广西师范大学附属外国语学校2026届数学高一第一学期期末检测试题含解析.doc

广西师范大学附属外国语学校2026届数学高一第一学期期末检测试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
2．在平面直角坐标系中，直线的斜率是（）
A. B.
C. D.
3．已知正弦函数f(x)的图像过点,则的值为(　　)
A.2 B.
C. D.1
4． “”是“函数为偶函数”（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5．命题“，”的否定为（）
A.， B.，
C， D.，
6．在长方体中， ， ，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B.
C. D.
7．已知函数，则的值是
A. B.
C. D.
8．下列函数是偶函数且在区间上为减函数的是（）
A. B.
C. D.
9．已知f（x-1）=2x-5，且f（a）=6，则a等于（　　）
A. B.
C. D.
10．在正项等比数列中，若依次成等差数列，则的公比为
A.2 B.
C.3 D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围为______.
12．设是R上的奇函数，且当时，，则__________
13．已知函数，则__________
14．圆：与圆：的公切线条数为____________.
15．函数定义域为________.（用区间表示）
16．记为偶函数，是正整数，，对任意实数，满足中的元素不超过两个，且存在实数使中含有两个元素，则的值是__________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，在平面直角坐标系中，为单位圆上一点，射线绕点按逆时针方向旋转后交单位圆于点，点的横坐标为

（1）求的表达式，并求
（2）若，求的值
18．设函数
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调递减区间；
（3）求函数在闭区间内的最大值以及此时对应的x的值
19．设S＝{x|x＝m＋n，m、n∈Z}
(1)若a∈Z，则a是否是集合S中的元素？
(2)对S中的任意两个x1、x2，则x1＋x2、x1·x2是否属于S？
20．已知圆：，
（1）若过定点的直线与圆相切，求直线的方程；
（2）若过定点且倾斜角为30°的直线与圆相交于，两点，求线段的中点的坐标；
（3）问是否存在斜率为1的直线，使被圆截得的弦为，且以为直径的圆经过原点？若存在，请写出求直线的方程；若不存在，请说明理由.
21．要建造一段5000m的高速公路，工程队需要把600人分成两组，一组完成一段2000m的软土地带公路的建造任务，同时另一组完成剩下的3000m的硬土地带公路的建造任务．据测算，软、硬土地每米公路的工程量分别是50人/天和30人/天，设在软土地带工作的人数x人，在软土、硬土地带筑路的时间分别记为，
（1）求，；
（2）求全队的筑路工期；
（3）如何安排两组人数，才能使全队筑路工期最短?
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】求出函数的定义域，由单调性求出a的范围，再由函数在上有意义，列式计算作答.
【详解】函数定义域为，，
因在，上单调，则函数在，上单调，而函数在区间上单调递减，
必有函数在上单调递减，而在上递增，则在上递减，于是得，解得，
由，有意义得：，解得，因此，，
所以实数的取值范围是.
故选：C
2、A
【解析】将直线转化成斜截式方程，即得得出斜率.
【详解】解：由题得，原式可化为，斜率.
故选：A.
3、C
【解析】由题意结合诱导公式有：
.
本题选择C选项.
4、A
【解析】根据充分必要条件定义判断
【详解】时，是偶函数，充分性满足，
但时，也是偶函数，必要性不满足
应是充分不必要条件
故选：A
5、B
【解析】根据特称命题的否定为全称命题可得.
【详解】根据特称命题的否定为全称命题，
可得命题“，”的否定为“，”
故选：B.
6、D
【解析】如图，连接交于点 ，连接，则结合已知条件可证得为直线与平面 所成角，然后根据已知数据在求解即可
【详解】解：如图，连接交于点 ，连接，
因为长方体中， ，
所以四边形为正方形，
所以，，所以 ，
因为平面，所以 ，
因为，所以 平面，
所以为直线与平面所成角，
因为，，所以，
在中，，
所以直线与平面所成角的正弦值为 ，
故选：D

【点睛】此题考查线面角的求法，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题
7、B
【解析】直接利用分段函数，求解函数值即可
【详解】函数，
则f（1）+＝log210++1＝
故选B
【点睛】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力
8、C
【解析】根据解析式判断各个选项中函数的奇偶性和单调性可得答案.
【详解】不是偶函数；
不是偶函数；
是偶函数，且函数在上是减函数，所以该项正确；
是二次函数，是偶函数，且在上是增函数，
故选：C.
9、B
【解析】先用换元法求出，然后由函数值求自变量即可.
【详解】令，则，可得，即，由题知，解得.
故选：B
10、A
【解析】由等差中项的性质可得，又为等比数列，所以，化简整理可求出q的值
【详解】由题意知，又为正项等比数列，所以，且，所以，
所以或（舍），故选A
【点睛】本题考查等差数列与等比数列的综合应用，熟练掌握等差中项的性质，及等比数列的通项公式是解题的关键，属基础题

