2025年江苏省南通市如皋中学数学高一上期末监测模拟试题含解析.doc

2025年江苏省南通市如皋中学数学高一上期末监测模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．直线的倾斜角为
A. B.
C. D.
2．已知命题：，总有，则命题的否定为（）
A.，使得 B.，使得
C.，总有 D.，总有
3．命题“”的否定是：（）
A. B.
C. D.
4．为了给地球减负，提高资源利用率，2020年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚．假设某市2020年全年用于垃圾分类的资金为3000万元，在此基础上，以后每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1亿元的年份是（参考数据：，，）（）
A2026年 B.2027年
C.2028年 D.2029年
5．已知函数为奇函数，且当时，，则（）
A. B.
C. D.
6．如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏让沙漏在偏离平衡位置一定角度后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动．设线长为，沙漏摆动时离开平衡位置的位移（单位：cm）与时间（单位：s）的函数关系是，．若，要使沙漏摆动的最小正周期是，则线长约为（）

A.5m B.
C. D.20m
7．方程的解所在的区间为（）
A. B.
C. D.
8．设函数的部分图象如图所示，若，且，则（）

A. B.
C. D.
9． “”是“幂函数为偶函数”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
10．已知角的始边与轴非负半轴重合，终边过点，则（）
A.1 B.-1
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知，则________
12．函数的零点为_________________.
13．已知函数在上的最大值为2，则_________
14．设，，则的取值范围是______.
15．已知幂函数过定点，且满足，则的范围为________
16．函数在区间上单调递增，则实数的取值范围_______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数.
（1）判断在区间上的单调性，并用定义证明；
（2）判断的奇偶性，并求在区间上的值域.
18．已知直线与圆相交于点和点
（1）求圆心所在的直线方程；
（2）若圆心的半径为1，求圆的方程
19．某城市地铁项目正在紧张建设中，通车后将给市民出行带来便利.已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔（单位：分钟）满足.经测算，地铁载客量与发车时间间隔相关，当时地铁为满载状态，载客量为人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为分钟时的载客量为人，记地铁载客量为.
（1）求的表达式，并求当发车时间间隔为分钟时，地铁的载客量；
（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？每分钟的最大净收益为多少？
20．已知，且函数.
（1）判断的奇偶性，并证明你的结论；
（2）设，对任意，总存在，使得g(x1)=h(x2)成立，求实数c的取值范围.
在以下①，②两个条件中，选择一个条件，将上面的题目补充完整，先求出a，b的值，并解答本题.
①函数在定义域上为偶函数；
②函数在上的值域为；
21．我们知道：人们对声音有不同感觉，这与它的强度有关系，声音的强度用（单位：）表示，但在实际测量时，常用声音的强度水平（单位：分贝）表示，它们满足公式：（，其中（）），是人们能听到的最小强度，是听觉的开始．请回答以下问题：
（Ⅰ）树叶沙沙声的强度为（），耳语的强度为（），无线电广播的强度为（），试分别求出它们的强度水平；
（Ⅱ）某小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在分贝以下（不含分贝），试求声音强度的取值范围
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】设直线x﹣y+3=0的倾斜角为θ
由直线x﹣y+3=0化为y=x+3，
∴tanθ=，
∵θ∈[0，π），∴θ=60°
故选B
2、B
【解析】根据全称命题的否定性质进行判断即可.
【详解】因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题的否定为，使得，
故选：B
3、A
【解析】由特称命题的否定是全称命题，可得出答案.
【详解】根据特称命题的否定是全称命题，可知命题“”的否定是“”.
故选：A.
4、B
【解析】设经过年之后，投入资金为万元，根据题意列出与的关系式；1亿元转化为万元，令，结合参考数据即可求出的范围，从而判断出选项.
【详解】设经过年之后，投入资金为万元，则，
由题意可得：，即，
所以，
即，
又因为，所以，
即从2027年开始该市全年用于垃圾分类的资金超过1亿元.
故选：B
5、C
【解析】根据奇函数的定义得到，又由解析式得到，进而得到结果.
【详解】因为函数为奇函数，故得到
当时，，

故选：C.
6、A
【解析】根据余弦函数的周期公式计算，即可求得答案.
【详解】因为函数最小正周期是，
故 ，即 ，
解得（m）,
故选：A
7、C
【解析】将方程转化为函数的零点问题，根据函数单调性判断零点所处区间即可.
【详解】函数在上单增，
由，知，
函数的根处在里，
故选：C
8、C
【解析】根据图像求出，由得到，代入即可求解.
【详解】根据函数的部分图象，可得：A=1;
因为，，
结合五点法作图可得，，
如果，且，结合，可得，
，，
故选：C
9、C
【解析】根据函数的奇偶性的定义和幂函数的概念，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
详解】由，即，解得或，
当时，，此时函数的定义域为关于原点对称，且，所以函数为偶函数；
当时，，此时函数的定义域为关于原点对称，且，所以函数为偶函数，
所以充分性成立；
反之：幂函数，则满足，
解得或或，
当时，，此时函数为偶函数；
当时，，此时函数为偶函数，
当时，，此时函数为奇函数函数，
综上可得，实数或，即必要性成立，
所以“”是“幂函数为偶函数”的充要条件.
故选：C.
10、D
【解析】利用三角函数的坐标定义求出，即得解.
【详解】由题得.
所以.
故选：D
【点睛】本题主要考查三角函数的坐标定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】利用和的齐次分式，表示为表示的式子，即可求解.
【详解】.
故答案为：
12、.
【解析】解方程即可.
【详解】令，可得，所以函数的零点为.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查求函数的零点，属基础题.
13、1
【解析】先求导可知原函数在上单调递增，求出参数后即可求出.
【详解】解：在上
在上单调递增，且当取得最大值
，可知

