山西省运城市临猗县临晋中学2026届数学高二第一学期期末学业水平测试试题含解析.doc

山西省运城市临猗县临晋中学2026届数学高二第一学期期末学业水平测试试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，则下列正确的是（）
A. B.
C. D.
2．已知等比数列的公比为，则“”是“是递增数列”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3．已知双曲线的对称轴为坐标轴，一条渐近线为，则双曲线的离心率为
A.或 B.或
C.或 D.或
4．若复数满足，则复平面内表示的点位于（）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5．已知动圆过定点，并且与定圆外切，则动圆的圆心的轨迹是（ ）
A.抛物线 B.椭圆
C.双曲线 D.双曲线的一支
6．已知点在椭圆上，与关于原点对称，，交轴于点，为坐标原点，，则椭圆离心率为（ ）
A. B.
C. D.
7．已知命题：△中，若，则；命题：函数，，则的最大值为.则下列命题是真命题的是（）
A. B.
C. D.
8．已知正实数a，b满足，若不等式对任意的实数x恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
9．直线在y轴上的截距为（）
A.-1 B.1
C. D.
10．如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）中，E为延长线上一点，，则=（ ）

A. B.
C. D.
11．函数的定义域为开区间，导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内的极大值点有（ ）

A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
12．已知过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，则的最小值为（）
A. B.2
C. D.3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量，，若，则实数m的值是___________.
14．正四棱柱的高为底面边长的倍，则其体对角线与底面所成角的大小为_________.
15．已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是___.
16．经过点，圆心在x轴正半轴上，半径为5的圆的方程为________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）求满足下列条件的双曲线的标准方程
（1）焦点在x轴上，实轴长为4，实半轴长是虚半轴长的2倍；
（2）焦点在y轴上，渐近线方程为，焦距长为
18．（12分）如图所示，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，底面，为的中点

（1）求证：平面平面；
（2）求点到平面的距离
19．（12分）已知椭圆的离心率为，椭圆过点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点的直线交椭圆于M、N两点，已知直线MA，NA分别交直线于点P，Q，求的值.
20．（12分）已知在△中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.
（1）求角C的大小；
（2）若，求△的面积S的最大值.
21．（12分）已知等差数列的前项的和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，记数列的前项和，求使得恒成立时的最小正整数.
22．（10分）已知函数．若图象上的点处的切线斜率为
（1）求a，b的值；
（2）的极值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】根据不等式性质并结合反例，即可判断命题真假.
【详解】对于选项A：若，则，
由题意，，不妨令，，则此时，这与结论矛盾，故A错误；
对于选项B：当时，若，则，故B错误；
对于选项C：由，不妨令，，则此时，故C错误；
对于选项D：由不等式性质，可知D正确.
故选：D.
2、B
【解析】先分析充分性：假设特殊等比数列即可判断；
再分析充分性，由条件得恒成立，再对和进行分类讨论即可判断.
【详解】先分析充分性：在等比数列中，，所以假设，，
所以，等比数列为递减数列，故充分性不成立；
分析必要性：若等比数列的公比为，且是递增数列，
所以恒成立，即恒成立，
当，时，成立，
当，时，不成立，
当，时，不成立，
当，时，不成立，
当，时，成立，
当，时，不成立，
当，时，不恒成立，
当，时，不恒成立，
所以能使恒成立的只有：，和
，，易知此时成立，所以必要性成立.
故选：B.
3、B
【解析】分双曲线的焦点在轴上和在轴上两种情况讨论，求出的值，利用可求得双曲线的离心率的值.
【详解】若焦点在轴上，则有，则双曲线的离心率为；
若焦点在轴上，则有，则，则双曲线的离心率为.
综上所述，双曲线的离心率为或.
故选：B.
【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，在双曲线的焦点位置不确定的情况下，要对双曲线的焦点位置进行分类讨论，考查计算能力，属于基础题.
4、A
【解析】根据复数的运算法则，求得，结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】由题意，复数满足，可得，
所以复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限.
故选：A.
5、D
【解析】结合双曲线定义的有关知识确定正确选项.
【详解】圆圆心为，半径为，
依题意可知，
结合双曲线的定义可知，的轨迹为双曲线的一支.
故选：D
6、B
【解析】由，得到，结合，得到，进而求得，得出，结合离心率的定义，即可求解.
【详解】设，则，
由，可得，所以，
因为，可得，
又由，两式相减得，
即，即，
又因为，所以，即
又由，所以，解得.
故选：B.

