2025-2026学年北京十二中高二上数学期末联考试题含解析.doc

2025-2026学年北京十二中高二上数学期末联考试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数，则函数在区间上的最小值为（）
A. B.
C. D.
2．已知椭圆经过点，当该椭圆的四个顶点构成的四边形的周长最小时，其标准方程为（）
A. B.
C. D.
3．已知向量，，则等于（）
A. B.
C. D.
4．在直三棱柱中，，且，点是棱上的动点，则点到平面距离的最大值是（）
A. B.
C.2 D.
5．在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（）
A.圆 B.椭圆
C.抛物线 D.直线
6．中国景德镇陶瓷世界闻名，其中青花瓷最受大家的喜爱，如图1这个精美的青花瓷花瓶，它的颈部（图2）外形上下对称，基本可看作是离心率为的双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面，若该颈部中最细处直径为16厘米，瓶口直径为20厘米，则颈部高为（ ）

A.10 B.20
C.30 D.40
7．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数图象都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则（）
A. B.
C. D.
8．中国历法推测遵循以测为辅，以算为主的原则.例如《周髀算经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.二十四节气中，从冬至到夏至的十三个节气依次为：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至.已知《周髀算经》中记录某年的冬至的晷影长为13尺，夏至的晷影长是1.48尺，按照上述规律，那么《周髀算经》中所记录的立夏的晷影长应为（ ）
A.尺 B.尺
C.尺 D.尺
9．下列命题正确的是（）
A经过三点确定一个平面
B.经过一条直线和一个点确定一个平面
C.四边形确定一个平面
D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
10．已知数列满足，（且），若恒成立，则M的最小值是（）
A.2 B.
C. D.3
11．有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（ ）
A.分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有15种分法；
B.分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有180种分法；
C.分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，共有90种分法；
D.分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有1080种分法；
12．如图，，是平面上两点，且，图中的一系列圆是圆心分别为，的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…，A，B，C，D，E是图中两组同心圆的部分公共点.若点A在以，为焦点的椭圆M上，则（ ）

A.点B和C都在椭圆M上 B.点C和D都在椭圆M上
C.点D和E都在椭圆M上 D.点E和B都在椭圆M上
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过右焦点且倾斜角为直线l与该双曲线交于M，N两点（点M位于第一象限），的内切圆半径为，的内切圆半径为，则为___________.
14．已知函数，则曲线在点处的切线方程为______.
15．狄利克雷是十九世纪德国杰出的数学家，对数论、数学分析和数学物理有突出贡献.狄利克雷曾提出了“狄利克雷函数”.若，根据“狄利克雷函数”可求___________.
16．若“”是真命题，则实数的最小值为_____________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在正四棱柱中，，，点在棱上，且平面

（1）求的值；
（2）若，求二面角的余弦值
18．（12分）数列{}的首项为，且
（1）证明数列为等比数列，并求数列{}的通项公式；
（2）若，求数列{}的前n项和
19．（12分）.在直角坐标系中，点，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于A，B两点
（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）若，求值
20．（12分）解答下列两个小题：
（1）双曲线：离心率为，且点在双曲线上，求的方程；
（2）双曲线实轴长为2，且双曲线与椭圆的焦点相同，求双曲线的标准方程
21．（12分）已知圆：，，为圆上的动点，若线段的垂直平分线交于点.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）已知为上一点，过作斜率互为相反数且不为0的两条直线，分别交曲线于，，求的取值范围.
22．（10分）已知是公比不为1的等比数列，，且为的等差中项.
（1）求的公比；
（2）求的通项公式及前n项和.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】根据已知条件求得以及，利用导数判断函数的单调性，即可求得函数在区间上的最小值.
【详解】因为，故可得，则，
又，令，解得，令，解得，
故在单调递减，在单调递增，又，
故在区间上的最小值为.
故选：.
2、A
【解析】把点代入椭圆方程得，写出椭圆顶点坐标，计算四边形周长讨论它取最小值时的条件即得解.
【详解】依题意得，椭圆的四个顶点为，顺次连接这四个点所得四边形为菱形，其周长为，
，当且仅当，即时取“=”，
由得a2=12，b2=4，所求标准方程为.
故选：A
【点睛】给定两个正数和(两个正数倒数和)为定值，求这两个正数倒数和(两个正数和)的最值问题，可借助基本不等式中“1”的妙用解答.
3、C
【解析】根据题意，结合空间向量的坐标运算，即可求解.
【详解】由，，得，因此.
故选：C.
4、D
【解析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，运用点到平面的距离公式，求出点到平面距离的最大值.
【详解】解：以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标第,

