湖北省钟祥市第一中学2025年数学高一第一学期期末复习检测模拟试题含解析.doc

湖北省钟祥市第一中学2025年数学高一第一学期期末复习检测模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知非空集合，则满足条件的集合的个数是（）
A.1 B.2
C.3 D.4
2．若sin（），α是第三象限角，则sin（）＝（　　）
A. B.
C. D.
3．已知命题，则p的否定为（）
A. B.
C. D.
4．已知点P(1，a)在角α的终边上，tan＝－则实数a的值是（）
A.2 B.
C.－2 D.－
5．表示不超过x的最大整数，例如，，，．若是函数的零点，则（）
A.1 B.2
C.3 D.4
6．若，，则的值为（）
A. B.
C. D.
7．已知函数，，的零点依次为，则以下排列正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8．历史上数学计算方面的三大发明是阿拉伯数、十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特优势.已知，，则的估算值为（）
A. B.
C. D.
9．如图，在平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体顶点在同一球面上，则该球的表面积为（　　）

A. B.
C. D.
10．若，则（）
A. B.-3
C. D.3
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若是第三象限的角，则是第________象限角；
12．函数的值域是____.
13．已知，函数在上单调递增，则的取值范围是__
14．已知圆心为，且被直线截得的弦长为，则圆的方程为__________
15．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为__________
16．函数的单调递增区间是___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知向量满足，.
(1)若的夹角为，求；
(2)若，求与的夹角.
18．已知
（1）若在第三象限，求的值
（2）求的值
19．如图，三棱柱中，，，，为的中点，且.

（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的大小.
20．对正整数n，记In={1，2，3…，n}，Pn={|m∈In，k∈In}
（1）求集合P7中元素的个数；
（2）若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并
21．已知的内角满足，若，且，满足：，，，为，的夹角，求
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】由题意可知，集合为集合的子集，求出集合，利用集合的子集个数公式可求得结果.
【详解】，
所以满足条件的集合可以为，共3个,
故选：C.
【点睛】本题考查集合子集个数的计算，考查计算能力，属于基础题.
2、C
【解析】由α是第三象限角，且sin（），可得为第二象限角，即可得，然后结合，利用两角和的正弦公式展开运算即可.
【详解】解：因为α是第三象限角，则，
又sin（），所以，
即为第二象限角，
则，
则，
故选：C.
【点睛】本题考查了角的拼凑，重点考查了两角和的正弦公式，属基础题.
3、D
【解析】全称命题的否定为存在命题，利用相关定义进行判断即可
【详解】全称命题的否定为存在命题，
命题，
则为.
故选：D
4、C
【解析】利用两角和的正切公式得到关于tan α的值，进而结合正切函数的定义求得a的值.
【详解】∵，
∴tan α＝－2，
∵点P(1，a)在角α的终边上，
∴tan α＝＝a，
∴a＝－2.
故选：C.
5、B
【解析】利用零点存在性定理判断的范围，从而求得.
【详解】在上递增，
，
所以，所以.
故选：B
6、D
【解析】根据诱导公式即可直接求值.
【详解】因为，所以，
又因为，所以，
所以.
故选：D.
7、B
【解析】在同一直角坐标系中画出，，与的图像，数形结合即可得解
【详解】函数，，的零点依次为，
在同一直角坐标系中画出，，与的图像如图所示，由图可知，，，满足
故选：B．