7、A
【解析】由三角形内角及正弦函数的性质判断、的真假，应用换元法令，结合对勾函数的性质确定的值域即知、的真假，根据各选项复合命题判断真假即可.
【详解】由且，可得或，故为假命题，为真命题；
令，又，则，故，
∵在上递减，
∴，故的最大值为.
∴为真命题，为假命题；
∴为真，为假，为假，为假.
故选：A.
8、D
【解析】利用基本不等式求出的最小值16，分离参数即可.
【详解】因为，，，
所以，当且仅当，即，时取等号
由题意，得，即对任意的实数x恒成立，又，所以，即
故选：D
9、A
【解析】把直线方程由一般式化成斜截式，即可得到直线在轴上的截距.
【详解】由，可得，
则直线在轴上的截距为.
故选：A
10、A
【解析】根据空间向量的加减法运算法则，直接写出向量的表达式，即可得答案.
【详解】
=,
故选：A.
11、B
【解析】利用极值点的定义求解.
【详解】由导函数的图象知：函数在内，与x轴有四个交点：
第一个点处导数左正右负，第二个点处导数左负右正，
第三个点处导数左正右正，第四个点处导数左正右负，
所以函数在开区间内的极大值点有2个，
故选：B
12、D
【解析】设出直线方程，联立抛物线方程，得到韦达定理，求得，利用抛物线定义，将目标式转化为关于的代数式，消元后，利用基本不等式即可求得结果.
【详解】因为抛物线的焦点的坐标为，
显然要满足题意，直线的斜率存在，设直线的方程为
联立可得，其，
设坐标为，显然，
则，，
根据抛物线定义，，
故
，
令，
故，
当且仅当，即时取得最小值.
故选：D.
【点睛】本题考察抛物线中的最值问题，涉及到韦达定理的使用，基本不等式的使用；其中利用的关系，以及抛物线的定义转化目标式，是解决问题的关键.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】结合已知条件和空间向量的数量积的坐标公式即可求解.
【详解】因为，
所以，解得.
故答案为：.
14、##
【解析】如图所示，其体对角线与底面所成角为，解三角形即得解.
【详解】解：如图所示，设，所以.
由题得平面,
则其体对角线与底面所成角为,
因为,所以.
故答案为：

15、∪
【解析】根据题意得出且与不共线，然后根据向量数量积的定义及向量共线的条件求出x的取值范围.
【详解】∵与的夹角为钝角，且与不共线，
即，且，
解得，且，
∴x的取值范围是∪.
故答案为：∪.
16、
【解析】设圆方程为，代入原点计算得到答案.
【详解】设圆方程为
经过点，代入圆方程
则圆方程为
故答案为
【点睛】本题考查了圆方程的计算，设出圆方程是解题的关键.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）（2）直接由条件解出即可得到双曲线方程.
【小问1详解】
由题意有，解得：，
则双曲线的标准方程为：
【小问2详解】
由题意有，解得：，
则双曲线的标准方程为：
18、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）设与交点为，延长交的延长线于点，进而根据证明，再结合底面得，进而证明平面即可证明结论；
（2）由得点到平面的距离等于点到平面的距离的，进而过作，垂足为，结合（1）得点到平面的距离等于，再在中根据等面积法求解即可.
【小问1详解】
证明：设与交点为，延长交的延长线于点，
因为四棱锥的底面为直角梯形，，
所以，所以，
因为为的中点，所以，
因为
所以，所以，所以，
所以，
又因为，所以，
又因为，所以，
所以，所以
又因为底面，所以，
因为，

所以平面，
因为平面，
所以平面平面
【小问2详解】
解：由于，
所以，点到平面的距离等于点到平面的距离的，

因为平面平面，平面平面
故过作，垂足为，
所以，平面，
所以点到平面的距离等于
在中，，
所以，点到平面的距离等于.
19、（1）
（2）1
【解析】（1）由题意得到关于a，b的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；
（2）首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线MA，NA的方程确定点P，Q的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得，从而可得两线段长度的比值.
【小问1详解】
由题意，点椭圆上，有，
解得故椭圆C的方程为.
【小问2详解】
当直线l的斜率不存在时，显然不符；
当直线l的斜率存在时，
设直线l为：
联立方程得：
由，设，有
又由直线AM：，令x=-4得，
将代入得：，同理得：.
很明显，且，注意到，
，
而

，
故
所以.
【点睛】本题考查求椭圆的方程，解题关键是利用离心率与椭圆上的点，找到关于a，b，c的等量关系求解a与b．本题中直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理求出，．表示出，，然后转化为相应的比值关系．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题
20、（1）；
（2）.
【解析】（1）由正弦定理、和角正弦公式及三角形内角的性质可得，进而可得C的大小；
（2）由余弦定理可得，根据基本不等式可得，由三角形面积公式求面积的最大值，注意等号成立条件.
【小问1详解】
由正弦定理知：，
∴，又，
∴，则，故.
【小问2详解】
由，又，则，
∴，当且仅当时等号成立，
∴△的面积S的最大值为.
21、 (1) (2)1
【解析】（1）先设设等差数列的公差为，由，列出方程组求出首项和公差即可；
（2）由(1)先求出，再由裂项相消法求数列的前项和即可.
【详解】解：（1）设等差数列的公差为，因为，，
所以 解得
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）可知
∴
,
∴，∴，∴的最小正整数为1
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，以及裂项相消法求数列前项和的问题，熟记公式即可，属于基础题型.
22、（1）
（2）极大值为，极小值为
【解析】（1）求出函数的导函数，再根据图象上的点处的切线斜率为，列出方程组，解之即可得解；
（2）求出函数的导函数，根据导函数的符号求得函数的单调区间，再根据极值的定义即可得解.
【小问1详解】
解：，
，
；
【小问2详解】
解：由（1）得
，令，得
或，，

－1
（－1，3）
3

＋
0
－
0
＋

的极大值为，极小值为.