2025年广西南宁市金伦中学、华侨、新桥、罗圩中学高二数学第一学期期末教学质量检测试题含解析.doc

2025年广西南宁市金伦中学、华侨、新桥、罗圩中学高二数学第一学期期末教学质量检测试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在直三棱柱中，，且，点是棱上的动点，则点到平面距离的最大值是（）
A. B.
C.2 D.
2．已知函数，则的值为（）
A. B.
C.0 D.1
3．过抛物线的焦点引斜率为1的直线，交抛物线于，两点，则（ ）
A.4 B.6
C.8 D.10
4．与的等差中项是（）
A. B.
C. D.
5．中国古代数学名著九章算术中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之栗五斗羊主曰：“我羊食半马”马主曰：“我马食半牛”今欲哀偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求赔偿5斗栗羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还栗a升，b升，c升，1斗为10升，则下列判断正确的是　　
A.a，b，c依次成公比为2的等比数列，且
B.a，b，c依次成公比为2的等比数列，且
C.a，b，c依次成公比为的等比数列，且
D.a，b，c依次成公比为的等比数列，且
6．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
7．直线的斜率是方程的两根，则与的位置关系是（）
A.平行 B.重合
C.相交但不垂直 D.垂直
8．已知函数，在定义域内任取一点，则使的概率是()
A. B.
C. D.
9．双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B.
C. D.
10．某公司有1000名员工，其中：高层管理人员为50名，属于高收入者；中层管理人员为150名，属于中等收入者；一般员工为800名，属于低收入者．要对这个公司员工的收入情况进行调查，欲抽取100名员工，应当抽取的一般员工人数为（ ）
A.100 B.15
C.80 D.50
11．设拋物线的焦点为F，准线为l，P为拋物线上一点，，A为垂足．如果直线AF的斜率是，那么（ ）

A B.
C.16 D.8
12．已知，则“”是“直线与平行”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若，满足不等式组，则的最大值为________.
14．与直线平行，且距离为的直线方程为______
15．已知球的半径为4，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，，若，则两圆圆心的距离___________
16．焦点在轴上的双曲线的离心率为，则的值为___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）一杯100℃的开水放在室温25℃的房间里，1分钟后水温降到85℃，假设每分钟水温变化量和水温与室温之差成正比
（1）分别求2分钟，3分钟后的水温；
（2）记n分钟后的水温为，证明：是等比数列，并求出的通项公式；
（3）当水温在40℃到55℃之间时（包括40℃和55℃），为最适合饮用的温度，则在水烧开后哪个时间段饮用最佳．（参考数据：）
18．（12分）已知数列是公差为2的等差数列，且满足，，成等比数列
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和
19．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若与相交于A、两点，设，求.
20．（12分）在锐角中，角的对边分别为，满足.
（1）求;
（2）若的面积为，求的值.
21．（12分）如图所示的四棱锥的底面是一个等腰梯形，，且，是△的中线，点E是棱的中点

（1）证明：∥平面
（2）若平面平面，且，求平面与平面夹角余弦值
（3）在（2）条件下，求点D到平面的距离
22．（10分）已知点，.
（1）求以为直径的圆的方程；
（2）若直线被圆截得的弦长为，求值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，运用点到平面的距离公式，求出点到平面距离的最大值.
【详解】解：以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标第,

