2025-2026学年南京师范大学附属中学高一上数学期末联考试题含解析.doc

2025-2026学年南京师范大学附属中学高一上数学期末联考试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若，则　　
A. B.
C. D.
2．已知函数， 则的值为（ ）
A.1 B.2
C.4 D.5
3．设函数的最小值为-1，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
4．针对“台独”分裂势力和外部势力勾结的情况，为捍卫国家主权和领土完整，维护中华民族整体利益和两岸同胞切身利益，解放军组织多种战机巡航.已知海面上的大气压强是，大气压强（单位：）和高度（单位：）之间的关系为（为自然对数的底数，是常数），根据实验知高空处的大气压强是，则当歼20战机巡航高度为，歼16D战机的巡航高度为时，歼20战机所受的大气压强是歼16D战机所受的大气压强的（ ）倍（精确度为0.01）.
A.0.67 B.0.92
C.1.09 D.1.26
5．函数的图像大致为（）
A. B.
C. D.
6．已知函数若函数有四个零点,零点从小到大依次为则的值为(　　)
A.2 B.
C. D.
7．一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条(　　)
A.相交 B.异面
C.相交或异面 D.平行
8．已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
9．为了得到函数的图象，只需将的图象上的所有点
A.横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度
B.横坐标缩短倍，再向上平移1个单位长度
C.横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度
D.横坐标缩短倍，再向下平移1个单位长度
10．若sinα=，α是第二象限角，则sin（2α+）=（　　）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”其意思为：“有一块扇形的田，弧长为30步，其所在圆的直径为16步，问这块田的面积是多少平方步？”该问题的答案为___________平方步.
12．已知a，b为直线，α，β，γ为平面，有下列四个命题：
（1）a∥α，b∥β，则a∥b；
（2）a⊥γ，b⊥γ，则a∥b；
（3）a∥b，b⊂α，则a∥α；
（4）a⊥b，a⊥α，则b∥α；
其中正确命题是__
13．已知向量，，，则=_____.
14．设b＞0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列之一，则a的值为______________

15．已知函数的定义域为R，，且函数为偶函数，则的值为________，函数是________函数（从“奇”、“偶”、“非奇非偶”、“既奇又偶”中选填一个）.
16．已知,则的值为________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知，且函数是奇函数.
（1）求实数a的值；
（2）判断函数的单调性，并证明.
18．设函数
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调递减区间；
（3）求函数在闭区间内的最大值以及此时对应的x的值
19．已知函数，，.
（1）若，求函数的解析式；
（2）试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明.
20．设n是不小于3的正整数，集合，对于集合Sn中任意两个元素．定义．若，则称A，B互为相反元素，记作或
（1）若n=3，A=（0，1，0），B=（1，1，0），试写出，，以及A·B的值；
（2）若，证明：；
（3）设k是小于n的正奇数，至少含有两个元素的集合，且对于集合M中任意两个不同的元素，都有，试求集合M中元素个数的所有可能的取值
21．已知半径为的圆的圆心在轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线相切．求：
（1）求圆的方程；
（2）设直线与圆相交于两点，求实数的取值范围；
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式把要求的式子化为，把已知条件代入运算，求得结果．
【详解】，，
故选D．
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．
2、D
【解析】根据函数的定义域求函数值即可.
【详解】因为函数， 则，
又，所以
故选：D.
【点睛】本题考查分段函数根据定义域求值域的问题，属于基础题.
3、C
【解析】当时，为增函数，最小值为，故当时，，分离参数得，函数开口向下，且对称轴为，故在递增，，即.
考点：分段函数的最值.
【思路点晴】本题主要考查分段函数值域问题，由于函数的最小值为，所以要在两段函数图象都要讨论最小值.首先考虑没有参数的一段，当时，为增函数，最小值为.由于这一段函数值域已经包括了最小值，故当时，值域应该不小于，分离常数后利用二次函数图象与性质可求得参数的取值范围.
4、C
【解析】根据给定信息，求出，再列式求解作答.
【详解】依题意，，即，则歼20战机所受的大气压强，
歼16D战机所受的大气压强，，
所以歼20战机所受的大气压强是歼16D战机所受的大气压强的倍.
故选：C
5、A
【解析】通过判断函数的奇偶性排除CD,通过取特殊点排除B，由此可得正确答案.
【详解】∵
∴ 函数是偶函数，其图像关于轴对称，∴ 排除CD选项；
又时，，∴，排除B，
故选.
6、C
【解析】函数有四个零点，即与图象有4个不同交点，
可设四个交点横坐标满足，由图象，结合对数函数的性质，进一步求得，利用对称性得到，从而可得结果.
【详解】
作出函数的图象如图,
函数有四个零点，即与的图象有4个不同交点，
不妨设四个交点横坐标满足，
则，，,
可得,
由，得，
则，可得，
即，，故选C.
【点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.
7、C
【解析】如下图所示,三条直线平行,与异面,而与异面,与相交,故选C.

