2025年湖南省东安县第一中学数学高一第一学期期末联考模拟试题含解析.doc

2025年湖南省东安县第一中学数学高一第一学期期末联考模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数的零点，（），则（）
A. B.
C. D.
2．正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）

A. B.
C. D.
3．幂函数的图象过点，则函数的值域是（）
A. B.
C. D.
4．直线的倾斜角
A. B.
C. D.
5．直线截圆所得的线段长为（）
A.2 B.
C.1 D.
6．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）
A.在区间上单调递减 B.在区间上单调递增
C.在区间上单调递减 D.在区间上单调递增
7．下列函数既不是奇函数，也不是偶函数，且在上单调递增是
A. B.
C. D.
8．如图，正方体的棱长为，，是线段上的两个动点，且，则下列结论错误的是

A.
B.直线、所成的角为定值
C.∥平面
D.三棱锥的体积为定值
9．函数的定义城为（ ）
A B.
C. D.
10．函数，若恰有3个零点，则a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的定义域为__________
12．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴非负半轴和轴的非负半轴上滑动，顶点在第一象限内，，，设.若，则点的坐标为______；若，则的取值范围为______.

13．求过(2,3)点，且与(x－3)2＋y2＝1相切的直线方程为_____
14．定义域为上的函数满足，且当时，，若，则a的取值范围是______
15．已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝10与直线l：2x+y＝0，则圆C与直线l的位置关系是_____
16．给出下列四种说法：
（1）函数与函数的定义域相同；
（2）函数与的值域相同；
（3）若函数式定义在R上的偶函数且在为减函数对于锐角则；
（4）若函数且,则；
其中正确说法序号是________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在武汉出现并很快地传染开来（已有证据表明2019年10月、11月国外已经存在新冠肺炎病毒），对人类生命形成巨大危害．在中共中央、国务院强有力的组织领导下，全国人民万众一心抗击、防控新冠肺炎，疫情早在3月底已经得到了非常好的控制（累计病亡人数人），然而国外因国家体制、思想观念的不同，防控不力，新冠肺炎疫情越来越严重．疫情期间造成医用防护用品短缺，某厂家生产医用防护用品需投入年固定成本为万元，每生产万件，需另投入成本为．当年产量不足万件时，（万元）；当年产量不小于万件时，（万元）．通过市场分析，若每件售价为元时，该厂年内生产的商品能全部售完．（利润销售收入总成本）
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；
（2）年产量为多少万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大?并求出利润的最大值
18．在①是函数图象的一条对称轴，②函数的最大值为2，③函数图象与y轴交点的纵坐标是1这三个条件中选取两个补充在下面题目中，并解答
已知函数，______
（1）求的解析式；
（2）求在上的值域
19．如图，正方形的边长为，，分别为边和上的点，且的周长为2.

（1）求证：；
（2）求面积的最小值.
20．已知集合，
（1）当时，求；
21．已知函数（，）为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为
（1）当时，求的单调递减区间；
（2）将函数的图象沿轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，求函数的值域
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】将函数化为，根据二次函数的性质函数的单调性，利用零点的存在性定理求出两个零点的分布，进而得出零点的取值范围，依次判断选项即可.
【详解】由题意知，
，
则函数图象的对称轴为，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又，，
，，
所以，
因为，，
所以，
所以，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确.
故选：D
2、B
【解析】根据斜二测画法画直观图的性质，即平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段的长度减半，结合图形求得原图形的各边长，可得周长
【详解】因为直观图正方形的边长为1cm，所以，

所以原图形为平行四边形OABC，其中，，
，
所以原图形的周长
3、C
【解析】设，带点计算可得，得到，令转化为二次函数的值域求解即可.
【详解】设，
代入点得
，

则，令，

函数的值域是.
故选：C.
4、A
【解析】先求得直线的斜率，然后根据斜率和倾斜角的关系，求得.
【详解】可得直线的斜率为，
由斜率和倾斜角的关系可得，
又∵
∴
故选：A.
【点睛】本小题主要考查直线倾斜角与斜率，属于基础题.
5、C
【解析】先算出圆心到直线的距离，进而根据勾股定理求得答案.
【详解】圆，即圆心.圆心C到直线的距离，则直线截圆所得线段长为：.
故选：C.
6、D
【解析】由条件根据函数的图象变换规律得到变换之后的函数解析式，再根据正弦函数的单调性判断即可
【详解】解：将函数的图象向右平移个单位长度，
得到，
若，则，因为在上不单调，
故在上不单调，故A、B错误；
若，则，因为在上单调递增，
故在上单调递增，故C错误，D正确；
故选：D
7、C
【解析】是偶函数，是奇函数，和既不是奇函数也不是偶函数，在上是减函数，是增函数，故选C
8、B
【解析】在A中，∵正方体
∴AC⊥BD，AC⊥，
∵BD∩=B，∴AC⊥平面，
∵BF⊂平面，∴AC⊥BF，故A正确；
在B中，异面直线AE、BF所成的角不为定值，因为当F与重合时，令上底面顶点为O，点E与O重合，则此时两异面直线所成的角是;当E与重合时，此时点F与O重合，则两异面直线所成的角是，此二角不相等，故异面直线AE、BF所成的角不为定值.故B错误
在C中，∵EF∥BD，BD⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，故C正确；
在D中，∵AC⊥平面，∴A到平面BEF的距离不变，
∵B到EF的距离为1，,∴△BEF的面积不变，
∴三棱锥A-BEF的体积为定值，故D正确；
点睛：解决此类题型的关键是结合空间点线面的位置关系一一检验.
9、C
【解析】由对数函数的性质以及根式的性质列不等式组，即可求解.
【详解】由题意可得 解得，
所以原函数的定义域为，
故选：C
10、B
【解析】画出的图像后，数形结合解决函数零点个数问题.
【详解】做出函数图像如下

