河南省林州市林滤中学2026届高一数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析.doc

河南省林州市林滤中学2026届高一数学第一学期期末综合测试模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知集合,则=
A. B.
C. D.
2．已知函数满足，则（）
A. B.
C. D.
3．已知函数，，其函数图象的一个对称中心是，则该函数的一个单调递减区间是（ ）
A. B.
C. D.
4．已知，，则
A. B.
C. D.，
5．已知点，.若过点的直线l与线段相交，则直线的斜率k的取值范围是（）
A. B.
C.或 D.
6．设函数满足，的零点为，则下列选项中一定错误的是（）
A. B.
C. D.
7．已知角的终边过点，则（）
A. B.
C. D.
8．在下列图象中，函数的图象可能是
A. B.
C. D.
9．函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
10．已知函数，则（ ）
A.当且仅当时，有最小值为
B.当且仅当时，有最小值为
C.当且仅当时，有最大值为
D.当且仅当时，有最大值为
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．正三棱锥中，，则二面角的大小为__________
12．已知，若对一切实数，均有，则___.
13．已知，，则__________
14．若扇形AOB的圆心角为，周长为10+3π，则该扇形的面积为_____
15．若函数在单调递增，则实数的取值范围为________
16．如图，在长方体ABCD—中，AB＝3cm，AD＝2cm，，则三棱锥的体积___________.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数．

（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）在所给坐标系中画出函数在区间的图象（只作图不写过程）．
18．如图，四棱锥中，底面为菱形，平面.

(1)证明：平面平面；
(2)设，，求到平面的距离.
19．某果农从经过筛选（每个水果的大小最小不低于50克，最大不超过100克）的10000个水果中抽取出100个样本进行统计，得到如下频率分布表：
级别
大小（克）
频数
频率
一级果

5
0.05
二级果

三级果

35

四级果

30

五级果

20

合计

100

请根据频率分布表中所提供的数据，解得下列问题：
（1）求的值，并完成频率分布直方图；
（2）若从四级果，五级果中按分层抽样的方法抽取5个水果，并从中选出2个作为展品，求2个展品中仅有1个是四级果的概率；
（3）若将水果作分级销售，预计销售的价格元/个与每个水果的大小克关系是：，则预计10000个水果可收入多少元？
20．设向量，，.
（1）求；
（2）若，，求的值；
（3）若，，，求证：A，，三点共线.
21．已知，向量，.
（1）当实数x为何值时，与垂直.
（2）若，求在上的投影.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】分析：化简集合，根据补集的定义可得结果.
详解：由已知，
，故选B.
点睛：本题主要一元二次不等式的解法以及集合的补集运算，意在考查运算求解能力.
2、B
【解析】根据二次函数的对称轴、开口方向确定正确选项.
【详解】依题意可知，二次函数的开口向下，对称轴，
，
在上递减，所以，即.
故选：B
3、D
【解析】由正切函数的对称中心得，得到，令可解得函数的单调递减区间.
【详解】因为是函数的对称中心，所以，解得
因为，所以，，
令，解得，
当时，函数的一个单调递减区间是
故选：D
【点睛】本题考查正切函数的图像与性质，属于基础题.
4、D
【解析】∵，，∴，，
∴．故选
5、D
【解析】由已知直线恒过定点，如图

若与线段相交，则，∵，，∴，故选D.
6、C
【解析】根据函数的解析式，结合零点的存在定理，进行分类讨论判定，即可求解.
【详解】由题意，函数的定义域为，且的零点为，
即，解得，
又因为，
可得中，有1个负数、两个正数，或3个都负数，
若中，有1个负数、两个正数，
可得，即，
根据零点的存在定理，可得或；
若中，3个都是负数，则满足，
即，此时函数的零点.
故选：C.
7、A
【解析】根据三角函数的定义计算可得；
【详解】解：因为角终边过点，所以；
故选：A
8、C
【解析】根据函数的概念，可作直线从左向右在定义域内移动，得到直线与曲线的交点个数，即可判定.
【详解】由函数的概念可知，任意一个自变量的值对应的因变量的值是唯一的，
可作直线从左向右在定义域内移动，得到直线与曲线的交点个数是0或1，
显然A、B、D均不满足函数的概念，只有选项C满足.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了函数概念，以及函数的图象及函数的表示，其中解答中正确理解函数的基本概念是解答的关键，着重考查了数形结合思想的应用.
9、B
【解析】根据函数的奇偶性和正负性，运用排除法进行判断即可.
【详解】因为，
所以函数是偶函数，其图象关于纵轴对称，故排除C、D两个选项；
显然，故排除A，
故选：B
10、A
【解析】由基本不等式可得答案.
【详解】因为，所以，
当且仅当即时等号成立.
故选：A.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】取中点为O，连接VO,BO在正三棱锥中，因为,所以,所以=,所以
12、
【解析】列方程组解得参数a、b，得到解析式后，即可求得的值.
【详解】由对一切实数，均有
可知，即解之得
则，满足
故
故答案：
13、
【解析】构造角，，再用两角和的余弦公式及二倍公式打开.
【详解】，，，，
，

