北京第十二中学2025年数学高一第一学期期末统考模拟试题含解析.doc

北京第十二中学2025年数学高一第一学期期末统考模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数和都是减函数的区间是
A. B.
C. D.
2．已知数列是首项，公比的等比数列，且，，成等差数列，则公比等于（ ）
A. B.
C. D.
3．如果函数在上的图象是连续不断的一条曲线，那么“”是“函数在内有零点”的（）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
5．若关于的方程有且仅有一个实根，则实数的值为（）
A3或-1 B.3
C.3或-2 D.-1
6．已知定义域为的函数满足：，且，当时，，则等于（）
A B.
C.2 D.4
7．已知，，则
A. B.
C. D.
8．已知f（x）＝是R上的减函数，那么a的取值范围是（ ）
A.(0，1) B.
C. D.
9．若∃x∈[0，3]，使得不等式x2﹣2x+a≥0成立，则实数a的取值范围是（ ）
A.﹣3≤a≤0 B.a≥0
C.a≥1 D.a≥﹣3
10．设实数满足，函数的最小值为（ ）
A. B.
C. D.6
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若函数f（x）=的定义域为R，则实数a的取值范围是：_____________.
12．已知点在直线上，则的最小值为______
13．已知关于x的不等式的解集为，则的解集为_________
14．已知函数图像关于对称，当时，恒成立，则满足的取值范围是_____________
15．已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是______.
16．=_______________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数.
（1）判断的奇偶性并证明；
（2）用函数单调性的定义证明在区间上单调递增；
（3）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.
18．设为实数，函数.
（1）若，求的取值范围；
（2）讨论的单调性；
（3）是否存在满足：在上值域为.若存在，求的取值范围.
19．已知函数（，且）
（1）若函数的图象过点，求b的值；
（2）若函数在区间上的最大值比最小值大，求a的值
20．（1）求的值；
（2）求的值
21．如图，在正方体中，为棱、的三等分点（靠近A点）.

求证：（1）平面；
（2）求证：平面平面.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】y=sinx是减函数的区间是,y=cosx是减函数的区间是[2k，2k+]，,∴同时成立的区间为
故选A.
2、A
【解析】由等差数列性质得，由此利用等比数列通项公式能求出公比
【详解】数列是首项，公比的等比数列，且，，成等差数列，
，
，
解得（舍或
故选A
【点睛】本题考查等比数列的公比的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用
3、A
【解析】由零点存在性定理得出“若，则函数在内有零点”举反例即可得出正确答案.
【详解】由零点存在性定理可知，若，则函数在内有零点
而若函数在内有零点，则不一定成立，比如在区间内有零点，但
所以“”是“函数在内有零点”的充分而不必要条件
故选：A
【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的判断，属于中档题.
4、D
【解析】利用是偶函数判定选项A错误；利用判定选项B错误；利用的定义域判定选项C错误；利用奇偶性的定义证明是奇函数，再通过基本函数的单调性判定的单调性，进而判定选项D正确.
【详解】对于A：是偶函数，
即选项A错误；
对于B：是奇函数，但，
所以在区间上不单调递增，
即选项B错误；
对于C：是奇函数，
但的定义域为，，
即选项C错误；
对于D：因为，，
有，
即奇函数；
因为在区间上单调递增，
在区间上单调递增，
所以在区间上单调递增，
即选项D正确.
故选：D.
5、B
【解析】令，根据定义，可得的奇偶性，根据题意，可得，可求得值，分析讨论，即可得答案.
【详解】令，
则，
所以为偶函数，图象关于y轴对称，
因为原方程仅有一个实根，
所以有且仅有一个根，即，
所以，解得或-1，
当时，，，，不满足仅有一个实数根，故舍去，
当时，，当时，由复合函数的单调性知是增函数，所以，
当时，，所以，
所以仅有，满足题意，
综上：.
故选：B
6、A
【解析】根据函数的周期性以及奇偶性，结合已知函数解析式，代值计算即可.
【详解】因为函数满足：，且，
故是上周期为的偶函数，故，
又当时，，则，
故.
故选：A.
7、C
【解析】由已知可得，故选C
考点：集合的基本运算
8、B
【解析】要使函数在上为减函数，则要求①当，在区间为减函数，②当时，在区间为减函数，③当时，，综上①②③解不等式组即可.
【详解】令，.
要使函数在上为减函数，
则有在区间上为减函数，
在区间上为减函数且,
∴,解得.
故选：B
【点睛】考查根据分段函数的单调性求参数的问题，根据单调性的定义，注意在分段点处的函数值的关系，属于中档题.
9、D
【解析】等价于二次函数的最大值不小于零，即可求出答案.
【详解】设，
，使得不等式成立，
须，即，或，
解得.
故选:D
【点睛】本题考查特称命题成立求参数的问题，等价转化是解题的关键，属于基础题.
10、A
【解析】将函数变形为，再根据基本不等式求解即可得答案.
详解】解：由题意，所以，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以函数的最小值为.
故选：A
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
根据题意，有在R上恒成立，则，即可得解.
【详解】若函数f（x）=的定义域为R，
则在R上恒成立，
则，
解得：，
故答案为：.
12、2
【解析】由点在直线上得上，且表示点与原点的距离
∴的最小值为原点到直线的距离，即
∴的最小值为2
故答案为2
点睛：本题考查了数学的化归与转换能力，首先要知道一些式子的几何意义，比如本题表示点 和原点的两点间距离，所以本题转化为已知直线上的点到定点的距离的最小值，即定点到直线的距离最小.
13、或
【解析】由已知条件知，结合根与系数关系可得，代入化简后求解，即可得出结论.
【详解】关于x的不等式的解集为，
可得，方程的两根为，
∴,
所以，代入得，
，即，
解得或.
故答案为: 或.
【点睛】本题考查一元二次不等式与一元二次方程的关系，以及解一元二次不等式，属于基础题.易错点是忽视对的符号的判断.
14、
【解析】由函数图像关于对称，可得函数是偶函数，由当时，恒成立，可得函数在上为增函数，从而将转化为，进而可求出取值范围
【详解】因为函数图像关于对称，
所以函数是偶函数，
所以可转化为
因为当时，恒成立，
所以函数在上为增函数，
所以，解得，
所以取值范围为，
故答案为：
15、
【解析】由题意在上单调递减，又是偶函数，
则不等式可化为，则，，解得
16、
【解析】解：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）为奇函数，证明见解析
（2）证明见解析（3）
【解析】（1）求出函数的定义域，然后验证、之间的关系，即可证得函数为奇函数；
（2）任取、，且，作差，因式分解后判断差值的符号，即可证得结论成立；
（3）由参变量分离法可得出，令，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
证明：函数为奇函数，理由如下：
函数的定义域为，，
所以为奇函数.
【小问2详解】
证明：任取、，且，则，，