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】由复合函数的同增异减性质判断得在上单调递减，再结合对称轴和区间边界值建立不等式即可求解.
【详解】由复合函数的同增异减性质可得，在上严格单调递减，
二次函数开口向上，对称轴为
所以，即
故答案为：
12、
【解析】由函数的性质得，代入当时的解析式求出的值，即可得解.
【详解】当时，，，
是上的奇函数，
故答案为：
13、3
【解析】
14、3
【解析】将两圆的公切线条数问题转化为圆与圆的位置关系，然后由两圆心之间的距离与两半径之间的关系判断即可.
【详解】圆：，圆心，半径；
圆：，圆心，半径.
因为，所以两圆外切，所以两圆的公切线条数为3.
故答案为：3
15、
【解析】由对数真数大于0，偶次根式被开方式大于等于0，列出不等式组求解即可得答案.
【详解】解：由，得，
所以函数的定义域为，
故答案为：.
16、4、5、6
【解析】根据偶函数，是正整数，推断出的取值范围，相邻的两个的距离是，依照题意列不等式组，求出的值
【详解】由题意得．∵为偶函数，是正整数，
∴，
∵对任意实数，满足中的元素不超过两个，且存在实数使中含有两个元素，
∴中任意相邻两个元素的间隔必小于1，任意相邻的三个元素的间隔之和必大于1
∴，解得，又，∴．答案：
【点睛】本题考查了正弦函数的奇偶性和周期性，以及根据集合的运算关系，求参数的值，关键是理解的意义，强调抽象思维与灵活应变的能力

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），
（2）
【解析】（1）由点的坐标可求得，再由三角函数的定义可求出，从而可求出的值，
（2）由题意可得，则可求得，从而利用三角函数恒等变换公式可求得结果
【小问1详解】
因为，所以，
由三角函数定义，得
所以
【小问2详解】
因为，所以，
因为，
所以
所以

18、（1）
（2），
（3）在内的最大值为，此时
【解析】（1）利用三角恒等变换化简可得＝＋根据周期公式计算即可；
（2）令＋2kp≤2x－≤＋2kp，，计算即可求得的单调递减区间；
（3）由0≤x≤，可得－≤2x－≤，利用正弦型函数性质即可求得最值及对应的的值
【小问1详解】
f(x)＝sin2x－cos2x＋2cosx
＝－cos2x＋2cosx
＝－cos2x＋＋sin2x
＝sin2x－cos2x＋
＝＋
函数f(x)的最小正周期为T＝＝π
【小问2详解】
令＋2kp≤2x－≤＋2kp，，
解得＋kp≤x≤＋kp，，
函数f(x)的单调递减间为，
【小问3详解】
因为0≤x≤，－≤2x－≤，所以
当2x－＝时，即x＝时，f(x)有最大值为
19、（1）见解析；（2）见解析.
【解析】（1）由a＝a＋0×即可判断；
（2）不妨设x1＝m＋n，x2＝p＋q，经过运算得x1＋x2＝(m＋n)＋(p＋q)，x1·x2＝(mp＋2nq)＋(mq＋np)，即可判断.
试题解析：
(1)a是集合S的元素，因为a＝a＋0×∈S
(2)不妨设x1＝m＋n，x2＝p＋q，m、n、p、q∈Z
则x1＋x2＝(m＋n)＋(p＋q)＝(m＋n)＋(p＋q)，∵m、n、p、q∈Z．∴p＋q∈Z，m＋n∈Z．∴x1＋x2∈S，
x1·x2＝(m＋n)·(p＋q)＝(mp＋2nq)＋(mq＋np)，m、n、p、q∈Z
故mp＋2nq∈Z，mq＋np∈Z
∴x1·x2∈S
综上，x1＋x2、x1·x2都属于S
点睛：集合是高考中必考的知识点，一般考查集合的表示、集合的运算比较多．对于集合的表示，特别是描述法的理解，一定要注意集合中元素是什么，然后看清其满足的性质，将其化简；考查集合的运算，多考查交并补运算，注意利用数轴来运算，要特别注意端点的取值是否在集合中，避免出错
20、（1）或
（2）
（3）存在，或
【解析】（1）首先设直线的方程为：，与圆的方程联立，令，即可求解的值；
（2）设直线的方程为：，与圆的方程联立，利用韦达定理表示中点坐标；
（3）方法一，设直线：，与圆的方程联立，利用韦达定理表示，即可求解；方法二，设圆系方程，利用圆心在直线，以及圆经过原点，即可求解参数.
【小问1详解】
根据题意，设直线的方程为：
联立直线与圆的方程并整理得：
所以，，
从而，直线的方程为：或；
【小问2详解】
根据题意，设直线的方程为：
代入圆方程得：，显然，
设，，则，
所以点的坐标为
【小问3详解】
假设存在这样的直线：
联立圆的方程并整理得：
当
设，，则，
所以
因为以为直径的圆经过原点，所以，，
∴，即
均满足.
∴，
所以直线的方程为：或.
（3）法二：可以设圆系方程
则圆心坐标，圆心在直线上，
得 ①
且该圆过原点，得②
由①②，求得或
所以直线的方程为：或.
21、（1），，，
（2），且
（3）安排316人到软土地带工作，284人到硬土地带工作时，可以使全队筑路工期最短
【解析】（1）由题意分别计算在软土、硬土地带筑路的时间即可；
（2）由得到零点，即可得到分段函数；
（3）利用函数的单调性即可得到结果.
【小问1详解】
在软土地带筑路时间为：，
在硬土地带筑路时间为，，
【小问2详解】
全队的筑路工期为
由于，即，得
从而，即，且.
【小问3详解】
函数区间上递减，在区间上递增，
所以是函数的最小值点
但不是整数，于是计算和，其中较小者即为所求
于是安排316人到软土地带工作，284人到硬土地带工作时，可以使全队筑路工期最短