2025-2026学年重庆市十一中、七中等七校高一上数学期末学业质量监测试题含解析.doc

2025-2026学年重庆市十一中、七中等七校高一上数学期末学业质量监测试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移个单位，得到的图像对应的解析式为（）
A. B.
C. D.
2．已知函数，则函数的最小正周期为
A. B.
C. D.
3．已知x是实数，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4．已知幂函数f（x）＝xa的图象经过点P（2，），则函数y＝f（x2）﹣2f（x）的最小值等于（　　）
A. B.
C.1 D.﹣1
5．已知函数，，则函数的零点个数不可能是（）
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
6．已知且，则（ ）
A.有最小值 B.有最大值
C.有最小值 D.有最大值
7．已知函数，若，则函数的单调递减区间是
A. B.
C. D.
8．已知集合，下列结论成立是（）
A. B.
C. D.
9．的值是（）
A. B.
C. D.
10．函数的零点所在区间是　　
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．定义在上的偶函数满足：当时，，则______
12．计算___________.
13．不等式的解集为___________.
14．满足的集合的个数是______________
15．已知函数f(x)的定义域是[-1，1]，则函数f(log2x)的定义域为____
16．如图，矩形的三个顶点分别在函数，，的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点的纵坐标为2，则点的坐标为______.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．计算下列各式：
（1）（式中字母均为正数）；
（2）.
18．已知函数是定义在上的增函数，且.
（1）求的值；
（2）若，解不等式.
19．已知集合.
（1）若，求a的值；
（2）若且“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
20．某工厂进行废气回收再利用，把二氧化硫转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为200吨，最多为500吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化硫得到可利用的化工产品价值为100元.
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的月平均处理成本最低？
（2）该工厂每月进行废气回收再利用能否获利？如果获利，求月最大利润；如果不获利，求月最大亏损额.
21．已知，.
（1）求的值；
（2）求的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】由三角函数的平移变换即可得出答案.
【详解】函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得，再将所得的图象向左平移个单位可得
故选：B.
2、C
【解析】去绝对值符号，写出函数的解析式，再判断函数的周期性
【详解】，其中，所以函数的最小正周期，
选择C
【点睛】本题考查三角函数最小正周期的判断方法，需要对三角函数的解析式整理后，根据函数性质求得
3、A
【解析】解一元二次不等式得或，再根据集合间的基本关系，即可得答案；
【详解】或，
或，反之不成立，
“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
4、D
【解析】先由已知条件求得，再利用配方法求二次函数的最值即可得解.
【详解】解：已知幂函数f（x）＝xa的图象经过点P（2，），
则，即，所以，
所以，
所以y＝f（x2）﹣2f（x），
当且仅当，即时取等号，
即函数y＝f（x2）﹣2f（x）的最小值等于，
故选：D.
【点睛】本题考查了幂函数解析式的求法，重点考查了二次函数求最值问题，属基础题.
5、B
【解析】由可得或，然后画出的图象，结合图象可分析出答案.
【详解】由可得或
的图象如下：