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
8、C
【解析】令，化为指数式即可得出.
【详解】令，则
，
∴，即的估算值为.
故选：C.
9、B
【解析】由题意，的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的表面积
【详解】解：由题意，四面体顶点在同一个球面上，和都是直角三角形，
所以的中点就是球心，所以，球的半径为：，
所以球的表面积为：
故选B
【点睛】本题是基础题，考查四面体的外接球的表面积的求法，找出外接球的球心，是解题的关键，考查计算能力，空间想象能力
10、B
【解析】利用同角三角函数关系式中的商关系进行求解即可.
【详解】由，
故选：B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、一或三
【解析】根据的范围求得的范围，从而确定正确答案.
【详解】依题意，，
，
所以当为奇数时，在第三象限；当为偶数时，在第一象限.
故答案：一或三
12、##
【解析】由余弦函数的有界性求解即可
【详解】因为，所以，
所以，故函数的值域为，
故答案为：
13、
【解析】本题已知函数的单调区间，求参数的取值范围，难度中等．由，得，又函数在上单调递增，所以，即，注意到，即，所以取，得
考点：函数的图象与性质
【方法点晴】已知函数为单调递增函数，可得变量的取值范围，其必包含区间，从而可得参数的取值范围，本题还需挖掘参数的隐含范围，即函数在上单调递增，可知，因此，综合题
14、
【解析】由题意可得弦心距d=，故半径r=5，
故圆C的方程为x2+（y+2）2=25，
故答案为x2+（y+2）2=25
15、-1
【解析】因为为奇函数，故，故填.
16、##
【解析】求出函数的定义域，利用复合函数法可求得函数的单调递增区间.
【详解】由得，解得，
所以函数的定义域为.
设内层函数，对称轴方程为，抛物线开口向下，
函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
外层函数为减函数，所以函数的单调递增区间为.
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）
【解析】（1）利用公式即可求得;
（2）利用向量垂直的等价条件以及夹角公式即可求解.
【详解】解：（1）由已知，得，
所以
，
所以.
（2）因为，所以.
所以，
即，
所以.
又，
所以，即与的夹角为.
【点睛】主要考查向量模、夹角的求解，数量积的计算以及向量垂直的等价条件的运用.属于基础题.
18、（1）；（2）-3.
【解析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和同角三角函数关系式的应用求出结果
直接利用三角函数关系式的恒等变换和同角三角函数关系式的应用求出结果
【详解】由于
所以，
又在第三象限，
故：，，
则：
由于：，
所以：
【点睛】本题主要考查了同角三角函数关系式应用和诱导公式的应用，属于基础题
19、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）连结与交于点，连结，由中位线定理可得，再根据线面平行的判定定理即可证明结果；
（2）方法一：根据线面垂直的判定定理，可证明平面；取的中点，易证平面，所以即所求角，再根据直棱柱的有关性质求即可得到结果；
方法二:根据线面垂直的判定定理，可证明平面；取的中点，易证 平面；所以即与平面所成的角，再根据直棱柱的有关性质求即可得到结果.
【小问1详解】
证明：如图一，连结与交于点，连结.
在中，、为中点，∴.
又平面，平面，∴平面.

图一
【小问2详解】
证明：（方法一）如图二，

图二
∵，为的中点，∴.
又，，∴平面.
取的中点，又为的中点，∴、、平行且相等，
∴四边形是平行四边形，∴与平行且相等.
又平面，∴平面，∴即所求角.
由前面证明知平面，∴，
又，，∴平面，∴此三棱柱为直棱柱.
设
∴，，，.
（方法二）如图三，

图三
∵，为的中点，∴.
又，，∴平面.
取的中点，则，∴平面.
∴即与平面所成的角.
由前面证明知平面，∴，
又，，∴平面，∴此三棱柱为直棱柱.
设，∴，，
∴.
20、（1）46 （2）n的最大值为14
【解析】（1）对于集合P7 ，有n=7．当k=4时，Pn={|m∈In，k∈In}中有3个数（1，2，3）与
In={1，2，3…，n}中的数重复，由此求得
集合P7中元素的个数为 7×7﹣3=46
（2）先证当n≥15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并集．否则，设A和B为两个不相交的稀疏集，使A∪B=Pn⊇In
不妨设1∈A，则由于1+3=22，∴3∉A，即3∈B．同理可得，6∈A，10∈B．又推出15∈A，但1+15=42，
这与A为稀疏集相矛盾
再证P14满足要求．当k=1时，P14={|m∈I14，k∈I14}=I14，可以分成2个稀疏集的并集
事实上，只要取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}，则A1和B1都稀疏集，且A1∪B1=I14
当k=4时，集合{|m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集合{，，，…，}，可以分为下列3个稀疏集的并：
A2={，，，}，B2={，，}
当k=9时，集合{|m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集合{，，，，…，，}，
可以分为下列3个稀疏集的并：
A3={，，，，}，B3={，，，，}
最后，集合C═{|m∈I14，k∈I14，且k≠1，4，9 }中的数的分母都是无理数，
它与Pn中的任何其他数之和都不是整数，
因此，令A=A1∪A2∪A3∪C，B=B1∪B2∪B3，则A和B是不相交的稀疏集，且A∪B=P14
综上可得，n的最大值为14
21、
【解析】本题主要是考查了向量的数量积的性质和三角函数中恒等变换的综合运用．先利用得到cosB,然后结合向量的数量积公式以及两角和的正弦公式得到结论.
【详解】解：由题意得：
，即
又

又是的内角，故可知
又