2025-2026学年吉林省辽源市第五中学数学高一第一学期期末考试模拟试题含解析.doc

2025-2026学年吉林省辽源市第五中学数学高一第一学期期末考试模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设函数的最小正周期为，且在内恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
2．某数学老师记录了班上8名同学的数学考试成绩，得到如下数据：90，98，100，108，111，115，115，125.则这组数据的分位数是（）
A.100 B.111
C.113 D.115
3．已知函数则（）
A. B.
C. D.
4．定义在R上的函数满足，且当时，，，若任给，存在，使得，则实数a的取值范围为（ ）.
A. B.
C. D.
5．已知，大小关系正确的是
A. B.
C. D.
6．已知直二面角,点，,为垂足,，,为垂
足．若，则到平面的距离等于

A. B.
C. D.1
7．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（）
A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度
8．函数的零点所在的区间为（）
A. B.
C. D.
9．已知曲线的图像，，则下面结论正确的是（ ）
A.把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
B.把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
C.把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
D.把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
10．已知，则=
A.2 B.
C. D.1
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数的值域为，则实数的取值范围是________
12．已知幂函数（是常数）的图象经过点，那么________
13．函数的部分图象如图所示．若，且，则_____________

14．已知关于的方程在有解，则的取值范围是________
15．设，则__________
16．若、是方程的两个根，则__________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，四棱锥的底面为矩形，，.

（1）证明：平面平面.
（2）若，，，求点到平面的距离.
18．已知函数是定义在[-1，1]上的奇函数，且.
（1）求m，n的值；
（2）判断在[-1，1]上的单调性，并用定义证明；
（3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数k的值.
19．已知函数，其中m为实数
（1）求f（x）的定义域；
（2）当时，求f（x）的值域；
（3）求f（x）的最小值
20．已知圆的圆心坐标为，直线被圆截得的弦长为.
（1）求圆的方程；
（2）求经过点且与圆C相切的直线方程.
21．设向量，且与不共线
（1）求证：；
（2）若向量与的模相等，求.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】根据周期求出，结合的范围及，得到，把看做一个整体，研究在的零点，结合的零点个数，最终列出关于的不等式组，求得的取值范围
【详解】因为，所以.由，得.
当时，，又，则
因为在上的零点为，，，，且在内恰有3个零点，所以或解得.
故选：D
2、D
【解析】根据第p百分位数的定义直接计算，再判断作答.
【详解】由知，这组数据的分位数是按从小到大排列的第6个位置的数，
所以这组数据的分位数是115.
故选：D
3、B
【解析】根据对数的运算性质求出，再根据指数幂的运算求出即可.
【详解】由题意知，
，
则，
所以.
故选：B
4、D
【解析】求出在，上的值域，利用的性质得出在，上的值域，再求出在，上的值域，根据题意得出两值域的包含关系，从而解出的范围
【详解】解：当时，，
可得在，上单调递减，在上单调递增，
在，上的值域为，，
在上的值域为，，
在上的值域为，，
，
，
在上的值域为，，
当时，为增函数，
在，上的值域为，，
，解得；
当时，为减函数，
在，上的值域为，，
，解得；
当时，为常数函数，值域为，不符合题意；
综上，的范围是或
故选：
【点睛】本题考查了分段函数的值域计算，集合的包含关系，对于不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则值域是值域的子集
5、C
【解析】利用“”分段法比较出三者的大小关系.
【详解】由于，，，即，故选C.
【点睛】本小题主要考查指数式、对数式比较大小，属于基础题.
6、C
【解析】如图，在平面内过点作于点

