2025-2026学年山西省吕梁育星中学数学高一第一学期期末学业水平测试试题含解析.doc

2025-2026学年山西省吕梁育星中学数学高一第一学期期末学业水平测试试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数的单调递减区间是（）
A.（） B.（）
C.（） D.（）
2．下列说法中正确的是（ ）
A.如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行
B.平面内的三个顶点到平面的距离相等，则与平行
C.，，则
D.，，，则
3．已知集合，则（　　）
A. B.
C. D.
4．已知角的终边在第三象限，则点在（）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5．函数的单调递增区间是（　　）
A. B.
C. D.
6．若点关于直线的对称点是，则直线在轴上的截距是
A.1 B.2
C.3 D.4
7．若函数f（x）=sin（2x+φ）为R上的偶函数，则φ的值可以是（　　）
A. B.
C. D.
8．如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间t（单位：月）的关系为，关于下列说法不正确的是（）

A.浮萍每月的增长率为2
B.浮萍每月增加的面积都相等
C.第4个月时，浮萍面积超过
D.若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，、，则
9．不等式的解集是（）
A B.
C.或 D.或
10．已知函数的值域为R，则a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知向量，满足=（3，-4），||=2，|+|=，则，的夹角等于______
12．已知函数
（1）当时，求的值域；
（2）若，且，求的值；
13．在四边形ABCD中，若，且，则的面积为_______.
14．已知函数，且函数恰有两个不同零点，则实数的取值范围是___________.
15．已知函数，若，则实数的取值范围为______.
16．已知函数f（x）＝|sinx|﹣cosx，给出以下四个命题：
①f（x）的图象关于y轴对称；
②f（x）在[﹣π，0]上是减函数；
③f（x）是周期函数；
④f（x）在[﹣π，π]上恰有三个零点
其中真命题的序号是_____．（请写出所有真命题的序号）
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知向量，不共线，，
（1）若，求k的值，并判断，是否同向；
（2）若，与夹角为，当为何值时，
18．汕头市某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为100元，售价为130元，每星期可卖出80件.商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20件.
（1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？
（2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？
19．已知全集,集合
(1)求;
(2)若,且,求实数的取值范围.
20．已知集合A＝{x|}，B＝{x||x－a|＜2}，其中a＞0且a≠1
（1）当a＝2时，求A∪B及A∩B；
（2）若集合C＝{x|logax＜0}且C⊆B，求a的取值范围
21．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，
（1）求实数的值；
（2）求函数在上的解析式；
（3）若对任意实数恒成立，求实数的取值范围
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】根据余弦函数单调性，解得到答案.
【详解】解：，令，，解得，，故函数的单调递减区间为；
故选：A.
2、D
【解析】根据线面关系，逐一判断每个选项即可.
【详解】解：对于A选项，如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内无数条直线平行，而不是任意的直线平行，故错误；
对于B选项，如图，，，，分别为正方体中所在棱的中点，平面设为平面，易知正方体的三个顶点，，到平面的距离相等，但所在平面与相交，故错误；
对于选项C，可能在平面内，故错误；
对于选项D，正确.