，
所以，，所以在区间上单调递增.
【小问3详解】
解：不等式在上恒成立
等价于在上恒成立，
令，因为，所以，
则有在恒成立，
令，，则，
所以，所以实数的取值范围为.
18、（1）；（2）在上单调递增，在上单调递减；（3）不存在.
【解析】（1）直接求出，从而通过解不等式可求得的取值范围；
（2）根据二次函数的单调性即可得出分段函数的单调性；
（3）首先判断出，从而得到，即在上单调递增；然后把问题转化为在上有两个不等实数根的问题，从而判断出不存在的值.
【详解】（1）∵，
∴，即，所以，
所以的取值范围为.
（2）易知，
对于，其对称轴为，开口向上，
所以在上单调递增；
对于，其对称轴为，开口向上，
所以在上单调递减，
综上知，在上单调递增，在上单调递减；
（3）由（2）得，
又在上的值域为，所以，
又∵在上单调递增，
∴，即在上有两个不等实数根，
即在上有两个不等实数根，
即在上有两个不等实数根，
令，则其对称轴为，所以在上不可能存在两个不等的实根，
∴不存在满足在上的值域为.
19、（1）1（2）或
【解析】（1）将点坐标代入求出b的值；（2）分与两种情况，根据函数单调性表达出最大值和最小值，列出方程，求解a的值.
【小问1详解】
，解得.
【小问2详解】
当时，在区间上单调递减，此时，，所以，解得：或0（舍去）；
当时，在区间上单调递增，此时，，所以，解得：或0（舍去）.
综上：或
20、（1）；（2）
【解析】（1）根据指数幂的运算性质，化简计算，即可得答案.
（2）根据对数的运算性质，化简计算，即可得答案.
【详解】（1）原式；
（2）原式
21、（1）见解析；（2）见解析.
【解析】（1）欲证：平面，根据直线与平面平行的判定定理可知，只需证与平面内一条直线平行，连接，可知，则，又平面，平面，满足定理所需条件；
（2）欲证：平面平面，根据面面垂直的判定定理可知，在平面内一条直线与平面垂直，而平面，平面，则，，满足线面垂直的判定定理则平面，而平面，满足定理所需条件
【详解】（1）证明：连接，在正方体中，对角线，
又因为、为棱、的三等分点，
所以，则，
又平面，平面，
所以平面
（2）因为在正方体中，
因为平面，而平面，
所以，
又因为在正方形中，，
而，
平面，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面

【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理，以及考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力