2025年广东省广州市荔湾、海珠部分学校高一上数学期末联考模拟试题含解析.doc

2025年广东省广州市荔湾、海珠部分学校高一上数学期末联考模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．不论a取何正实数，函数恒过点（　　）
A. B.
C. D.
2．设，，，则的大小关系是（）
A. B.
C. D.
3．若直线l1：2x+y-1=0与l2：y=kx-1平行，则l1，l2之间的距离等于（　　）
A. B.
C. D.
4．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示，则函数的解析式为（）

A.y＝2sin B.y＝
C.y＝2sin D.y＝2sin
5．已知函数且，则函数恒过定点（ ）
A. B.
C. D.
6．已知函数，则函数（）
A.有最小值 B.有最大值
C.有最大值 D.没有最值
7．已知函数，则的值是
A. B.
C. D.
8．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点，若其欧拉线方程为，则顶点C的坐标是
A. B.
C. D.
9．已知集合，，，则实数a的取值集合为（）
A. B.
C. D.
10．下列函数中既是奇函数，又是其定义域上的增函数的是
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数，正实数，满足，且，若在区间上的最大值为2，则________.
12．在平面直角坐标系中，动点P到两条直线与的距离之和等于2，则点P到坐标原点的距离的最小值为_________.
13．16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为简化计算发明了对数.直到18世纪，才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，即.现在已知，则__________
14．已知函数f（x）＝，设a∈R，若关于x的不等式f(x)在R上恒成立，则a的取值范围是__
15．已知，，则________.（用m，n表示）
16．定义在上的奇函数满足：对于任意有，若，则的值为__________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知圆C经过点A（0，0），B（7，7），圆心在直线上
（1）求圆C的标准方程；
（2）若直线l与圆C相切且与x，y轴截距相等，求直线l的方程
18．已知集合M是满足下列性质的函数的全体：在定义域D内存在，使得成立
函数是否属于集合M？说明理由；
若函数属于集合M，试求实数k和b满足的约束条件；
设函数属于集合M，求实数a的取值范围
19．已知函数..
（1）判断函数的奇偶性并证明；
（2）若函数在区间上单调递减，且值域为，求实数的取值范围
20．已知是定义在上的偶函数，当时，.
（1）求在时的解析式；
（2）若，在上恒成立，求实数的取值范围.
21．已知函数
（1）当时，在上恒成立，求的取值范围；
（2）当时，解关于的不等式
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】令指数为0，即可求得函数恒过点
【详解】令x+1=0，可得x=-1，则
∴不论取何正实数，函数恒过点（-1，-1）
故选A
【点睛】本题考查指数函数的性质，考查函数恒过定点，属于基础题
2、C
【解析】根据对数函数和幂函数单调性可比较出大小关系.
【详解】，；
，，，即，又，.
故选：C.
3、B
【解析】根据两直线平行求得k的值，再求两直线之间的距离
【详解】直线l2的方程可化为kx-y-1=0，
由两直线平行得，k=-2；
∴l2的方程为2x+y+1=0，
∴l1，l2之间的距离为
故选B
【点睛】本题考查了直线平行以及平行线之间的距离应用问题，是基础题
4、C
【解析】先从图象中看出A，再求出最小正周期，求出ω，代入特殊值后结合φ范围求出φ的值，得到答案.
【详解】由图象可知A＝2，因为－＝＝，所以T＝，ω＝2.当x＝－时，2sin＝2，即sin＝1，又|φ|<，解得φ＝.故函数的解析式为y＝2sin.
故选：C
5、D
【解析】利用对数函数过定点求解.
【详解】令，解得，，
所以函数恒过定点，
故选：D
6、B
【解析】换元法后用基本不等式进行求解.
【详解】令，则，
因为，，故，
当且仅当，即时等号成立，故函数有最大值，
由对勾函数的性质可得函数，即有最小值.
故选：B
7、B
【解析】直接利用分段函数，求解函数值即可
【详解】函数，
则f（1）+＝log210++1＝
故选B
【点睛】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力
8、A
【解析】设C的坐标，由重心坐标公式求重心，代入欧拉线得方程，求出AB的垂直平分线，联立欧拉线方程得三角形外心，外心到三角形两顶点距离相等可得另一方程，两方程联立求得C点的坐标.
【详解】设C(m，n),由重心坐标公式得重心为,
代入欧拉线方程得： ①
AB的中点为，，
所以AB的中垂线方程为
联立，解得
所以三角形ABC的外心为，
则，化简得： ②
联立①②得：或，
当时，BC重合，舍去，
所以顶点C的坐标是
故选A.
【点睛】本题主要考查了直线方程的各种形式，重心坐标公式，属于中档题.
9、C
【解析】先解出集合A，再根据确定集合B的元素，可得答案.
【详解】由题意得，，∵，，
∴实数a的取值集合为,
故选:C.
10、C
【解析】对于A，函数的偶函数，不符合，故错；对于B，定义域为 ，是非奇非偶函数，故错；对于C，定义域R，是奇函数，且是增函数，正确；对于D，是奇函数，但是是减函数，故错
考点：本题考查函数的奇偶性和单调性
点评：解决本题的关键是掌握初等函数的奇偶性和单调性

