黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2026届高一上数学期末考试试题含解析.doc

黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2026届高一上数学期末考试试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知全集，集合，，则（）
A.{2，3，4} B.{1，2，4，5}
C.{2，5} D.{2}
2．已知扇形的周长为8，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的面积为（）
A.2 B.4
C.6 D.8
3．下面各组函数中表示同一个函数的是（ ）
A.， B.，
C.， D.，
4．化简的结果是（）
A. B.1
C. D.2
5．如图，在中，已知为上一点，且满足，则实数值为

A. B.
C. D.
6．数向左平移个单位，再向上平移1个单位后与的图象重合，则　　
A.为奇函数 B.的最大值为1
C.的一个对称中心为 D.的一条对称轴为
7．设扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
8．已知，则，，的大小关系为（）
A. B.
C. D.
9．将函数图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是
A. B.
C. D.
10．已知指数函数在上单调递增，则实数的值为（）
A. B.1
C. D.2
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数则_______.
12．奇函数的定义域为，若在上单调递减，且，则实数的取值范围是________________ .
13．函数定义域是____________
14．设函数的图象关于y轴对称,且其定义域为,则函数在上的值域为________.
15．已知函数是定义在上的奇函数，当时的图象如下所示，那么的值域是_______

16．已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′=C′O′=2，∠B'A'C'=90°，则原△ABC的面积为______

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，且侧面平面，点是的中点

（1）求证:
（2）若，求证:平面平面
18．已知，函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围；
（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.
19．已知函数，.

（1）列表，描点，画函数的简图，并由图象写出函数的单调区间及最值；
（2）若，，求的值.
20．已知正三棱柱，是的中点

求证：（1）平面；
（2）平面平面
21．已知
（1）若函数f(x)的图象过点（1，1），求不等式f(x)＜1的解集；
（2）若函数只有一个零点，求实数a的取值范围
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】根据补集的定义求出，再利用并集的定义求解即可.
【详解】因为全集，，
所以，
又因为集合，
所以，
故选：B.
2、B
【解析】由给定条件求出扇形半径和弧长，再由扇形面积公式求出面积得解.
【详解】设扇形所在圆半径r，则扇形弧长，而，
由此得，所以扇形的面积.
故选：B
3、B
【解析】根据两个函数的定义域相同，且对应关系相同分析判断即可
【详解】对于A，的定义域为R，而的定义域为，两函数的定义域不相同，所以不是同一个函数；
对于B，两个函数的定义域都为R，定义域相同，，这两个函数是同一个函数；
对于C，的定义域为，而的定义域是R，两个函数的定义城不相同，所以不是同一个函数；
对于D，的定义域为，而的定义域是R，两个的数的定义域不相同，所以不是同一个函数.
故选：B.
4、B
【解析】利用三角函数的诱导公式化简求解即可.
【详解】原式

.
故选：B
5、B
【解析】所以，所以。故选B。
6、D
【解析】利用函数的图象变换规律得到的解析式，再利用正弦函数的图象，得出结论
【详解】向左平移个单位，再向上平移1个单位后，
可得的图象，
在根据所得图象和的图象重合，故，
显然，是非奇非偶函数，且它的最大值为2，故排除A、B；
当时，，故不是对称点；
当时，为最大值，故一条对称轴为，故D正确，
故选D．
【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．利用y=sin x的对称中心为求解，令，求得x.
7、B
【解析】根据扇形的周长为，面积为，得到，解得l，r，代入公式求解.
【详解】因为扇形的周长为，面积为，
所以，
解得 ，
所以，
所以扇形的圆心角的弧度数是2
故选：B
8、B
【解析】利用函数单调性及中间值比大小.
【详解】，且，故，，
故.
故选：B
9、C
【解析】将函数图象向左平移个单位得到，令，当时得对称轴为
考点：三角函数性质
10、D
【解析】解方程即得或，再检验即得解.
【详解】解：由题得或.
当时，上单调递增，符合题意；
当时，在上单调递减，不符合题意.
所以.
故选：D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据分段函数解析式，由内而外，逐步计算， 即可得出结果.
【详解】∵，，
则
∴.
故答案为：.
12、
【解析】因为奇函数的定义域为，若在上单调递减，所以在定义域上递减，且，所以 解得，故填.
点睛：利用奇函数及其增减性解不等式时，一方面要确定函数的增减性，注意奇函数在对称区间上单调性一致，同时还要注意函数的定义域对问题的限制，以免遗漏造成错误.
13、
【解析】根据偶次方根式下被开方数非负，有因此函数定义域，注意结果要写出解集性质.
考点：函数定义域
14、
【解析】∵函数的图象关于y轴对称，且其定义域为
∴，即，且为偶函数
∴，即
∴
∴函数在上单调递增
∴，
∴函数在上的值域为
故答案为
点睛：此题主要考查函数二次函数图象对称的性质以及二次函数的值域的求法，求解的关键是熟练掌握二次函数的性质，本题理解对称性很关键
15、
【解析】分析：通过图象可得时，函数的值域为，根据函数奇偶性的性质，确定函数的值域即可.
详解：∵当时，函数单调递增，由图象知，
当时，在，即此时函数也单调递增，且，
∵函数是奇函数，∴，∴，即，
∴的值域是，故答案为
点睛：本题主要考查函数值域的求法，利用函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键.
16、8
【解析】根据“斜二测画法”原理还原出△ABC，利用边长对应关系计算原△ABC的面积即可
详解】根据“斜二测画法”原理，还原出△ABC，如图所示；