故答案为：1
14、
【解析】由已知求得，然后应用诱导公式把求值式化为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质求得范围
【详解】，，所以，
所以
，
，，，
故答案为：
15、
【解析】根据幂函数所过的点求出解析式，利用奇偶性和单调性去掉转化为关于的不等式即可求解.
【详解】设幂函数，其图象过点，
所以，即，解得：，所以，
因为，
所以为奇函数，且在和上单调递减，
所以可化为，
可得，解得：，
所以的范围为，
故答案为：．
16、
【解析】由对数真数大于零可知在上恒成立，利用分离变量的方法可求得，此时结合复合函数单调性的判断可知在上单调递增，由此可确定的取值范围.
【详解】由题意知：在上恒成立，在上恒成立，
在上单调递减，，；
当时，单调递增，又此时在上单调递增，
在上单调递增，满足题意；
实数的取值范围为.
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）函数在区间上单调递增，证明见解析
（2）函数为奇函数，在区间上的值域为
【解析】（1）利用定义法证明函数单调性；（2）先得到定义域关于原点对称，结合得到函数为奇函数，利用第一问的单调性求出在区间上的值域.
【小问1详解】
在区间上单调递增，证明如下：
，，且，
有.
因为，，且，所以，.
于是，即.
故在区间上单调递增.
【小问2详解】
的定义域为.
因为，所以为奇函数.
由（1）得在区间上单调递增，
结合奇偶性可得在区间上单调递增.
又因为，，所以在区间上的值域为.
18、（1）x-y=0
(2)
【解析】本试题主要是考查了直线与圆的位置关系的运用，．以及圆的方程的求解
（1）PQ中点M(,) , ,
所以线段PQ的垂直平分线即为圆心C所在的直线的方程:
（2）由条件设圆的方程为: ，由圆过P,Q点得得到关系式求解得到．则或故圆的方程为
19、（1），人（2）当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，每分钟的最大净收益为元
【解析】（1）由题意分别写出与时，的表达式，写成分段函数的形式，可得的表达式，可得的值；
（2）分别求出时，时，净收益为的表达式，并求出其最大值，进行比较可得净收益最大及收益最大时的时间.
【详解】解：当时，
当时，设
解得，所以，
所以
(人)
当时，

当时
当时，

当且仅当时，即时， 取到最大值.
答:的表达式为
当发车时间间隔为分钟时，地铁的载客量为人.
当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，每分钟的最大净收益为元.
【点睛】本题主要考查分段函数解析式的求解及函数模型的实际应用，及利用基本不等式求解函数的最值，综合性大，属于中档题.
20、（1）奇函数，证明见解析；（2）.
【解析】若选择①利用偶函数的性质求，若选择条件②，利用函数的单调性，求函数的值域，比较后得到值；
（1）由①或②得，利用奇偶函数的定义判断；
（2）根据条件转化为的值域是的值域的子集，求实数的取值范围.
【详解】若选择①由，在上是偶函数，
则，且，所以a=2，b=0；
②当a>1时，在上单调递增，则有，
解得a=2，b=0；
由①或②得，
（1）为奇函数
证明：的定义域为R.
因为，则为奇函数
（2）当x>0时，，因为，
当且仅当即x=1时等号成立，
所以;
当x<0时，因为为奇函数，所以;
当x=0时，；
所以的值域为 [，]，
，，函数是单调递减函数，
所以函数的值域是
对任意的，总存在，使得g(x1)=h(x2)成立，
，
，得.
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集
21、（Ⅰ）0，20，40；（Ⅱ）大于或等于，同时应小于.
【解析】（Ⅰ）将树叶沙沙声的强度,耳语的强度,无线电广播的强度,分别代入公式进行求解,即可求出所求;
（Ⅱ）根据小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在分贝以下建立不等式,然后解对数不等式即可求出所求.
【详解】（Ⅰ）由得树叶沙沙声强度（分贝）
耳语的强度为（分贝），
无线电广播的强度为（分贝）.
（Ⅱ）由题意得：，即
∴， ∴
∴声音强度的范围是大于或等于，同时应小于
【点睛】与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.