清洗方法效果相同；
当时，，此时把单位的水平均分成份后，清洗两次，残留的污渍较少；
当时，，此时用单位的水清洗一次后残留的污渍较少.
20、（1）；（2）61.
【解析】（1）由已知中12，9，，代入平面向量的夹角公式，即可求出θ的余弦值，结合0°≤θ≤180°，即可得到答案
（2）利用数量积运算法则即可得出；
【详解】（1）∵12，9，，
∴cosθ
又∵0°≤θ≤180°
则θ＝135°
（2）∵，，且与夹角为120°，
∴6
∴42﹣（﹣6）﹣3×32＝61
【点睛】本题考查了向量的数量积运算法则及其性质、夹角公式，属于基础题
21、（1）；（2）和.
【解析】（1）根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出函数的解析式；
（2）由可计算出的取值范围，利用正弦型函数的单调性可求得函数在上的单调递增区间.
【详解】（1）由题意知，若，则，所以，
又因为，所以，得，所以；
（2）因为，所以，
正弦函数在区间上的单调递增区间为和，
此时即或，得或，
所以在上的递增区间为和.