故选：D.
3、C
【解析】根据并集的定义计算
【详解】由题意
故选：C
4、D
【解析】根据角的终边所在象限，确定其正切值和余弦值的符号，即可得出结果.
【详解】角的终边在第三象限，则，，点P在第四象限
故选：D.
5、B
【解析】先求出函数的定义域，然后将复合函数分解为内、外函数，分别讨论内外函数的单调性，进而根据复合函数单调性“同增异减”的原则，得到函数y=log3（x2-2x）的单调递增区间
【详解】函数y=log5（x2-2x）的定义域为（-∞，0）∪（2，+∞），
令t=x2-2x，则y=log5t，
∵y=log5t为增函数，
t=x2-2x在（-∞，0）上为减函数，在（2，+∞）为增函数，
∴函数y=log5（x2-2x）的单调递增区间为（2，+∞），
故选B
【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，二次函数的性质，对数函数的单调性，其中复合函数单调性“同增异减”是解答本题的关键
6、D
【解析】∵点A（1，1）关于直线y=kx+b的对称点是B（﹣3，3），
由中点坐标公式得AB的中点坐标为，
代入y=kx+b得 ①
直线AB得斜率为，则k=2.
代入①得， ．
∴直线y=kx+b为 ，解得：y=4．
∴直线y=kx+b在y轴上的截距是4．
故选D．
7、C
【解析】根据三角函数的奇偶性，即可得出φ的值
【详解】函数f（x）=sin（2x+φ）为R上的偶函数，则φ=+kπ，k∈Z；所以φ的值可以是.故选C.
【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，属于基础题
8、B
【解析】先利用特殊点求出函数解析式为，再利用指数函数的性质即可判断出正误
【详解】解：图象可知，函数过点，
，
函数解析式为，
浮萍每月的增长率为，故选项A正确，
函数是指数函数，是曲线型函数，浮萍每月增加的面积不相等，故选项B错误，
当时，，故选项C正确，
对于D选项，，，，，
又，，故选项D正确，
故选：B
9、D
【解析】将分式不等式移项、通分，再转化为等价一元二次不等式，解得即可；
【详解】解：∵，，即，等价于且，解得或，∴所求不等式的解集为或，
故选：D.
10、D
【解析】首先求出时函数的值域，设时，的值域为，依题意可得，即可得到不等式组，解得即可；
【详解】解：由题意可得当时，所以的值域为，
设时，的值域为，则由的值域为R可得，
∴，解得，即
故选：D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】利用求解向量间的夹角即可
【详解】因为，所以，
因为，所以，
即，
所以，
所以，
因为向量夹角取值范围是，
所以向量与向量的夹角为
【点睛】本题考查向量的运算，这种题型中利用求解向量间的夹角同时需注意
12、（1）
（2）
【解析】（1）化简函数解析式为，再利用余弦函数的性质求函数的值域即可；
（2）由已知得，利用同角之间的关系求得，再利用凑角公式及两角差的余弦公式即可得解.
【小问1详解】

，，
利用余弦函数的性质知，则
【小问2详解】
，
又，，
则
则
13、
【解析】由向量的加减运算可得四边形为平行四边形，再由条件可得四边形为边长为4的菱形，由三角形的面积公式计算可得所求值
【详解】
在四边形中，，即为，即，
可得四边形为平行四边形，又，
可得四边形为边长为4的菱形，
则的面积为正的面积，即为，
故答案为：
14、
【解析】作出函数的图象，把函数的零点转化为直线与函数图象交点问题解决.
【详解】由得，即函数零点是直线与函数图象交点横坐标，
当时，是增函数，函数值从1递增到2(1不能取)，当时，是增函数，函数值为一切实数，
在坐标平面内作出函数的图象，如图，

