2025年内蒙古包头市包钢第四中学高二数学第一学期期末统考模拟试题含解析.doc

2025年内蒙古包头市包钢第四中学高二数学第一学期期末统考模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．过点且与直线垂直的直线方程是（）
A. B.
C. D.
2．若集合，，则
A. B.
C. D.
3．已知数列为等差数列，则下列数列一定为等比数列的是（ ）
A. B.
C. D.
4．函数极小值为（）
A. B.
C. D.
5．已知抛物线的焦点坐标是，则抛物线的标准方程为
A. B.
C. D.
6．已知椭圆的长轴长为，短轴长为，则椭圆上任意一点到椭圆中心的距离的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7．已知椭圆=1（a>b>0）的右焦点为F，椭圆上的A，B两点关于原点对称，|FA|=2|FB|，且·≤ a2，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A.（0，] B.（0，]
C.，1) D.，1)
8．在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为16，则乙组数据的平均数为（）

A.12 B.10
C.8 D.6
9．设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
10．已知等差数列的前项和为，，，则（ ）
A. B.
C. D.
11．设拋物线的焦点为F，准线为l，P为拋物线上一点，，A为垂足．如果直线AF的斜率是，那么（ ）

A B.
C.16 D.8
12．若函数在上为增函数，则a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．经过、两点的直线斜率为______.
14．生活中有这样的经验：三脚架在不平的地面上也可以稳固地支撑一部照相机.这个经验用我们所学的数学公理可以表述为___________.
15．已知向量，，，则___________.
16．已知数列为严格递增数列，且对任意，都有且．若对任意恒成立，则________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某企业为响应“安全生产”号召，将全部生产设备按设备安全系数分为A，两个等级，其中等设备安全系数低于A等设备.企业定时对生产设备进行检修，并将部分等设备更新成A等设备.据统计，2020年底该企业A等设备量已占全体设备总量的30%.从2021年开始，企业决定加大更新力度，预计今后每年将16%的等设备更新成A等设备，与此同时，4%的A等设备由于设备老化将降级成等设备.
（1）在这种更新制度下，在将来的某一年该企业的A等设备占全体设备的比例能否超过80%？请说明理由；
（2）至少在哪一年底，该企业的A等设备占全体设备的比例超过60%.（参考数据：，，）
18．（12分）已知，2，4，6中的三个数为等差数列的前三项，且100不在数列中，102在数列中.
（1）求数列的通项；
（2）设，求数列的前项和.
19．（12分）如图，四棱锥中，是边长为4的正三角形，为正方形，平面平面，、分别为、中点.

（1）证明：平面；
（2）求直线EP与平面AEF所成角的正弦值.
20．（12分）某品牌餐饮公司准备在10个规模相当的地区开设加盟店，为合理安排各地区加盟店的个数，先在其中5个地区试点，得到试点地区加盟店个数分别为1，2，3，4，5时，单店日平均营业额 （万元）的数据如下：
加盟店个数 （个）
1
2
3
4
5
单店日平均营业额 （万元）
10.9
10.2
9
7.8
71
（参考数据及公式： ， ，线性回归方程 ，其中 ， .）
（1）求单店日平均营业额 （万元）与所在地区加盟店个数 （个）的线性回归方程；
（2）根据试点调研结果，为保证规模和效益，在其他5个地区，该公司要求同一地区所有加盟店的日平均营业额预计值总和不低于35万元，求一个地区开设加盟店个数 的所有可能取值；
（3）小赵与小王都准备加入该公司的加盟店，根据公司规定，他们只能分别从其他五个地区（加盟店都不少于2个）中随机选一个地区加入，求他们选取的地区相同的概率.
21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a>b>0）的左、右焦点分别为，其离心率，且椭圆C经过点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点M作两条不同的直线与椭圆C分别交于点A，B（均异于点M）.若∠AMB的角平分线与y轴平行，试探究直线AB的斜率是否为定值？若是，请给予证明；若不是，请说明理由.
22．（10分）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答（若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）.
①与直线平行；②与直线垂直；③直线l的一个方向向量为；
已知直线l过点，且___________.
（1）求直线l的一般方程；
（2）若直线l与圆C：相交于M，N两点，求弦长.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】根据两直线垂直时斜率乘积为，可以直接求出所求直线的斜率，再根据点斜式求出直线方程，最后化成一般式方程即可.
【详解】因为直线的斜率为，故所求直线的斜率等于，
所求直线的方程为，即，
故选：C
2、A
【解析】通过解不等式得出集合B，可以做出集合A与集合B的关系示意图，可得出选项.
【详解】因为，解不等式即，所以或，
所以集合，作出集合A与集合B的示意图如下图所示：
所以：，
故选A

