四川省凉山2025年数学高一第一学期期末监测试题含解析.doc

四川省凉山2025年数学高一第一学期期末监测试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．下列命题中是真命题的个数为（）
①函数的对称轴方程是；
②函数的一个对称轴方程是；
③函数的图象关于点对称；
④函数的值域为
A1 B.2
C.3 D.4
2．设P为函数图象上一点，O为坐标原点，则的最小值为（）
A.2 B.
C. D.
3．已知定义在R上的奇函数满足：当时，.则（ ）
A.2 B.1
C.-1 D.-2
4． “，”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C 充要条件 D.既不充分也不必要条件
5．设，则（ ）
A. B.
C. D.
6．直线的倾斜角为
A.30° B.60°
C.120° D.150°
7．以，为基底表示为
A. B.
C. D.
8．已知全集，集合，集合，则为
A. B.
C. D.
9．若表示空间中两条不重合的直线，表示空间中两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（　　）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
10．若，分别是方程，的解，则关于的方程的解的个数是（ ）
A B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的图象一定过定点，则点的坐标是________.
12．已知命题“，” 是真命题，则实数的取值范围为__________
13．如图，单位圆上有一点，点P以点P0为起点按逆时针方向以每秒弧度作圆周运动，5秒后点P的纵坐标y是_____________.

14．设，向量，，若，则_______
15．给出下列命题：
①存在实数，使；
②函数是偶函数；
③若是第一象限角，且，则；
④是函数的一条对称轴方程
以上命题是真命题的是_______（填写序号）
16．已知，则函数的最大值为__________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数的图象过点.
（Ⅰ）求实数的值;
（Ⅱ）若不等式恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）若函数，，是否存在实数使得的最小值为，若存在请求出的值；若不存在，请说明理由.
18．求值或化简：
（1）；
（2）.
19．某乡镇为打造成“生态农业特色乡镇”，决定种植某种水果，该水果单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，单株成本投入（含施肥、人工等）为元.已知这种水果的市场售价为15元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）.
（1）求的函数关系式；
（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
20．已知，
（1）求，的值；
（2）求的值
21．已知集合，集合
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）若，求实数的取值范围
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】根据二次函数的性质、三角函数的性质以及图象，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对①：函数的对称轴方程是，故①是假命题；
对②：函数的对称轴方程是：，
当时，其一条对称轴是，故②正确；
对函数，
其函数图象如下所示：

对③：数形结合可知，该函数的图象不关于对称，故③是假命题；
对④：数形结合可知，该函数值域为，故④为真命题.
综上所述，是真命题的有2个.
故选：.
2、D
【解析】根据已知条件，结合两点之间的距离公式，以及基本不等式的公式，即可求解
【详解】为函数的图象上一点，
可设，
，
当且仅当，即时，等号成立
故的最小值为
故选：
3、D
【解析】
由奇函数定义得，从而求得，然后由计算
【详解】由于函数是定义在R上的奇函数，
所以，而当时，，
所以，
所以当时，，
故.
由于为奇函数，
故.
故选：D.
【点睛】本题考查奇函数的定义，掌握奇函数的概念是解题关键．
4、A
【解析】根据充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】∵ “，”可推出“”，
“”不能推出“，”，例如，时，，
∴ “，”是“”充分不必要条件.
故选：A
5、C
【解析】先由补集的概念得到，再由并集的概念得到结果即可
【详解】根据题意得，则
故选：C
6、A
【解析】直线的斜率为，所以倾斜角为30°.
故选A.
7、B
【解析】设，利用向量相等可构造方程组，解方程组求得结果.
【详解】设
则

本题正确选项：
【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，关键是能够通过向量相等构造出方程组，属于基础题.
8、A
【解析】，所以，选A.
9、C
【解析】利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断或举反例判断
【详解】对于A，若n⊂平面α，显然结论错误，故A错误；
对于B，若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n或m，n异面，故B错误；
对于C，若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β，根据面面垂直的判定定理进行判定，故C正确；
对于D，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m，n位置关系不能确定，故D错误
故选C
【点睛】本题考查了空间线面位置关系的性质与判断，属于中档题
10、B
【解析】∵，分别是方程，的解，
∴，，
∴，，
作函数与的图象如下：

