2025-2026学年广西桂林全州县石塘中学数学高一上期末质量跟踪监视试题含解析.doc

2025-2026学年广西桂林全州县石塘中学数学高一上期末质量跟踪监视试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数f(x)= 若f（f（0））=4a，则实数a等于
A. B.
C.2 D.9
2．函数在单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是
A. B.
C. D.
3．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱．若侧面水平放置时，液面恰好过的中点，当底面ABC水平放置时，液面高为（ ）

A.6 B.7
C.2 D.4
4．已知，若，则
A.1 B.2
C.3 D.4
5．若函数为上的奇函数，则实数的值为（）
A. B.
C.1 D.2
6．已知角的终边经过点，则
A. B.
C.-2 D.
7．采用系统抽样方法从人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为，分组后在第一组采用简单随机抽样方法抽到的号码为.抽到的人中，编号落入区间的人做问卷，编号落入区间的人做问卷，其余的人做问卷.则抽到的人中，做问卷的人数为
A. B.
C. D.
8．若函数，则的单调递增区间为（ ）
A. B.
C. D.
9．已知平面直角坐标系中，点，，，、、，，是线段AB的九等分点，则（ ）
A.45 B.50
C.90 D.100
10．下列函数是偶函数的是
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．奇函数是定义在上的减函数，若，则实数的取值范围是_______
12．，，则的值为__________.
13．已知[x]表示不超过x的最大整数，定义函数f(x)=x-[x].有下列结论:
①函数的图象是一条直线;②函数f(x)的值域为[0，1);③方程f(x)=有无数个解;④函数是R上的增函数.其中正确的是____.(填序号)
14．某品牌笔记本电脑的成本不断降低，若每隔4年价格就降低，则现在价格为8100元的笔记本电脑，12年后的价格将降为__________元
15．若，，则______
16．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积为_____________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数(且)的图象恒过点A，且点A在函数的图象上.
（1）求的最小值；
（2）若，当时，求的值域.
18．（1）已知，，求的值；
（2）若，求的值.
19．已知函数f(x)＝a－.
（1）若2f（1）＝f（2），求a的值；
（2）判断f(x)在(－∞，0)上的单调性并用定义证明.
20． “百姓开门七件事，事事都会生垃圾，垃圾分类益处多，环境保护靠你我”，为了推行垃圾分类，某公司将原处理垃圾可获利万元的一条处理垃圾流水线，通过技术改造后，开发引进生态项目.经过测算，发现该流水线改造后获利万元与技术投入万元之间满足的关系式：.该公司希望流水线改造后获利不少于万元，其中为常数，且.
（1）试求该流水线技术投入的取值范围；
（2）求流水线改造后获利的最大值，并求出此时的技术投入的值.
21．已知n为正整数，集合，对于中任意两个元素和，定义：；.
（1）当n=3时，设，，写出α-β，并计算；
（2）若集合S满足，且，，，求集合S中元素个数的最大值，写出此时的集合S，并证明你的结论；
（3）若α，，且，任取，求的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】 ，选C.
点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.
2、D
【解析】是奇函数，故 ；又是增函数，，即 则有 ，解得 ，故选D.
【点睛】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为
，再利用单调性继续转化为，从而求得正解.
3、A
【解析】根据题意，当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱形，由已知条件求出水的体积；当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h，故水的体积可以用三角形的面积直接表示出，计算即可得答案
【详解】根据题意，当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形，
设△ABC的面积为S，则S梯形＝S，水的体积V水＝S×AA1＝6S，
当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h，
则有V水＝Sh＝6S，故h＝6
故选A
【点睛】本题考点是棱柱的体积计算，考查用体积公式来求高，考查转化思想以及计算能力，属于基础题
4、A
【解析】构造函数，则为奇函数，根据可求得，进而可得到
【详解】令，则为奇函数，且，
由题意得，
∴，
∴，
∴.
故选A
【点睛】本题考查运用奇函数的性质求函数值，解题的关键是根据题意构造函数，体现了转化思想在解题中的应用，同时也考查观察、构造的能力，属于基础题
5、A
【解析】根据奇函数的性质，当定义域中能取到零时，有，可求得答案.
【详解】函数为上的奇函数,
故，得，
当时，满足，
即此时为奇函数，
故，
故选：A
6、B
【解析】按三角函数的定义，有.
7、C
【解析】从960人中用系统抽样方法抽取32人，则抽样距为k＝，
因为第一组号码为9，则第二组号码为9＋1×30＝39，…，
第n组号码为9＋(n－1)×30＝30n－21，由451≤30n－21≤750，
得，所以n＝16,17，…，25，共有25－16＋1＝10(人)
考点：系统抽样.
8、A
【解析】令，则，根据解析式，先求出函数定义域，结合二次函数以及对数函数的性质，即可得出结果.
【详解】令，则，由真数得，
∵抛物线的开口向下，对称轴，
∴在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又∵在定义域上单调递减，
由复合函数的单调性可得：
的单调递增区间为.
故选：A.
9、B
【解析】利用向量的加法以及数乘运算可得，再由向量模的坐标表示即可求解.
【详解】