因为为直二面角，，所以，从而可得．又因为，所以面，故的长度就是点到平面的距离
在中，因为，所以
因为，所以．则在中，因为，所以．因为，所以，故选C
7、D
【解析】根据诱导公式可得，结合三角函数的平移变换即可得出结果.
【详解】函数；
将函数的图象向左平移个单位长度得到
，
故选：D
8、C
【解析】分析函数的单调性，再利用零点存在性定理判断作答.
【详解】函数的定义域为，且在上单调递增，
而，，
所以函数的零点所在的区间为.
故选：C
9、D
【解析】先将转化为，再根据三角函数图像变换的知识得出正确选项.
【详解】对于曲线，，要得到，则把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到，即得到曲线.
故选：D.
10、D
【解析】.故选.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】将题意等价于的值域包含，讨论和结合化简即可.
【详解】解：要使函数的值域为
则的值域包含
①当即时，值域为包含，故符合条件
②当时
综上，实数的取值范围是
故答案为：
【点睛】一元二次不等式常考题型：
（1）一元二次不等式在上恒成立问题：解决此类问题常利用一元二次不等式在上恒成立的条件，注意如果不等式恒成立，不要忽略时的情况.
（2）在给定区间上的恒成立问题求解方法：
若在集合中恒成立，即集合是不等式的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围).
12、
【解析】首先代入函数解析式求出，即可得到函数解析式，再代入求出函数值即可；
【详解】解：因为幂函数（是常数）的图象经过点，所以，所以，所以，所以；
故答案：
13、##
【解析】根据函数的图象求出该函数的解析式，结合图象可知，点、关于直线对称，进而得出.
【详解】由图象可知， ，即，
则，
此时，，
由于，
所以，即.
，且，
由图象可知，，
则.
故答案为：.
14、
【解析】将原式化为，然后研究函数在上的值域即可
【详解】解：由，得，
令，
令，
因为，所以，所以，即，
因为，
所以函数可化为，
该函数在上单调递增，所以，
所以，所以，
所以的取值范围是，
故答案为：
15、2
【解析】由函数的解析式可知，∴
考点：分段函数求函数值
点评：对于分段函数，求函数的关键是要代入到对应的函数解析式中进行求值
16、
【解析】由一元二次方程根与系数的关系可得，，再由 ，运算求得结果
【详解】、是方程的两个根，，
，，
，
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）连接，交于点，连接，证明平面，即可证明出平面平面.
（2）用等体积法，即，即可求出答案.
【小问1详解】
连接，交于点，连接，如图所示，

底面为矩形，为，的中点，
又，，
，，
又，
平面，
平面，
平面平面
【小问2详解】
，，
，，
在中，，
，
在中，，
在中，，，
，
，，
设点到平面的距离为，
由等体积法可知，
又平面，为点到平面的距离，
，
，
即点到平面的距离为
18、（1），
（2）在上递增，证明见解析
（3）
【解析】（1）由为[-1，1]上奇函数可得，再结合可求出m，n的值；
（2）直接利用单调性的定义判断即可，
（3）由题意可得，而，然后分，和三种情况求解的最大值，使其最大值大于等于，解不等式可得结果
【小问1详解】
依题意函数是定义在上的奇函数，
所以，∴
，
所以，经检验，该函数为奇函数.
【小问2详解】
在上递增，证明如下：
任取，

其中，，所以，
故在上递增.
【小问3详解】
由于对任意的，总存在，使得成立，
所以.

当，恒成立
当时，在上递增，，
所以.
当时，在上递减，，
所以.
综上所述，
19、（1）
（2）[2，2]
（3）当时，f（x）的最小值为2；当时，f（x）的最小值为
【解析】（1）根据函数解析式列出相应的不等式组，即可求得函数定义域；
（2）令，采用两边平方的方法，即可求得答案；
（3）仿（2），令，可得，从而将
变为关于t的二次函数，然后根据在给定区间上的二次函数的最值问题求解方法，分类讨论求得答案.
【小问1详解】
由
解得
所以f（x）的定义域为
【小问2详解】
当时，
设，
则

当时，取得最大值8；
当或时，取得最小值4
所以的取值范围是[4，8]
所以f（x）的值城为[2，2]
【小问3详解】
设，
由（2）知，，且，
则
令，,
若，，此时的最小值为；
若，
当时，在[2，2上单调递增，
此时的最小值为；
当，即时，，
此时的最小值为；
当，即时，，
此时的最小值为
所以，当时，f（x）的最小值为2；当时，f（x）的最小值为
20、（1）；（2）和.
【解析】(1)根据圆心坐标设圆的标准方程，结合点到直线的距离公式求出圆的半径即可.
(2)当切线斜率不存在时满足题意；当切线斜率存在时，设切线方程，结合点到直线的距离公式和圆心到直线的距离为半径，计算求出直线斜率即可.
【详解】（1）设圆的标准方程为：
圆心到直线的距离：，
则
圆的标准方程：
（2）①当切线斜率不存在时，设切线：，此时满足直线与圆相切.
②当切线斜率存在时，设切线：，即
则圆心到直线的距离：.
解得：，即
则切线方程为：
综上，切线方程为：和
21、 (1)证明见解析；(2) 或.
【解析】（1）先求出，再计算的值，发现，
得。
（2）先利用向量的坐标表示求出，的坐标，通过，列方程求出。
【详解】解：（1）证明：由题意可得，
，
，
.
（2）向量与的模相等，
，.
又，
，解得，，
又或.
【点睛】本题考查向量垂直，向量的模的坐标表示，注意计算不要出错即可。