结合图象可以知道，有且仅有一个交点，
故，即
分类讨论：
（）当时，方程可化为，
计算得出，
（）当时，方程可化，
计算得出，；
故关于的方程的解的个数是，
本题选择B选项.
点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】令，得，再求出即可得解.
【详解】令，得，，
所以点的坐标是.
故答案：
12、
【解析】此题实质上是二次不等式的恒成立问题，因为，函数的图象抛物线开口向上，所以只要判别式不大于0即可
【详解】解：因为命题“，”是真命题，
所以不等式在上恒成立
由函数的图象是一条开口向上的抛物线可知，
判别式即解得
所以实数的取值范围是
故答案为：
【点睛】本题主要考查全称命题或存在性命题的真假及应用，解题要注意的范围，如果，一定要注意数形结合；还应注意条件改为假命题，有时考虑它的否定是真命题，求出的范围．本题是一道基础题
13、##
【解析】根据单位圆上点的坐标求出，从而求出，从而求出点P的纵坐标.
【详解】因为位于第一象限，且，故，所以，故，所以点P的纵坐标
故答案为：
14、
【解析】根据向量共线的坐标表示，得到，再由二倍角的正弦公式化简整理，即可得出结果.
【详解】∵，向量，，
∴，∴，
∵，
∴
故答案为：.
【点睛】本题主要考查由向量共线求参数，涉及二倍角的正弦公式，熟记向量共线的坐标表示即可，属于常考题型.
15、②④
【解析】根据三角函数的性质，依次分析各选项即可得答案.
【详解】解：①因为，故不存在实数，使得成立，错误；
②函数，由于是偶函数，故是偶函数，正确；
③若，均为第一象限角，显然，故错误；
④当时，，由于是函数的一条对称轴，故是函数的一条对称轴方程，正确.
故正确的命题是：②④
故答案为：②④
16、
【解析】换元，，化简得到二次函数，根据二次函数性质得到最值.
【详解】设，，则，，
故当，即时，函数有最大值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了指数型函数的最值，意在考查学生的计算能力，换元是解题的关键.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）（3）
【解析】（Ⅰ）根据图象过点，代入函数解析式求出k的值即可；
（Ⅱ）令，则命题等价于，根据函数的单调性求出a的范围即可；
（Ⅲ）根据二次函数的性质通过讨论m的范围，结合函数的最小值，求出m的值即可
【详解】（I）函数的图象过点

（II）由（I）知
恒成立
即恒成立
令，则命题等价于
而单调递增
即
（III），

令

当时，对称轴
①当，即时

，不符舍去.
②当时,即时
.
符合题意.
综上所述：
【点睛】本题考查了对数函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，考查转化思想以及分类讨论思想，换元思想，是一道中档题
18、 (1)18;(2) .
【解析】(1) 利用对数的运算性质即可得出;
(2) 利用指数幂和对数的运算法则即可得出.
试题解析：
(1)
（2）
＝
＝＝＝
19、（1）；（2）4千克，505元.
【解析】（1）用销售额减去成本投入得出利润的解析式；
（2）判断的单调性，及利用基本不等式求出的最大值即可
【详解】解：（1）由题意得：，

（2）由（1）中
得
（i）当时，；
（ii）当时，
当且仅当时，即时等号成立.
因为，所以当时，，
所以当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是505元.
【点睛】方法点睛：该题考查的是有关函数的应用问题，解题方法如下：
（1）根据题意，结合利润等于收入减去支出，得到函数解析式；
（2）利用分段函数的最大值等于每段上的最大值中的较大者，结合求最值的方法得到结果.
20、（1），
（2）
【解析】（1）首先利用诱导公式得到，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；
（2）利用诱导公式化简，再将弦化切，最后代入求值即可；
【小问1详解】
解：因为，，所以，又解得或，因为，所以
【小问2详解】
解：

21、（1）；（2）；（3）
【解析】（1）求出集合，利用并集的定义可求得集合；
（2）利用可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；
（3）分和两种情况讨论，结合可得出关于实数的不等式组，可求得实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，则；
（2）由知，解得，即的取值范围是；
（3）由得
①若，即时，符合题意；
②若，即时，需或
得或，即
综上知，即实数的取值范围为
【点睛】易错点睛：在求解本题第（3）问时，容易忽略的情况，从而导致求解错误.