所以当时，，此时无零点，有2个零点，所以的零点个数为2；
当时，，此时有2个零点，有2个零点，所以的零点个数为4；
当时，，此时有4个零点，有2个零点，所以的零点个数为6；
当时，，此时有3个零点，有2个零点，所以的零点个数为5；
当且时，此时有2个零点，有2个零点，所以的零点个数为4；
当时，，此时的零点个数为2；
当时，，此时有2个零点，有3个零点，所以的零点个数为5；
当时，，此时有2个零点，有4个零点，所以的零点个数为6；
当时，，此时有2个零点，有2个零点，所以零点个数为4；
当时，，此时有2个零点，无零点，所以的零点个数为2；
综上：的零点个数可以为2、4、5、6，
故选：B
6、A
【解析】根据，变形为，再利用不等式的基本性质得到，进而得到，然后由，利用基本不等式求解.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
当且仅当时取等号，
故选：A.
【点睛】思路点睛：本题思路是利用分离常数法转化为，再由，利用不等式的性质构造，再利用基本不等式求解.
7、D
【解析】由判断取值范围，再由复合函数单调性的原则求得函数的单调递减区间
【详解】，所以，则为单调增函数，又因为在上单调递减，在上单调递增，所以的单调减区间为，选择D
【点睛】复合函数的单调性判断遵循“同增异减”的原则，所以需先判断构成复合函数的两个函数的单调性，再判断原函数的单调性
8、C
【解析】利用集合的交、并、补运算进行判断.
【详解】因为，所以，故A错；
，故B错；，故D错.
故选：C
9、C
【解析】根据诱导公式即可求出
【详解】
故选：C
10、C
【解析】根据函数零点存在性定理进行判断即可
【详解】∵，，
∴，
∴函数在区间(2,3)上存在零点
故选C
【点睛】求解函数零点存在性问题常用的办法有三种：一是用定理，二是解方程，三是用图象．值得说明的是，零点存在性定理是充分条件，而并非是必要条件

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、12
【解析】根据偶函数定义，结合时的函数解析式，代值计算即可.
【详解】因为是定义在上的偶函数，故可得，
又当时，，故可得，
综上所述：.
故答案为：.
12、2
【解析】利用指数、对数运算法则即可计算作答.
【详解】.
故答案：2
13、
【解析】根据对数函数的单调性解不等式即可.
【详解】由题设，可得：，则，
∴不等式解集为.
故答案：.
14、4
【解析】利用集合的子集个数公式求解即可.
【详解】∵,
∴集合是集合的子集，
∴集合的个数为，
故答案为：.
15、
【解析】根据给定条件列出使函数f(log2x)有意义的不等式组，再求出其解集即可.
【详解】因函数f(x)的定义域是[-1，1]，则在f(log2x)中，必有，
解不等式可得：，即，
所以函数f(log2x)的定义域为.
故答案为：
16、
【解析】先利用已知求出的值，再求点D的坐标.
【详解】由图像可知，点在函数的图像上，所以，即.
因为点在函数的图像上，所以，.
因为点在函数的图像上，所以.
又因为，，
所以点的坐标为.
故答案为
【点睛】本题主要考查指数、对数和幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）.
【解析】（1）根据给定条件利用指数运算法则化简作答.
（2）根据给定条件，利用对数换底公式及对数运算性质计算作答.
【小问1详解】
依题意，.
【小问2详解】
.
18、（1）0（2）
【解析】（1）直接利用赋值法，令即可得结果；
（2）利用已知条件将不等式化为，结合单调性可得结果.
【小问1详解】
令
则有.
【小问2详解】
∵
∴，则可化为
，即
则，∵在上单调递增
∴，解得.
即不等式的解集为.
19、（1）
（2）
【解析】（1）先求出集合B，再由题意可得从而可求出a的值，
（2）由题意可得Ü，从而有再结合可求出实数a的取值范围.
【小问1详解】
由题设知，
∵，∴
可得.
【小问2详解】
∵，∴，解得.
∵“”是“”的必要不充分条件，∴Ü.
∴
解得.
因此，实数a的取值范围为.
20、（1）400吨；（2）该工厂每月废气回收再利用不获利，月最大亏损额为27500元.
【解析】
（1）由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为，化简后再利用基本不等式即可求出最小值．
（2）该单位每月获利为元，则，由的范围，利用二次函数的性质得到的范围即可得结论
【详解】（1）由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为
，
当且仅当，即时等号成立，
故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为150元.
（2）不获利，设该单位每月获利为元，
则
，
因为，
所以时取最大值，时取最小值，
所以.
故该工厂每月废气回收再利用不获利，月最大亏损额为27500元.
【点睛】方法点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.
21、（1）；（2）.
【解析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求，进而利用二倍角的正弦函数公式即可计算得解；（2）由（1）及两角和的余弦函数公式，诱导公式即可计算得解．
试题解析：（1）由题意得：，
∴.
（2）∵，，
∴.