观察图象知，当时，直线与函数图象有2个交点，即函数有2个零点，
所以实数的取值范围是：.
故答案为：
15、或
【解析】令，分析出函数为上的减函数且为奇函数，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】令，对任意的，，
故函数的定义域为，
因为，
则，所以，函数为奇函数，
当时，令，由于函数和在上均为减函数，
故函数在上也为减函数，
因为函数在上为增函数，故函数在上为减函数，
所以，函数在上也为减函数，
因为函数在上连续，则在上为减函数，
由可得，即，
所以，，即，解得或.
故答案为：或.
16、①③
【解析】求函数的奇偶性即可判断①；结合取值范围，可去绝对值号，结合辅助角公式求出函数的解析式，从而可求单调性即可判断②；由f（x+2π）＝f（x）可判断③；求[﹣π，0]上的解析式，从而可求出该区间上的零点，结合函数的奇偶性即可判断[﹣π，π]上零点个数 .
【详解】解：对于①，函数f（x）＝sinx﹣cosx的定义域为R，且满足f（﹣x）＝f（x），
所以f（x）是定义域在R上的偶函数，其图象关于y轴对称，①为真命题；
对于②，当x∈[﹣π，0]时，sinx≤0，，
对于，，所以在[﹣π，0]上先减后增，那么f（x）在[﹣π，0]上先增后减，②为假命题；
对于③，因为f（x+2π）＝|sin（x+2π）|﹣cos（x+2π）＝|sinx|﹣cosx＝f（x），函数f（x）是周期为2π的周期函数，③为真命题；
对于④，当x∈[﹣π，0]时，sinx≤0，，且，f（x）在[﹣π，0]上恰有一个零点是，又由①知道f（x）是定义在R上的偶函数，所以在（0，π]上有一个零点是，则④为假命题
故答案为: ①③.
【点睛】关键点睛：在判断命题②④时，关键是结合自变量的取值范围去掉绝对值号，结合辅助角公式求出函数的解析式，再结合正弦函数的性质进行判断.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）k=-1,反向；（2）k=1
【解析】由题得由此能求出，，与反向．由，得，由数量积运算求出
【详解】，，，
，即
又向量，不共线，，
解得，，即，
故与反向
，与夹角为，
 ，
又故，
即解得
故时，
【点睛】本题考查向量平行、向量垂直的性质等基础知识，熟记共线定理，准确计算是关键，是基础题
18、（1）2400（元）；（2）应将售价定为125元，最大销售利润是2500元.
【解析】（1）由销售利润=单件成本×销售量，即可求商家降价前每星期销售利润；
（2）由题意得，根据二次函数的性质即可知最大销售利润及对应的售价.
【详解】（1）由题意，商家降价前每星期的销售利润为（元）；
（2）设售价定为元，则销售利润.
当时，有最大值2500.
∴应将售价定为125元，最大销售利润是2500元.
19、 (1);(2).
【解析】分析：(1)先解指数不等式得集合B，再根据补集以及交集定义求结果，(2)根据得，再根据数轴确定实数的取值范围.
详解：(1)由,得: .
由则: ，
所以: ，
(2)由: ,
又，
当时：，
当时：，
综上可得：，即.
点睛：将两个集合之间的关系准确转化为参数所满足的条件时，应注意子集与真子集的区别，此类问题多与不等式(组)的解集相关．确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易产生增解或漏解
20、（1）A∪B＝{x|x＞0}，A∩B＝{x|2＜x＜4}；
（2）{a|1＜a≤2},
【解析】（1）化简集合A，B，利用并集及交集的概念运算即得；
（2）分a＞1，0＜a＜1讨论，利用条件列出不等式即得.
【小问1详解】
∵A＝{x|2x＞4}＝{x|x＞2}，B＝{x||x－a|＜2}＝{x|a－2＜x＜a+2}，
∴当a＝2时，B＝{x|0＜x＜4}，
所以A∪B＝{x | x＞0}，A∩B＝{x |2＜x＜4}；
【小问2详解】
当a＞1时，C＝{x|logax＜0}＝{x|0＜x＜1}，
因为C⊆B，所以，解得－1≤ a ≤2，
因为a ＞1，此时1＜a ≤2，
当0＜a＜1时，C＝{x|logax＜0}＝{x|x＞1}，此时不满足C⊆B，
综上，a 的取值范围为{a|1＜a≤2}
21、 (1) ;(2) ;(3)
【解析】
(1)由题利用即可求解；
（2）当x＜0，则﹣x＞0，根据函数为奇函数f（﹣x）＝﹣f（x）及当x＞0时，，可得函数在x＜0时的解析式，进而得到函数在R上的解析式；
（3）根据奇函数在对称区间上单调性相同，结合指数函数的图象和性质，可分析出函数的单调性，进而将原不等式变形，解不等式可得实数的取值范围．
【详解】解：（1）函数是定义在上的奇函数
,解得
（2）由(1)
当,又是奇函数，

(3)由及函数是定义在上的奇函数得
由的图像知为R上的增函数，，
【点睛】本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合，其中熟练掌握函数奇偶性的性质，及在对称区间上单调性的关系是解答本题的关键．