则,,,
设点,
故，，.
设设平面的法向量为，
则即，取，则.
所以点到平面距离 .
当，即时，距离有最大值为 .
故选:D.
【点睛】本题考查空间内点到面的距离最值问题，属于中档题.
5、A
【解析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积定义求解其轨迹方程即可.
【详解】设，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，

则：，设，可得：，
从而：，
结合题意可得：，
整理可得：，
即点C的轨迹是以AB中点为圆心，为半径的圆.
故选：A.
【点睛】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6、B
【解析】设双曲线方程为，根据已知条件可得的值，由可得双曲线的方程，再将代入方程可得的值，即可求解.
【详解】因为双曲线焦点在轴上，设双曲线方程为
由双曲线的性质可知：该颈部中最细处直径为实轴长，所以，可得，
因为离心率为，即，可得，
所以，
所以双曲线的方程为：，
因瓶口直径为20厘米，根据对称性可知颈部最右点横坐标为，
将代入双曲线可得，解得：，
所以颈部高为，
故选：B
7、B
【解析】根据“拐点”的概念可判断函数的对称中心，进而求解.
【详解】，，，
令，解得：，
而，故函数关于点对称，
，

，
故选：B.
8、B
【解析】根据等差数列定义求得公差，再求解立夏的晷影长在数列中所对应的项即可
【详解】设从冬至到夏至的十三个节气依次为等差数列的前13项，则
所以公差为，
则立夏的晷影长应为(尺)
故选：B
9、D
【解析】由平面的基本性质结合公理即可判断.
【详解】对于A，过不在一条直线上三点才能确定一个平面，故A不正确；
对于B，经过一条直线和直线外一个点确定一个平面，故B不正确；
对于C，空间四边形不能确定一个平面，故C不正确；
对于D，两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故D正确.
故选：D
10、C
【解析】根据，（且），利用累加法求得，再根据恒成立求解.
【详解】因为数列满足，，（且）
所以，
，
，
，
因为恒成立，
所以，则M的最小值是，
故选：C
11、D
【解析】根据题意，分别按照选项说法列式计算验证即可做出判断.
【详解】选项A，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有种分配方法，故该选项错误；
选项B，6本不同的书分给甲、乙、丙三人，一人4本，另两人各1本，先将6本书分成4-1-1的3组，再将三组分给甲乙丙三人，有种分配方法，故该选项错误；
选项C，6本不同的书分给甲乙每人各2本，有种方法，其余分给丙丁每人各1本，有种方法，所以不同的分配方法有种，故该选项错误；
选项D，先将6本书分为2-2-1-14组，再将4组分给甲乙丙丁4人，有种方法，故该选项正确.
故选：D.
12、C
【解析】根据椭圆的定义判断即可求解.
【详解】因为，
所以椭圆M中，
因为，,
,,
所以D，E在椭圆M上.
故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、##
【解析】设，，，利用双曲线的定义可得，作出图形，结合图形分析，可知与直线的倾斜角相等，利用直角三角形中的边角关系，即求.
【详解】设的内切圆为圆，与三边的切点分别为，如图所示，