【点睛】本题考查集合间的交集运算，属于基础题.
3、A
【解析】根据等比数列的定义判断
【详解】设的公差是，即，
显然，且是常数，是等比数列，
若中一个为1，则，则不是等比数列，
只要，，都不可能是等比数列，如，，
故选：A
4、A
【解析】利用导数分析函数的单调性，可求得该函数的极小值.
【详解】对函数求导得，令，可得或，
列表如下：

减
极小值
增
极大值
减
所以，函数的极小值为.
故选：A.
5、D
【解析】根据抛物线的焦点坐标得到2p=4,进而得到方程.
【详解】抛物线的焦点坐标是,即p=2,2p=4,故得到方程为.
故答案为D.
【点睛】这个题目考查了抛物线的标准方程的求法，题目较为简单.
6、A
【解析】不妨设椭圆的焦点在轴上，设点，则，且有，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.
【详解】不妨设椭圆的焦点在轴上，则该椭圆的标准方程为，
设点，则，且有，
所以，.
故选：A.
7、B
【解析】如图设椭圆的左焦点为E，根据题意和椭圆的定义可知，
利用余弦定理求出，结合平面向量的数量积计算即可.
【详解】由题意知，如图，设椭圆的左焦点为E，则，

因为点A、B关于原点对称，所以四边形为平行四边形，
由，得，，
在中，，
所以，
由，得，
整理，得，又，
所以.
故选：B
8、A
【解析】根据众数的概念，求得的值，再根据平均数的计算公式，即可求解.
【详解】由题意，甲组数据的众数为16，得，
所以乙组数据的平均数为
故选：A.
9、D
【解析】当时，不是递增数列；当且时，是递增数列，但是不成立，所以选D.
考点：等比数列
10、C
【解析】利用已知条件求得，由此求得.
【详解】依题意，解得，所以.
故选：C
【点睛】本小题主要考查等差数列的通项公式和前项和公式，属于基础题.
11、D
【解析】由题可得方程，进而可得点坐标及点坐标，利用抛物线定义即求
【详解】∵抛物线方程为，
∴焦点F(2,0)，准线l方程为x=−2，
∵直线AF的斜率为,直线AF的方程为，
由，可得，
∵PA⊥l，A为垂足，
∴P点纵坐标为，代入抛物线方程，得P点坐标为，
∴.
故选：D.
12、C
【解析】求出函数的导数，要使函数在上为增函数，要保证导数在该区间上恒正即可，由此得到不等式,解得答案.
详解】由题意可知，
若在递增，则在恒成立，
即有，则，
故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】利用斜率公式可求得结果.
【详解】由斜率公式可知，直线的斜率为.
故答案为：.
14、不在同一直线上的三点确定一个平面
【解析】根据题意结合平面公理2即可得出答案.
【详解】解：根据题意可知，三脚架与地面接触的三个点不在同一直线上，
则为数学中的平面公理2：不在同一直线上的三点确定一个平面.
故答案为：不在同一直线上的三点确定一个平面.
15、2
【解析】由空间向量数量积的坐标运算可得答案.
【详解】因为，，，
所以，.
故答案为：2.
16、66
【解析】根据恒成立和严格递增可得，然后利用递推求出，的值，不难发现在此两项之间的所有项为连续正整数，于是可得，，然后可解.
【详解】因为，且数列为严格递增数列，
所以或，若，则（矛盾），故
由可得：，，，，，，，，，，，，，
因，，，且数列为严格递增数列，，
所以，，
所以，
所以
故答案为：66