则,,,
设点,
故，，.
设设平面的法向量为，
则即，取，则.
所以点到平面距离 .
当，即时，距离有最大值为 .
故选:D.
【点睛】本题考查空间内点到面的距离最值问题，属于中档题.
2、B
【解析】对函数求导，然后将代入导数中可得结果.
【详解】，则，
则，
故选：B
3、C
【解析】由题意可得，的方程为，设、，联立直线与抛物线方程可求，利用抛物线的定义计算即可求解.
【详解】由上可得：焦点，直线的方程为，
设，，
由，可得，
则有，
由抛物线的定义可得：，
故选：C.
4、A
【解析】代入等差中项公式即可解决.
【详解】与的等差中项是
故选：A
5、D
【解析】由条件知，，依次成公比为的等比数列，三者之和为50升，根据等比数列的前n项和，即故答案为D.
6、D
【解析】求出函数在时值的集合， 函数在时值的集合，再由已知并借助集合包含关系即可作答.
【详解】当时，在上单调递增，，，则在上值的集合是，
当时，，，
当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，
，，则在上值的集合为，
因函数的值域为，于是得，则，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D
7、C
【解析】由韦达定理可得方程的两根之积为，从而可知直线、的斜率之积为，进而可判断两直线的位置关系
【详解】设方程的两根为、，则
直线、的斜率，故与相交但不垂直
故选：C
8、A
【解析】解不等式，根据与长度有关的几何概型即可求解.
【详解】由题意得，即，
由几何概型得，在定义域内任取一点，
使的概率是.
故选：A.
9、A
【解析】先将双曲线的方程化为标准方程得，再根据双曲线渐近线方程求解即可.
【详解】解：将双曲线的方程化为标准方程得，
所以，
所以其渐近线方程为：，即.
故选：A.
10、C
【解析】按照比例关系，分层抽取.
【详解】由题意可知，
所以应当抽取的一般员工人数为.
故选：C
11、D
【解析】由题可得方程，进而可得点坐标及点坐标，利用抛物线定义即求
【详解】∵抛物线方程为，
∴焦点F(2,0)，准线l方程为x=−2，
∵直线AF的斜率为,直线AF的方程为，
由，可得，
∵PA⊥l，A为垂足，
∴P点纵坐标为，代入抛物线方程，得P点坐标为，
∴.
故选：D.
12、A
【解析】首先由两直线平行的充要条件求出参数的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可；
【详解】因为直线与平行，
所以，解得或，
所以“”是“直线与平行”的充分不必要条件.
故选：A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、10
【解析】
作出不等式区域,如图所示:
目标最大值,即为平移直线的最大纵截距,当直线经过点时最大为10.
故答案为10.
点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
14、或
【解析】由题意，设所求直线方程为，根据两平行直线间的距离公式即可求解.
【详解】解：由题意，设所求直线方程为，
因为直线与直线的距离为，
所以，解得或，
所以所求直线方程为或，
故答案为：或.
15、
【解析】欲求两圆圆心的距离，将它放在与球心组成的三角形中，只要求出球心角即可，通过球的性质构成的直角三角形即可解得
【详解】∵，球半径为4，
∴小圆的半径为，
∵小圆中弦长，作垂直于，
∴，同理可得，在直角三角形中，
∵，，
∴，
∴，
∴
故答案为：.
16、
【解析】将双曲线的方程化为标准式，可得出、，由此可得出关于的等式，即可解得的值.
【详解】双曲线的标准方程为，由题意可得，则，，，
所以，，解得.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）2分钟的水温为℃，3分钟后的水温℃；
（2）证明见解析，，；
（3）在水烧开后4到7分钟饮用最佳.
【解析】(1)根据给定条件设第n分钟后的水温为，探求出与的关系即可计算作答.
(2)利用(1)的信息，列式变形、推导即可得证，进而求出的通项公式.
(3)由(2)的结论列不等式，借助对数函数的性质求解即得.
【小问1详解】
设第n分钟后的水温为，正比例系数为k，记，
依题意，，当时，，则有，解得，
因此，，即有，，
所以2分钟的水温为℃，3分钟后的水温℃.
小问2详解】
由(1)知，，时，，，则有，即，
而，于是得是以为首项，为公比的等比数列，
则有，即，
所以是等比数列，的通项公式是，.
【小问3详解】
由(2)及已知得：，即，整理得，
两边取常用对数得：，而，
解得，即，
所以在水烧开后4到7分钟饮用最佳.
【点睛】思路点睛：涉及实际意义给出的数列问题，正确理解实际意义，列出关系式，再借助数列思想探求相邻两项间关系即可推理作答.
18、（1）
（2）
【解析】（1）由成等比数列得首项，从而得到通项公式；
（2）利用裂项相消求和可得答案.
【小问1详解】
设数列的公差为，
∵成等比数列，∴，
即，
∴，由题意
故，得，
即.
【小问2详解】
，
∴

19、（1）曲线的普通方程为；曲线的直角坐标方程为
（2）
【解析】（1）直接利用转换关系式把参数方程和极坐标方程转化为直角坐标方程；
（2）易得满足直线的方程，转化为参数方程，代入曲线的普通方程，再利用韦达定理结合弦长公式即可得出答案.
【小问1详解】
解：曲线的参数方程为（为参数），
转化为普通方程为，
曲线的极坐标方程为，即，
根据，
转化为直角坐标方程为；
【小问2详解】
解：因为满足直线的方程，
将转化为参数方程为（为参数），
代入，得，设A、两点的参数分别为，
则，
所以.
20、（1）；（2）.
【解析】（1）由条件可得，即，从而可得答案.
(2)由条件结合三角形的面积公式可得，再由余弦定理得，配方可得答案.
【详解】（1）因为，
所以，
所以
所以，
因为所以，
因为，所以
（2）由面积公式得，于是，
由余弦定理得，
即，整理得，故.
21、（1）证明见解析；
（2）；
（3）.
【解析】（1）连接、，平行四边形的性质、线面平行的判定可得平面、平面，再根据面面平行的判定可得平面平面，利用面面平行的性质可证结论；
（2）取的中点为，连接，证明出平面，，以为坐标原点，、、的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面所成锐二面角的余弦值.
（3）利用等体积法，求D到平面的距离
【小问1详解】
连接、，由、分别是棱、的中点，则，
平面，平面，则平面
又，且，
∴且，四边形是平行四边形，则，
平面，平面，则平面
又，可得平面平面．又平面
∴平面
【小问2详解】
由知：，
又平面平面，平面平面，平面，
∴平面
取的中点为，连接、，
由且，故四边形为平行四边形，
故，则△为等边三角形，故，
以为坐标原点，、、的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系

易知，，
所以、、、、，
，，，
设平面的法向量为，则，令，得
设平面的法向量为，则，令，得
设平面与平面所成的锐二面角为．则，
即平面与平面所成锐二面角的余弦值为
【小问3详解】
由（2）知：平面，则是三棱锥的高且，
四边形为平行四边形，又，即为菱形，
∴，而，则，且，
∴，故.

又，由上易知：△为等腰三角形且，
∴，则D到平面的距离.
22、 (1) .(2)或
【解析】（1）根据题意，有A、B的坐标可得线段AB的中点即C的坐标，求出AB的长即可得圆C的半径，由圆的标准方程即可得答案；
（2）根据题意，由直线与圆的位置关系可得点C到直线x﹣my+1＝0的距离d，结合点到直线的距离公式可得，解可得m的值，即可得答案
【详解】（1）根据题意，点，，则线段的中点为，即的坐标为；
圆是以线段为直径的圆，则其半径，
圆的方程为.
（2）根据题意，若直线被圆截得的弦长为，
则点到直线的距离，
又由，则有，变形可得：，解可得或
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系以及弦长的计算，涉及圆的标准方程，属于基础题