江苏苏州高新区第一中学2025-2026学年数学高一上期末监测试题含解析.doc

江苏苏州高新区第一中学2025-2026学年数学高一上期末监测试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．一个扇形的面积是，它的半径是，则该扇形圆心角的弧度数是
A. B.1
C.2 D.
2．要证明命题“所有实数的平方都是正数”是假命题，只需（）
A.证明所有实数的平方都不是正数
B.证明平方是正数的实数有无限多个
C.至少找到一个实数，其平方是正数
D.至少找到一个实数，其平方不是正数
3．函数（其中mR）的图像不可能是（）
A. B.
C. D.
4．的零点所在区间为（ ）
A. B.
C. D.
5．下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是　　
A. B.
C. D.
6．下列说法中，正确的是（）
A.若，则
B.函数与函数是同一个函数
C.设点是角终边上的一点，则
D.幂函数的图象过点，则
7．函数的单调递增区间是
A. B.
C. D.
8．若集合，，则
A. B.
C. D.
9．已知全集U＝{－1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，则（）
A.{－1} B.{0，1}
C.{－1，2，3} D.{－1，0，1，3}
10．设命题：，则的否定为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的单调递减区间为__
12．命题的否定是__________
13．已知函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是_____
14．若定义域为的函数满足：对任意能构成三角形三边长的实数，均有，，也能构成三角形三边长，则m的最大值为______．（是自然对数的底）
15．在区间上随机取一个实数，则事件发生的概率为_________.
16．若则函数的最小值为________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知某观光海域AB段的长度为3百公里，一超级快艇在AB段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用Q（单位：万元）与速度v（单位：百公里／小时）（0≤v≤3）的以下数据：

0
1
2
3

0
0.7
1.6
3.3
为描述该超级快艇每小时航行费用Q与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：Q＝av3＋bv2＋cv，Q＝0．5v＋a，Q＝klogav＋b
（1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
（2）该超级快艇应以多大速度航行才能使AB段的航行费用最少？并求出最少航行费用
18．环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在一段国道上进行测试，汽车行驶速度低于80km/h．经多次测试得到该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：km/h）的数据如下表所示：

为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：，且，，（）
（1）当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型，并说明理由；
（2）求出（1）中所选函数模型的函数解析式；
（3）根据（2）中所得函数解析式，求解如下问题：现有一辆同型号电动汽车从地驶到地，前一段是200km的国道，后一段是60km的高速路（汽车行驶速度不低于80km/h），若高速路上该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：km/h）的关系满足，则如何行使才能使得总耗电量最少，最少为多少？
19．已知角的终边经过点，试求：
（1）tan的值；
（2）的值.
20．已知不等式的解集是
（1）若且，求的取值范围；
（2）若，求不等式的解集
21．已知函数（且）为奇函数.
（1）求n的值；
（2）若，判断函数在区间上的单调性并用定义证明；
（3）在（2）的条件下证明：当时，.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】由题意首先求得弧长，然后求解圆心角的弧度数即可.
【详解】设扇形的弧长为，由题意可得：,
则该扇形圆心角的弧度数是.
本题选择C选项.
【点睛】本题主要考查扇形面积公式，弧度数的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2、D
【解析】全称命题是假命题，则其否定一定是真命题，判断选项.
【详解】命题“所有实数的平方都是正数”是全称命题，若其为假命题，那么命题的否定是真命题，所以只需“至少找到一个实数，其平方不是正数.
故选：D
3、C
【解析】对m分类讨论，利用对勾函数的单调性，逐一进行判断图像即可.
【详解】易见，
① 当时，图像如A选项；
②当时，时，易见在递增，得在递增；
时，令，得为对勾函数，
所以在递增，递减，
所以根据复合函数单调性得在递减，递增，图像为D；
③当时，时，易见在递减，故在递减；
时为对勾函数，
所以在递减，递增，图像为B.
因此，图像不可能是C.
故选：C.
【点睛】本题考查了利用对勾函数单调性来判断函数的图像，属于中档题.
4、C
【解析】根据零点存在性定理进行判断即可
【详解】，，，
，根据零点存在性定理可得，则的零点所在区间为
故选C
【点睛】本题考查零点存性定理，属于基础题
5、A
【解析】由幂函数，指数函数与对数函数的性质可得
【详解】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，，其定义域为R，在R上既是奇函数又是增函数，符合题意；
对于B，，是对数函数，不是奇函数，不符合题意；
对于C，，为指数函数，不为奇函数；
对于D，，为反比例函数，其定义域为，在其定义域上不是增函数，不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，是基础题，掌握幂函数，指数函数与对数函数的性质是解题关键
6、D
【解析】A选项，举出反例；B选项，两函数定义域不同；C选项，利用三角函数定义求解；D选项，待定系数法求出解析式，从而得到答案.
【详解】A选项，当时，满足，而，故A错误；
B选项，定义域为R，定义域为，两者不是同一个函数，B错误；
C选项，，C错误；
D选项，设，将代入得：，解得：，所以，D正确.
故选：D
7、D
【解析】
，选D.
8、C
【解析】因为集合，,
所以,
故选C.
9、C
【解析】由交集与补集的定义即可求解.
【详解】解：因为集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，
所以，
又全集U＝{－1，0，1，2，3}，
所以，
故选：C.
10、B
【解析】本题根据题意直接写出命题的否定即可.
【详解】解：因为命题：，
所以的否定：，
故选：B
【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，是基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】由根式内部的代数式大于等于0，求得原函数的定义域，再求出内层函数的减区间，即可得到原函数的减区间
【详解】由，得或，
令，该函数在上单调递减，而y＝是定义域内的增函数，
∴函数的单调递减区间为
故答案为：
12、；
【解析】根据存在量词的命题的否定为全称量词命题即可得解；
【详解】解：因为命题“”为存在量词命题，其否定为全称量词命题为
故答案为：
13、
【解析】题目转化为，画出函数图像，根据图像结合函数值计算得到答案.
详解】，，即，画出函数图像，如图所示：
，，根据图像知：.
故答案为：