，
∴

故选：B.
10、C
【解析】函数的定义域为所以函数为奇函数；
函数是非奇非偶函数；
函数的图象关于y轴对称，所以该函数是偶函数；
函数的对称轴方程为x=−1，抛物线不关于y轴对称，所以该函数不是偶函数.
故选C.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】利用函数的奇偶性、单调性去掉不等式中的符号“”，可转化为具体不等式，注意函数定义域
【详解】解：由得，
又为奇函数，得，
，
又是定义在，上的减函数，

解得：
即
故答案为：
【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，考查转化思想，解决本题的关键是利用性质去掉符号“”
12、#0.3
【解析】利用“1”的代换，构造齐次式方程，再代入求解.
【详解】，

故答案为：
13、②③##③②
【解析】画出的图象，即可判断四个选项的正误.
【详解】画出函数的图象，如图所示，可以看出函数的图象不是一条直线，故A错误；函数f(x)的值域为，故②正确；方程有无数个解，③正确；函数是分段函数，且函数不是R上的增函数，故④错误.

故答案为：②③
14、2400
【解析】由题意直接利用指数幂的运算得到结果
【详解】12年后的价格可降为81002400元
故答案为2400
【点睛】本题考查了指数函数模型的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题
15、
【解析】利用指数的运算性质可求得结果.
【详解】由指数的运算性质可得.
故答案为：.
16、
【解析】正方体的对角线等于球的直径．求得正方体的对角线，则球的表面积为

考点：球的表面积
点评：若长方体的长、宽和高分别为ａ、ｂ、ｃ，则球的直径等于长方体的对角线

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）4；（2）.
【解析】(1)根据对数函数恒过定点(1，0)求出m和n的关系：，则利用转化为基本不等式求最小值；
(2)利用换元法令，将问题转化为二次函数求值域问题即可.
【小问1详解】
∵，∴函数的图象恒过点.
∵在函数图象上，∴.
∵，∴，，∴，，
∴，当且仅当时等号成立，
∴的最小值为4.
【小问2详解】
当时，，
∵在上单调递增，
∴当时，，
令，则，，
在上单调递增，
∴当时，；当时，.
故所求函数的值域为.
18、（1）；（2）.
【解析】(1)由条件利用同角三角函数的基本关系求出,即可求得的值；
(2)把要求的式子利用诱导公式化为,进而而求得结果.
【详解】解：（1）∵，，
∴

∴
（2）若，
则.
19、（1）3（2）f(x)在(－∞，0)上是单调递增的，证明见解析
【解析】（1）由已知列方程求解；
（2）由复合函数单调性判断，根据单调性定义证明；
【小问1详解】
∵2f（1）＝f（2），∴2(a－2)＝a－1，
∴a＝3.
【小问2详解】
f(x)在(－∞，0)上是单调递增的，证明如下：
设x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，则
f(x1)－f(x2)＝(a－)－(a－)＝－＝，
∵x1，x2∈(－∞，0)，∴x1x2>0.
又x1<x2，∴x1－x2<0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，
∴f(x)＝a－在(－∞，0)上是单调递增的.
20、（1）；（2）当时，，此时；当时，，此时.
【解析】（1）由题意得出，解此不等式即可得出的取值范围；
（2）比较与的大小关系，分析二次函数在区间上的单调性，由此可得出函数的最大值及其对应的的值.
【详解】（1），，由题意可得，即，
解得，因此，该流水线技术投入的取值范围是；
（2）二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线.
①当时，即当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，；
②当时，即当时，函数在区间上单调递减，
所以，.
综上所述，当时，；当时，
【点睛】本题考查二次函数模型的应用，同时也考查了二次函数最值的求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
21、（1），
（2）最大值是4，此时或，证明见解析
（3）
【解析】（1）根据定义直接求解即可；
（2）根据定义，结合反证法进行求解即可；
（3）根据定义，结合绝对值的性质进行证明即可.
【小问1详解】
，.
【小问2详解】
最大值是4.
此时或.
若还有第5个元素，则必有，和，和，和，之一出现，其对应的，不符合题意.
【小问3详解】
证明：设，，，
所以，，，，（）
从而，
又，
当时，；
当时，.
所以，
所以.
【点睛】关键点睛：运用分类讨论法、反证法是解题的关键.