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）A等设备量不可能超过生产设备总量的80%，理由见解析；
（2）在2025年底实现A等设备量超过生产设备总量的60%.
【解析】(1)根据题意表示出2020年开始，经过年后A等设备量占总设备量的百分比为，求出，根据的范围进行判断；
(2)令＞即可求解.
【小问1详解】
记该企业全部生产设备总量为“1”，
2020年开始，经过年后A等设备量占总设备量的百分比为，
则经过1年即2021年底该企业A等设备量，
，
可得，又
所以数列是以为首项，公比为的等比数列，
可得，所以，
显然有，所以A等设备量不可能超过生产设备总量的80%.
【小问2详解】
由，得.
因为单调递减，又，，
所以在2025年底实现A等设备量超过生产设备总量的60%.
18、（1）
（2）
【解析】（1）确定数列为递增数列，然后由4个数确定等差数列，得通项公式，验证100和102是否为数列中的项得结论；
（2）由裂项相消法求和
【小问1详解】
首先数列是递增数列，
当2，4，6为的前三项时，易知
此时，100，102都是该数列中的项，不满足题意
当，2，6为的前三项时，易知
此时，100不是该数列中的项，102是该数列中的项，满足题意
所以
【小问2详解】
因为
所以
所以.
19、（1）见解析 （2）
【解析】（1）连接，证明，即可证明平面；
（2）取的中点，连接，由平面平面，得平面，建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法即可求得答案.
【小问1详解】
证明：连接，
是正方形，是的中点，是的中点，
是的中点，，
平面，平面，平面；
【小问2详解】
取的中点，连接，则，
因为是边长为4的正三角形，所以，
因为平面平面，且平面平面，
所以平面，
建立如图所示空间直角坐标系，
则，
则，
设平面的法向量，
则有，可取，
则，
所以直线EP与平面AEF所成角的正弦值为.

20、（1）；（2）5，6，7；（3）.
【解析】（1）先求得 ， ，进而得到b，a求解；
（2）根据题意，由求解；
（3）利用古典概型的概率求解.
【详解】（1）由题可得， ， ，设所求线性回归方程为 ，
则 ，
将 ， 代入，得 ，
故所求线性回归方程为 .
（2）根据题意， ，解得： ，
又 ，所以 的所有可能取值为5，6，7.
（3）设其他5个地区分别为 ，他们选择结果共有25种，具体如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
其中他们在同一个地区的有5种，
所以他们选取地区相同的概率 .
21、（1）
（2）是，证明见解析
【解析】（1）根据离心率及椭圆上的点可求解；
（2）根据题意分别设出直线MA、MB，与椭圆联立后得到相关点的坐标，再通过斜率公式计算即可证明.
【小问1详解】
由，得，所以a2 =9b2①，
又椭圆过点，则②，
由①②解得a=6，b=2，所以椭圆的标准方程为
【小问2详解】
设直线MA的斜率为k，点， 因为∠AMB的平分线与y轴平行，所以直线MA与MB的斜率互为相反数，则直线MB的斜率为-k.
联立直线MA与椭圆方程，得
整理，得，
所以，同理可得，
所以，
又

所以为定值.
22、（1）若选择①②，则直线方程为：；若选择③，则直线方程为；
（2）若选择①②，则；若选择③，则.
【解析】（1）根据所选择的条件，结合直线过点，即可写出直线的方程；
（2）利用（1）中所求直线方程，以及弦长公式，即可求得结果.
【小问1详解】
若选①与直线平行，则直线的斜率；
又其过点，故直线的方程为，则其一般式为；
若选②与直线垂直，则直线的斜率满足，解得；
又其过点，故直线的方程为，则其一般式为；
若选③直线l的一个方向向量为，则直线的斜率；
又其过点，故直线的方程为，则其一般式为；
综上所述：若选择①②，则直线方程为：；若选择③，则直线方程为.
【小问2详解】
对圆C：，其圆心为，半径，
根据（1）中所求，若选择①②，则直线方程为，则圆心到直线的距离，
则直线截圆所得弦长；
若选择③，则直线方程为，则圆心到直线的距离，
则直线截圆所得弦长.
综上所述，若选择①②，则；若选择③，则.