8、B
【解析】首先求出、，即可判断，再利用作差法判断，即可得到，再判断，即可得解；
【详解】解：由，所以，可知，又由，有，又由，有，可得，即，故有.
故选：B
9、B
【解析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论
【详解】将的图象上的所有点的横坐标缩短 倍（纵坐标不变），可得y＝3sin2x的图象；
再向上平行移动个单位长度，可得函数的图象，
故选B
【点睛】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，熟记变换规律是关键，属于基础题
10、D
【解析】根据，求出的值，再将所求式子展开，转化成关于和的式子，然后代值得出结果
【详解】因为且为第二象限角，
根据得，
，
再根据二倍角公式得原式=，
将，代入上式得，
原式=
故选D
【点睛】本题考查三角函数给值求值，在已知角的取值范围时可直接用同角公式求出正余弦值，再利用和差公式以及倍角公式将目标式转化成关于和的式子，然后代值求解就能得出结果

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、120
【解析】利用扇形的面积公式求解.
【详解】由题意得：扇形弧长为30，半径为8，
所以扇形的面积为：，
故答案为：120
12、②
【解析】对于①，，则，位置关系不确定，的位置关系不能确定；对于②，由垂直于同一平面的两直线平行知，结论正确；对于③，，则或；对于④，，则或，故答案为②.
【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定与性质、面面垂直的性质及线面垂直的判定，属于难题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.
13、
【解析】先根据向量的减法运算求得,再根据向量垂直的坐标表示,可得关于的方程,解方程即可求得的值.
【详解】因为向量，，
所以

则
即
解得
故答案为:
【点睛】本题考查了向量垂直的坐标关系,属于基础题.
14、-1
【解析】根据题中条件可先排除①,②两个图象，然后根据③，④两个图象都经过原点可求出a的两个值，再根据二次函数图象的开口方向就可确定a的值.
【详解】∵b＞0∴二次函数的对称轴不能为y轴，∴可排除掉①,②两个图象
∵③，④两个图象都经过原点，∴a2﹣1＝0，∴a＝±1
∵当a＝1时，二次函数图象的开口向上，对称轴在y轴左方，
∴第四个图象也不对，∴a＝﹣1，
故答案为：-1
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，做题时注意题中条件的利用，合理地利用排除法解决选择题
15、 ①.7 ②.奇
【解析】利用函数的奇偶性以及奇偶性定义即可求解.
【详解】函数为偶函数，
由，则，
所以，
所以，
，定义域为，
定义域关于原点对称.
因为，
所以，
所以函数为奇函数.
故答案为：7；奇
16、
【解析】利用正弦、余弦、正切之间的商关系,分式的分子、分母同时除以即可求出分式的值.
【详解】
【点睛】本题考查了同角三角函数的平方和关系和商关系,考查了数学运算能力.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）在上是减函数，证明见解析
【解析】（1）直接由解出，再把代入检验；
（2）直接由定义判断单调性即可.
【小问1详解】
因为，函数奇函数，
所以，解得.
此时，，，满足题意.
故.
【小问2详解】
在上是减函数.
任取，，则，
由
∴，
故在上是减函数.
18、（1）
（2），
（3）在内的最大值为，此时
【解析】（1）利用三角恒等变换化简可得＝＋根据周期公式计算即可；
（2）令＋2kp≤2x－≤＋2kp，，计算即可求得的单调递减区间；
（3）由0≤x≤，可得－≤2x－≤，利用正弦型函数性质即可求得最值及对应的的值
【小问1详解】
f(x)＝sin2x－cos2x＋2cosx
＝－cos2x＋2cosx
＝－cos2x＋＋sin2x
＝sin2x－cos2x＋
＝＋
函数f(x)的最小正周期为T＝＝π
【小问2详解】
令＋2kp≤2x－≤＋2kp，，
解得＋kp≤x≤＋kp，，
函数f(x)的单调递减间为，
【小问3详解】
因为0≤x≤，－≤2x－≤，所以
当2x－＝时，即x＝时，f(x)有最大值为
19、（1）
（2）见解析.
【解析】(1)由求a的值即可；
(2)根据a的大小分类讨论即可.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
任取，且，则，，
，
①时，，在单调递增；
②时，
(i)时，单调递减；
(ii)时，单调递增；
即时，f(x)在单调递减，在单调递增；
③时，
，在单调递减.
综上所述，
时，在单调递增；
时，f(x)在单调递减，在单调递增；
时，在单调递减.
20、（1）
（2）证明见解析（3）集合M中元素的个数只可能是2
【解析】（1）根据定义直接求解即可；
（2）设，进而结合题意得，，再计算即可；
（3）假设为集合M中的三个不相同的元素，进而结合题意，推出矛盾，得出假设不成立，即集合M中至多有两个元素，且时符合题意，故集合M中元素的个数只可能是2
【小问1详解】
解：因为若，则称A，B互为相反元素，记作或，
所以，
所以.
【小问2详解】
解：设，
由，可得
所以，
当且仅当，即时上式“=”成立
由题意可知
即
所以

【小问3详解】
解：解法1：假设为集合M中的三个不相同的元素
则
即
又由题意可知或1，i=1，2，，n
恰有k个1，与n－k个0
设其中k个等于1项依次为
n－k个等于0的项依次为
由题意可知
所以，
同理
所以
即
因为
由（2）可知
因为
所以，
设，由题意可知.
所以，得与为奇数矛盾
所以假设不成立，即集合M中至多有两个元素
当时符合题意
所以集合M中元素的个数只可能是2
解法2：假设为集合M中的三个不相同的元素
则
即
又由题意可知
恰有k个1，与n－k个0
设其中k个等于1的项依次为
n－k个等于0的项依次
由题意可知
所以①
同理②
因为
所以，
①—②得
又因为为奇数
与矛盾
所以假设不成立，即集合M中至多有两个元素
当时符合题意
所以集合M中元素的个数只可能是2
【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键在于利用反证法证明当为集合M中的三个不相同的元素时，结合题意推出与为奇数矛盾，进而得集合M中至多有两个元素，再举例当时符合题意即可.
21、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（1）求圆的方程有两种方法：①几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．②代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解，利用待定系数法的关键是建立关于a，b，r或D，E，F的方程组．本题利用几何性质；（2）利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系；也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系
试题解析：（1）设圆心为，因圆C与直线相切，故，又，所以
所求圆的方程为
（2）因直线与圆M相交于两点，所以圆心到直线的距离小于半径
故，解得
考点：圆的方程及直线与圆的位置关系