14、##
【解析】不妨设三边的大小关系为：，利用函数的单调性，得出，，的大小关系，作为三角形三边则有任意两边之和大于第三边，再利用基本不等式求出边的范围得出的最大值即可.
【详解】在上严格增，所以，不妨设，
因为对任意能构成三角形三边长的实数，均有，，
也能构成三角形三边长，所以，
因为，所以，
因为对任意都成立，所以，所以，所以，
所以，所以m的最大值为
故答案为：.
15、
【解析】由得：，∵在区间上随机取实数，每个数被取到的可能性相等，∴事件发生的概率为，故答案为
考点：几何概型
16、1
【解析】结合图象可得答案.
【详解】
如图，函数在同一坐标系中，
且，所以在时有最小值，即.
故答案为：1.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）选择函数模型，函数解析式为；（2）以1百公里/小时航行时可使AB段的航行费用最少，且最少航行费用为2.1万元.
【解析】（1）对题中所给的三个函【解析】对应其性质，结合题中所给的条件，作出正确的选择，之后利用待定系数法求得解析式，得出结果；
（2）根据题意，列出函数解析式，之后应用配方法求得最值，得到结果.
【详解】（1）若选择函数模型，则该函数在上为单调减函数，
这与试验数据相矛盾，所以不选择该函数模型
若选择函数模型，须，这与试验数据在时有意义矛盾，
所以不选择该函数模型
从而只能选择函数模型，由试验数据得，
，即，解得
故所求函数解析式为：
（2）设超级快艇在AB段的航行费用为y（万元），
则所需时间（小时），其中，
结合（1）知，

所以当时，
答：当该超级快艇以1百公里/小时航行时可使AB段的航行费用最少，且最少航行费用为2．1万元
【点睛】该题考查的是有关函数的应用题，涉及到的知识点有函数模型的正确选择，等量关系式的建立，配方法求二次式的最值，属于简单题目.
18、（1），理由见解析
（2）
（3）当该汽车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时，总耗电量最少，最少为
【解析】（1）由表格数据判断合适的函数关系，
（2）代入数据列方程组求解，
（3）分别表示在国道与高速路上的耗电量，由单调性求其取最小值时的速度.
【小问1详解】
若选，则当时，该函数无意义，不合题意
若选，显然该函数是减函数，这与矛看，不合题意
故选择
【小问2详解】
选择，由表中数据得，
解得，所以当时，
【小问3详解】
由题可知该汽车在国道路段所用时间为，
所耗电量，
所以当时，
该汽车在高速路段所用时间为，
所耗电量，
易知在上单调递增，所以
故当该汽车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时，总耗电量最少，最少为
19、（1）；
（2）.
【解析】（1）根据特殊角的三角函数值，结合正切函数的定义进行求解即可；
（2）利用同角的三角函数关系式进行求解即可.
【小问1详解】
∵，
，
∴点P的坐标为(1，3)，由三角函数的定义可得：
；
【小问2详解】

.
20、（1）（2）
【解析】（1）根据且知道满足不等式，不满足不等式，解出即可得出答案
（2）根据知道是方程的两个根，利用韦达定理求出a值，再带入不等式，解出不等式即可
【详解】（1）

（2）∵，∴是方程的两个根，
∴由韦达定理得解得∴不等式即为：其解集为
【点睛】本题考查元素与集合的关系、一元二次不等式与一元二次等式的关系，属于基础题
21、（1）；（2）在上单调递增，证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】（1）由奇函数的定义可得，然后可得，进而计算得出n的值；
（2）由可得，则，然后利用定义证明函数单调性即可；
（3）由（2）知，先可证得，又，可证得，最后得出结论即可.
【详解】（1）函数定义域为，且为奇函数，
所以有，即，
整理得，由条件可得，所以，即；
（2）由，得，此时，
任取，且，
则，
因为，所以，，，
所以，
则，
所以，即，
所以函数在上单调递增；
（3）由（2）知，函数在上单调递增，
当时，，
又，从而，
又，
而当时，，，所以，
综上，当时，.
【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的步骤：①取值，②作差、变形（变形主要指通分、因式分解、合并同类项等），③定号，④判断.