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】先画出函数图像并判断，再根据范围和函数单调性判断时取最大值，最后计算得到答案.
【详解】如图所示：根据函数的图象

得，所以．结合函数图象，
易知当时在上取得最大值，所以
又，所以，
再结合，可得，所以.
故答案为：
【点睛】本题考查对数型函数的图像和性质、函数的单调性的应用和最值的求法，是中档题.
12、
【解析】∵3x﹣y=0与x+3y=0的互相垂直，且交点为原点，
∴设点P到两条直线的距离分别为a，b，则a≥0，b≥0，

则a+b=2，即b=2﹣a≥0，
得0≤a≤2，
由勾股定理可知===，
∵0≤a≤2，
∴当a=1时，的距离，
故答案为
13、3
【解析】由
将对数转化为指数

14、﹣≤a≤2
【解析】先求画出函数的图像，然后对的图像进行分类讨论，使得的图像在函数的图像下方，由此求得的取值范围.
【详解】画出函数的图像如下图所示，而，是两条射线组成，且零点为.将向左平移，直到和函数图像相切的位置，联立方程消去并化简得，令判别式，解得.将向右平移，直到和函数图像相切的位置，联立方程消去并化简得，令判别式，解得.根据图像可知

【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，其中包括二次函数的图像、对勾函数的图像，以及含有绝对值函数的图像，考查恒成立问题的求解方法，考查数形结合的数学思想方法以及分类讨论的数学思想方法，属于中档题.形如函数的图像，是引出的两条射线.
15、
【解析】根据指数式与对数式的互化，以及对数的运算性质，准确运算，即可求解.
【详解】因为，，所以，，
所以，可得.
故答案为：
16、
【解析】由可得,则可化简,利用可得,由是在上的奇函数可得,由此
【详解】由题,因为,所以,由,则,
则,
因为,令,则,所以,
因为是在上的奇函数,所以,
所以,
故答案：0
【点睛】本题考查函数奇偶性、周期性的应用,考查由正切值求正、余弦值

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25
（2）yx或x+y+57＝0或x+y﹣57＝0
【解析】（1）设圆心C（a，b），半径为r，然后根据条件建立方程组求解即可；
（2）分直线l经过原点、直线l不经过原点两种情况求解即可.
【小问1详解】
根据题意，设圆心C（a，b），半径为r，标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，
圆C经过点A（0，0），B（7，7），圆心在直线上，
则有，解可得，
则圆C的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25，
小问2详解】
若直线l与圆C相切且与x，y轴截距相等，分2种情况讨论：
①直线l经过原点，设直线l的方程为y＝kx，则有5，解得k，此时直线l的方程为yx；
②直线l不经过原点，设直线l的方程为x+y﹣m＝0，则有5，解得m＝7+5或7﹣5，
此时直线l方程为x+y+57＝0或x+y﹣57＝0；
综合可得：直线l的方程为yx或x+y+57＝0或x+y﹣57＝0
18、（1）；（2），；（3）
【解析】（1）由，得，即.此方程无实根，函数不属于集合.
（2）由，得解得为任意实数；
（3）由，得，即整理得，
有解；
解得
综上
19、（1）奇函数（2）
【解析】（1）先求定义域，再研究与的关系得函数奇偶性；（2）由函数在上的单调性，得函数的值域，又因为值域为，转化为关于和的关系式，由二次函数的图像与性质求的取值范围
【详解】（1）函数定义域为，且.所以函数为奇函数
（2）考察为单调增函数，利用复合函数单调性得到，所以，，
即，即为方程的两个根，且，
令，满足条件，解得.
【点睛】判断函数的奇偶性，要先求定义域，判断定义域是否关于原点对称再求与的关系；计算函数的值域，要先根据函数的定义域及单调性求解
20、（1）；
（2）.
【解析】（1）利用函数的奇偶性结合条件即得；
（2）由题可知在上恒成立，利用函数的单调性可求，即得.
【小问1详解】
∵当时，，
∴当时，，
∴，又是定义在上的偶函数，
∴，
故当时，；
【小问2详解】
由在上恒成立，
∴在上恒成立，
∴
又∵与在上单调递增，
∴，
∴，解得或，
∴实数的取值范围为.
21、（1）
（2）答案不唯一，具体见解析
【解析】（1）利用参变量分离法可求得实数的取值范围；
（2）分、、、四种情况讨论，结合二次不等式的解法可求得原不等式的解集.
【小问1详解】
由题意得，当时，在上恒成立，
即当时，在上恒成立，
不等式可变为，
令，，则，
故，解得
【小问2详解】
当时，解不等式，即当时，解不等式，不等式可变为，
若时，不等式可变为，可得；
若时，不等式可变为，
当时，，可得或；
当时，，即，可得且；
当时，，可得或
综上：当时，原不等式的解集是；
当时，原不等式的解集是；
当时，原不等式的解集是；
当时，原不等式的解集是