由得，由得
故函数有3个零点
若恰有3个零点，即函数与直线有三个交点，
则a的取值范围，
故选：B

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】真数大于0求定义域.
【详解】由题意得：，解得：，所以定义域为.
故答案为：
12、 ①. ②.
【解析】分别过点作、轴的垂线，垂足点分别为、，过点分别作、轴的垂线，垂足点分别为、，设点、，根据锐角三角函数的定义可得出点、的坐标，然后利用平面向量数量积的坐标运算和二倍角的正弦公式可求出的取值范围.
【详解】分别过点作、轴的垂线，垂足点分别为、，过点分别作、轴的垂线，垂足点分别为、，如下图所示：

则，设点、，
则，，
，.
当时，，，则点；
由上可知，，，
则，
因此，的取值范围是.
故答案为：；.
【点睛】本题考查点的坐标的计算，同时也考查了平面向量数量积的取值范围的求解，解题的关键就是将点的坐标利用三角函数表示，考查运算求解能力，属于中等题.
13、或
【解析】当直线没有斜率时，直线的方程为x=2,满足题意，所以此时直线的方程为x=2.
当直线存在斜率时，设直线的方程为
所以
故直线的方程为或.故填或.
14、
【解析】根据，可得函数图象关于直线对称，当时，，可设，根据，即可求解；
【详解】解：，的函数图象关于直线对称，
函数关于y轴对称，
当时，，
那么时，，
可得，
由，
得

解得：；
故答案为.
【点睛】本题考查了函数的性质的应用及不等式的求解，属于中档题.
15、相交
【解析】根据题意只需判断圆心到直线的距离与半径比较大小即可判断
详解】由题意有圆心，半径
则圆心到直线的距离
故直线与圆C相交
故答案为：相交
【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系的判断，属于基础试题
16、（1）（3）
【解析】(1)根据定义域直接判断；(2)分别求出值域即可判断；(3)利用偶函数图形的对称性得出在上的单调性及锐角，可以判断；(4)通过对数性质及对数运算即可判断.
【详解】(1)函数与函数的定义域都为.所以(1)正确.
(2) 函数的值域为而的值域为，所以值域不同，故(2)错误.
(3) 函数在定义R上的偶函数且在为减函数,则函数在在为增函数，又为锐角，则，所以，故(3)正确.
(4) 函数且，则，即，
得，故(4)错误.
故答案为：(1)(3).
【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数与幂函数的定义域与值域的求解，函数的奇偶性和单调性的判定，对数的运算，属于函数知识的综合应用，是中档题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）年产量为万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大，利润的最大值为万元
【解析】(1)由利润销售收入总成本写出分段函数的解析式即可；
（2）利用配方法和基本不等式分别求出各段的最大值，再取两个中最大的即可.
【详解】（1）当，时，

当，时，

（2）当，时，，
当时，取得最大值（万元）
当，时，
当且仅当，即时等号成立
即时，取得最大值万元
综上，所以即生产量为万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为万元
18、（1）条件选择见解析，；
（2）.
【解析】(1)选择①②直接求出A及的解；选择①③，先求出，再由求A作答；选择②③，直接可得A，再由求作答.
(2)由(1)结合正弦函数的性质即可求得在上的值域.
【小问1详解】
选择①②，，由及得：，
所以的解析式是：.
选择①③，由及得：，即，
而，则，即，解得，
所以的解析式是：.
选择②③，，而，即，又，则有，
所以的解析式是：.
【小问2详解】
由(1)知，，当时，，
则当，即时，，当，即时，，
所以函数在上的值域是.
19、（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）补形得证明其与全等，从而得证.
（2）引进参数，由已知建立参数变量之间的等量关系，再用方程根的判别式获得变量最值，进一步得到所求面积最值.
【详解】（1）如图：延长至，使，连接，则.
故，，.
又.
，即.

（2）设，，，则，
，，
于是，
整理得：，
.
即.
又，，当且仅当时等式成立.
此时，
因此当，时，取最小值.
的最小值为.
【点睛】方法点睛：引进参数建立参变量方程，再变换主次元，利用方程根的判别式，确定参数取值范围是求最值的方法之一.
20、（1）
（2）
【解析】（1）解一元二次不等式求得集合，由补集和并集的定义可运算求得结果；
（2）分别在和两种情况下，根据交集为空集可构造不等式求得结果.
【小问1详解】
由题意得，或，
，
.
【小问2详解】
，
当时，，符合题意，
当时，由，得，
故a的取值范围为
21、（1），]（2）值域为[，]
【解析】（1）利用三角恒等变换化简的解析式，根据条件，可求出周期和，结合奇函数性质，求出，再用整体代入法求出内的递减区间；
（2）利用函数的图象变换规律，求出的解析式，再利用正弦函数定义域，即可求出时的值域.
【详解】解：（1）由题意得，
因相邻两对称轴之间距离为，所以，
又因为函数为奇函数，所以，∴，
因为，所以
故函数
令.得.
令得，
因为，所以函数的单调递减区间为，]
（2）由题意可得，
因为，所以
所以，.
即函数的值域为[，]
【点睛】本题主要考查正弦函数在给定区间内的单调性和值域，包括周期性，奇偶性，单调性和最值，还涉及三角函数图像的平移伸缩和三角恒等变换中的辅助角公式.