由B′O′＝C′O′＝2，∠B'A'C'＝90°，
∴O′A′B′C′＝2，
∴原△ABC的面积为SBC×OA4×4＝8
故答案为8
【点睛】本题考查了斜二测画法中原图和直观图面积的计算问题，是基础题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析；（2）见解析
【解析】分析：（1）可根据为等腰三角形得到，再根据平面平面可以得到平面，故.
（2）因及是中点，从而有，再根据平面得到，从而平面，故平面平面.
详解：（1）证明:因为，点是棱的中点，
所以，平面.
因为平面平面，平面平面，平面 ，
所以平面，又因为平面，所以.
（2）证明:因为，点是的中点，所以.
由（1）可得，又因为，所以平面，
又因为平面，所以平面平面
点睛：线线垂直的证明，可归结为线面垂直，也可以转化到平面中的某两条直线的垂直问题，而面面垂直的证明，可转化为线面垂直问题，也转化为证明二面角为直二面角.
18、（1）．（2）．（3）
【解析】（1）当时，解对数不等式即可；（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论的取值范围进行求解即可；（3）根据条件得到，恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可.
试题解析：（1）由，得，解得
（2）由f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0得log2（a）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0
即log2（a）＝log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，
即a＝（a﹣4）x+2a﹣5＞0，①
则（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1＝0，
即（x+1）[（a﹣4）x﹣1]＝0，②，
当a＝4时，方程②的解为x＝﹣1，代入①，成立
当a＝3时，方程②的解为x＝﹣1，代入①，成立
当a≠4且a≠3时，方程②的解为x＝﹣1或x，
若x＝﹣1是方程①的解，则a＝a﹣1＞0，即a＞1，
若x是方程①的解，则a＝2a﹣4＞0，即a＞2，
则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a≤2
综上，若方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0的解集中恰好有一个元素，
则a的取值范围是1＜a≤2，或a＝3或a＝4
（3）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，
由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1，
即log2（a）﹣log2（a）≤1，
即a≤2（a），即a
设1﹣t＝r，则0≤r，
，
当r＝0时，0，
当0＜r时，，
∵y＝r在（0，）上递减，
∴r，
∴，
∴实数a的取值范围是a
【一题多解】（3）还可采用：当时，，，
所以在上单调递减
则函数在区间上的最大值与最小值分别为，

即，对任意成立
因为，所以函数在区间上单调递增，
时，有最小值，由，得
故的取值范围为
19、（1）图象见解析，在、上递增，在上递减，且最大值为1，最小值为-1；
（2）答案见解析.
【解析】（1）根据解析式，应用五点法确定点坐标列表，进而描点画图象，由图象判断单调性、最值.
（2）讨论对应函数值的区间，根据正弦型函数的对称性确定，进而求.
【小问1详解】
由解析式可得：

0
1
0
-1

∴的图象如下图示：

∴在、上递增，在上递减，且最大值为1，最小值为-1.
【小问2详解】
1、若，，则，故；
2、若，，
当，则；
当，此时无解；
当，则；
3、若，，则，故无解；
20、（1）见解析（2）见解析
【解析】（1）连接，交于点，连结，由棱柱的性质可得点是的中点，根据三角形中位线定理可得，利用线面平行的判定定理可得平面；（2）由正棱柱的性质可得平面，于是，再由正三角形的性质可得，根据线面垂直的判定定理可得平面，从而根据面面垂直的判定定理可得结论.
试题解析：（1）连接，交于点，连结，
因为正三棱柱，
所以侧面是平行四边形，
故点是的中点，
又因为是的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面
（2）因为正三棱柱，所以平面，
又因为平面，所以，
因为正三棱柱，是的中点，
是的中点，所以，
又因为，所以平面，
又因为平面，
所以平面 平面

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直及面面垂直的证明，属于中档题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.本题（1）是就是利用方法①证明的.
21、（1）（－1，1）
（2）a≥0或
【解析】（1）将点（1，1）代入函数解析式中可求出的值，然后根据对数函数的单调性解不等式即可，
（2）将问题转化为只有一解，再转化为关于x的方程ax2＋x＝1只有一个正根，然后分和分析求解
【小问1详解】
∵函数的图象过点（1，1），
，解得
此时
由f(x)＜1，得，解得
故f(x)＜1的解集为（－1，1）
【小问2详解】

∵函数只有一个零点，只有一解，
将代入ax＋1＞0，得x＞0，
∴关于x的方程ax2＋x＝1只有一个正根
当a＝0时，x＝1，满足题意；
当a≠0时，若ax2＋x－1＝0有两个相等的实数根，由，解得，此时x＝2，满足题意；
若方程ax2＋x－1＝0有两个相异实数根，则两根之和与积均为，
所以方程两根只能异号，所以，a＞0，此时方程有一个正根，满足题意
综上，a≥0或