设，，，设的内切圆为圆，
由双曲线的定义可得，得，
由此可知，在中，轴于点，同理可得轴于点，
所以轴，
过圆心作的垂线，垂足为，
因为，
所以，
∴，即
∴，即
故答案为：.
【点睛】关键点点睛，得到是关键，说明轴，同时直线的倾斜角与大小相等，计算即得.
14、
【解析】先求函数的导数，再利用导数的几何意义求函数在处的切线方程.
【详解】，，，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
故答案为：
【点睛】本题考查导数的几何意义，重点考查计算能力，属于基础题型.
15、1
【解析】由“狄利克雷函数”解析式，先求出，再根据指数函数的解析式求即可.
【详解】由题设，，则.
故答案：1
16、1
【解析】若“ ”是真命题，则大于或等于函数在的最大值
因为函数在上为增函数，所以，函数在上的最大值为1，
所以， ，即实数 的最小值为1.
所以答案应填:1.
考点：1、命题；2、正切函数的性质.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）答案见解析；（2）.
【解析】如图，以点为原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，
建立空间直角坐标系，
（1）设，由平面，可得，从而数量积为零，可求出的值，进而可求得的值；
（2）利用空间向量求二面角的余弦值
【详解】解：（1）如图，以点为原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，
建立空间直角坐标系，设，
则点，，，
则，
因为平面，
所以，
所以，
解得或
当时，，，；
当时，，，
（2）因为，由（1）知，
平面的一个法向量为
设平面的法向量为，
因为，，
所以令，则
所以，
由图知，二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值为

18、（1）证明见解析，；
（2）.
【解析】(1)利用给定的递推公式变形，再利用等比数列定义直接判断并求出通项得解.
(2)由(1)的结论求出，再利用裂项相消法计算作答.
【小问1详解】
数列{}中，，则，由得：，
所以数列是首项为3，公比为2的等比数列，
则有，即，
所以数列{}的通项公式是.
【小问2详解】
由(1)知，，，
则，
所以数列{}的前n项和.
19、（1）曲线的直角坐标方程为，直线的普通方程为；
（2）.
【解析】（1）根据极坐标与直角坐标互化公式，结合加法消元法进行求解即可；
（2）利用直线参数方程的意义，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可.
小问1详解】
由；

；
【小问2详解】
把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程中，得
，
，因为在直线上，
所以，或而，
所以.
20、（1）；（2）.
【解析】（1）由可得，再将点代入方程，联立解出答案，可得答案.
（2）先求出椭圆的焦点，则双曲线的焦点在轴上，由条件可得，且，从而得出答案.
详解】（1）由，得，即，
又，即，
双曲线的方程即为，点坐标代入得，解得
所以，双曲线的方程为
（2）椭圆的焦点为，
设双曲线的方程为，
所以，且，
所以，
所以，双曲线的方程为
21、（1）动点的轨迹的方程为；
（2）的取值范围.
【解析】(1)由条件线段的垂直平分线交于点可得，由此可得，根据椭圆的定义可得点的轨迹为椭圆，结合椭圆的标准方程求动点的轨迹的方程；(2)由(1)可求点坐标，设直线的方程为，，联立方程组化简可得，，由直线，的斜率互为相反数可得的值，再由弦长公式求的长，再求其范围.
【小问1详解】
由题知
故.
即
即在以为焦点且长轴为4的椭圆上
则动点的轨迹的方程为：；
【小问2详解】

故
即.
设：，
联立
（*），，
∴ ，，
又
则：
即

若，则过，不符合题意
故，∴
，
故

22、（1）
（2），
【解析】（1）设数列公比为，根据列出方程，即可求解；
（2）：由（1）得到，利用等比数列的求和公式，即可求解.
【小问1详解】
解：设数列公比为，
因为为的等差中项，可得，即，
即，解得或（舍去），
所以等比数列的公比为.
【小问2详解】
解：由（1）知且，可得，
所以.