故答案为：
【点睛】本题是给值求值题，关键是构造角，应注意的是确定三角函数值的符号.
14、
【解析】设扇形AOB的的弧长为l，半径为r，由已知可得l＝3π，r＝5，再结合扇形的面积公式求解即可.
【详解】解：设扇形AOB的的弧长为l，半径为r，
∴，l+2r＝10+3π，
∴l＝3π，r＝5，
∴该扇形的面积S，
故答案为：.
【点睛】本题考查了扇形的弧长公式及扇形的面积公式，重点考查了方程的思想，属基础题.
15、
【解析】根据复合函数单调性性质将问题转化二次函数单调性问题，注意真数大于0.
【详解】令，则，因为为减函数，所以在上单调递增等价于在上单调递减，且，即，解得.
故答案为：
16、1
【解析】根据题意，求得棱锥的底面积和高，由体积公式即可求得结果.
【详解】根据题意可得，平面，
故可得，
又因为，
故可得.
故答案为：.
【点睛】本题考查三棱锥体积的求解，涉及转换棱锥的顶点，属基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）最小正周期T＝π；单调递减区间为（k∈Z）；（2）图象见解析．
【解析】（1）利用二倍角公式化简函数，再根公式求函数的周期和单调递减区间；（2）利用“五点法”画出函数的图象.
【详解】解：f（x）＝＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin（2x＋）
（1）∴函数f（x）的最小正周期T＝＝π，
当2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z，时，即2kπ＋≤2x≤2kπ＋π，k∈Z，故kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z
∴函数f（x）单调递减区间为[kπ＋，kπ＋π]（k∈Z）
（2）图象如下：

18、 (1)详见解析 (2)
【解析】（1）证面面垂直可根据证线线垂直，∵为菱形，∴.∵平面，∴.∴平面.（2）可根据等体积法求解到平面的距离
试题解析：
(1)∵为菱形，∴.
∵平面，∴.
∴平面.
又平面，∴平面平面.
(2)∵,,
∴，.
∵,
∴.
若设到平面的距离为.
∴，∴，∴.
即到平面的距离为.
19、（1）的值为10，的值为0.35；作图见解析（2）（3）元
【解析】（1）根据样本总数为可求，由频数样本总数可求；计算出各组频率，再计算出频率/组距即可画出频率分布直方图.
（2）根据分层抽样可得抽取的4级有个，抽取5级果有个，设三个四级果分别记作：，二个五级果分别记作：，利用古典概型的概率计算公式即可求解.
（3）计算出100个水果的收入即可预计10000个水果可收入.
【详解】（1）的值为10，的值为0.35

（2）四级果有30个，五级果有20个，按分层抽样的方法抽取5个水果，
则抽取的4级果有个，5级果有个.
设三个四级果分别记作：，二个五级果分别记作：，
从中任选二个作为展品的所有可能结果是，
共有10种，
其中两个展品中仅有一个是四级果的事件为，
包含共个，
所求的概率为.
（3）100个水果的收入为
（元）
所以10000个水果预计可收入（元）.
【点睛】本题考查了频率分布表、频率分布直方图、分层抽样以及古典概型的概率公式，用样本估计总体，属于基础题.
20、（1）1（2）2
（3）证明见解析
【解析】（1）先求，进而求；（2）列出方程组，求出，进而求出；（3）求出，从而得到，得到结果.
【小问1详解】
，；
【小问2详解】
，所以，解得：，所以；
【小问3详解】
因为，所以，所以A，，三点共线.
21、（1）3；（2）.
【解析】（1）令，列方程解出x.
（2）运用向量的数量积的定义可得，再由在上的投影为，计算即可得到所求值.
【详解】（1）∵，向量，.
∵与垂直，
∴，可得，
∴解得，或（舍去）.
（2）若，则，，可得，
可得在上的投影为.
【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量垂直的条件，向量数量积坐标公式，向量在另一个向量方向上的投影的求解，属于简单题目.